☉江蘇省連云港市西苑中學(xué) 董海榮

排除干擾善切換，特殊圖形需識(shí)別
——由2015年廣東省中考卷第24題的解析說起

☉江蘇省連云港市西苑中學(xué) 董海榮

平面幾何內(nèi)容一直是各地中考試卷中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，在每份中考卷的最后兩道把關(guān)題中，至少有一道題涉及較為繁雜的平面幾何題，本題以2015年廣東省中考卷第24題為例，講解這道平面幾何題的突破思路，并就該題的命題立意給出思考，與同行研討．

一、考題展示

考題1（2015年廣東省中考卷第24題）⊙O是△ABC的外接圓，AB是直徑，過B（C的中點(diǎn)P作⊙O的直徑PG交弦BC于點(diǎn)D，連接AG、CP、PB.

（1）如圖1，若D是線段OP的中點(diǎn)，求∠BAC的度數(shù)；

（2）如圖2，在DG上取一點(diǎn)K，使DK＝DP，連接CK，求證：四邊形AGKC是平行四邊形；

（3）如圖3，取CP的中點(diǎn)E，連接ED并延長交AB于點(diǎn)H，連接PH，求證：PH⊥AB.

圖1

圖2

圖3

二、思路突破

1.識(shí)別特殊三角形，問題快速突破

2.切換基本圖形，證得平行關(guān)系

由（1）中的探索不難發(fā)現(xiàn)AC∥GP，如何能再找出AG∥CK就可以了．而結(jié)合CD＝BD，KD＝DP，可得四邊形CKBP是平行四邊形，有CK∥BP，而AB、GP是兩條直徑，容易得出AG∥BP，于是AG∥CK，所以四邊形AGKC為平行四邊形．

3.排除干擾巧轉(zhuǎn)化，聚焦圖形妙解題

再次增加強(qiáng)化條件“點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)”后，圖3中的線條繁雜，不太容易發(fā)現(xiàn)線段之間的關(guān)系．讓我們把目光先聚焦在△BCP中，可以得出ED是△BCP的中位線，則有ED∥BP，于是過渡到DH∥BP，現(xiàn)在認(rèn)真觀察圖3中的△OBP，△OBP是等腰三角形，所以容易得出OD＝DH，可證△OBD≌△HOP，此時(shí)結(jié)合（1）中就有的BD⊥OP，問題得證．

（2）由（1）知，CD＝BD，因?yàn)椤螧DP＝∠CDK，DK＝DP，所以△PDB≌△CDK，所以CK＝BP，∠OPB＝∠CKD.因?yàn)椤螦OG＝∠BOP，所以AG＝BP，所以AG＝CK.因?yàn)镺P＝OB，所以∠OPB＝∠OBP.又∠G＝∠OBP，所以AG∥CK，所以四邊形AGCK是平行四邊形.

（3）因?yàn)镃E＝PE，CD＝BD，所以DE∥PB，即DH∥PB.因?yàn)椤螱＝∠OPB，所以PB∥AG，所以DH∥AG，所以∠OAG＝∠OHD.因?yàn)镺A＝OG，所以∠OAG＝∠G，所以∠ODH＝∠OHD，所以O(shè)D＝OH.又∠ODB＝∠HOP，OB＝OP，所以△OBD≌△HOP，所以∠OHP＝∠ODB＝90°，所以PH⊥AB.

解后反思：從上面的思路突破與解法來看，能否在較為繁雜的圖形和線條中排除干擾是解題的關(guān)鍵．事實(shí)上，解題教學(xué)中，為了取得較好的教學(xué)效果，我們還可以將以上每小問中的基本圖形或需要聚焦的圖形刪減一些線段，第（1）（2）（3）問分別對(duì)應(yīng)著圖4～6.

圖4

圖5

圖6

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，有些幾何適應(yīng)性不好的學(xué)生在分離圖形之后就能幫助他們理解得更好．

三、同類考題鏈接

考題2（2015年江蘇省常州中考卷第27題）如圖7，一次函數(shù)y＝-x＋4的圖像與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)A作x軸的垂線l，點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線AB與△OAP外接圓的交點(diǎn)，點(diǎn)P、Q與點(diǎn)A都不重合．

（1）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo).

圖7

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得△OQB與△APQ全等？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

簡答：（1）因?yàn)閥＝-x＋4的圖像與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，所以A（4，0），B（0，4）．

（2）①當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，由于∠OBQ＝∠PAQ＝45°，此時(shí)△OQB≌△QPA．設(shè)Q（a，-a＋4），則a）.因?yàn)椤鱋QB≌△QPA，所以，所以a＝4-.因?yàn)?，所?，此時(shí)OP的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為，所以此時(shí)點(diǎn)P、Q在以點(diǎn)C為圓心的圓上，符合要求．所以

②當(dāng)點(diǎn)Q在AB的延長線或BA的延長線上時(shí)，△OQB與△APQ不全等．

圖8

四、教學(xué)思考

1.幾何教學(xué)需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分離和聚焦圖形

從上面的解后反思來看，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分離圖形，排除無關(guān)線段的干擾，專注于需要研究的圖形局部、有效部分是十分重要的．有時(shí)像解后反思中提到的圖4～6，則需要安排學(xué)生來幫助分離，并分享講解給其他學(xué)生聽，這樣一方面教者能看出學(xué)生是如何思考這類線條繁雜的幾何問題，另一方面也充分拉長了幾何教學(xué)的過程，使得更多學(xué)生能理解，同時(shí)還傳遞了要學(xué)會(huì)從復(fù)雜圖形中分離和聚焦圖形的意識(shí).

2.要重視模式圖形和基本圖形的積累、捕捉與構(gòu)造

以“考題2”第（3）問來看，如果平時(shí)對(duì)所謂的“射影定理”基本圖形并不熟悉，沒有做過認(rèn)真的積累、梳理和思考，那么在緊張的考場上就難有較好的適應(yīng)性，如果不能很迅速地從繁雜圖形中識(shí)別、捕捉出這類基本圖形，那思路可能就會(huì)一閃而過，放棄一條可能成功的道路．所以有不少同行目前采用了讓學(xué)生在課后寫“數(shù)學(xué)寫作”的方式整理、積累、深入思考做過的數(shù)學(xué)問題，特別是值得積累的模式圖形及其性質(zhì)，筆者也十分欣賞這種做法，并在自己的教學(xué)實(shí)踐中也要求少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生進(jìn)行“數(shù)學(xué)寫作”，踐行一年多，取得較好的教學(xué)效果．

1.鄭毓信．“數(shù)學(xué)思想”面面觀［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（8～10）．

2.章建躍．?dāng)?shù)學(xué)概念的理解與教學(xué)［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2010（11）.

3.史寧中．?dāng)?shù)學(xué)思想概論（第1～4輯）［M］．長春：東北師范大學(xué)出版社，2008、2009、2009、2010．

4.羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)的領(lǐng)悟［M］．鄭州：河南科學(xué)技術(shù)出版社，1997.H