許英姿， 岳書常， 劉燦昌， 劉　露， 荊　棟

(山東理工大學 交通與車輛工程學院， 山東 淄博 255049)

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考慮非局部效應(yīng)的碳納米管磁時滯最優(yōu)化控制

許英姿， 岳書常， 劉燦昌， 劉露， 荊棟

(山東理工大學 交通與車輛工程學院， 山東 淄博 255049)

摘要：提出一種考慮非局部效應(yīng)梁結(jié)構(gòu)非線性振動的磁時滯最優(yōu)化控制方法.以衰減率為目標函數(shù)，以反饋控制參數(shù)范圍為約束條件，考慮非局部效應(yīng)參數(shù)的影響，利用最優(yōu)化方法計算得到衰減率最小的控制參數(shù).通過選取最優(yōu)的時滯量，提高控制系統(tǒng)的控制效果. 研究了非局部效應(yīng)參數(shù)對控制參數(shù)和時滯的影響及其影響規(guī)律，并通過設(shè)計仿真實例進行了減振控制分析.

關(guān)鍵詞：非線性振動；控制；最優(yōu)化方法；響應(yīng)；時滯

碳納米管(CNT)的發(fā)現(xiàn)引起科學界的巨大關(guān)注[1]. 在過去的幾年中，對碳納米管及其復合結(jié)構(gòu)振動行為的研究成為一個研究的熱點[2].納米結(jié)構(gòu)的非線性來源較多，如大撓度、靜電驅(qū)動、壓膜阻尼、分子間表面作用等因素[3-5]，這些非線性因素對納米管結(jié)構(gòu)的動力學行為產(chǎn)生重要的影響，因而對碳納米管非線性系統(tǒng)的動力學行為和振動控制研究已經(jīng)成為當前的一個重要研究課題.

考慮非局部效應(yīng)納米結(jié)構(gòu)的線性和非線性動力學研究取得較快的進展.楊曉東等分析考慮非局部效應(yīng)的兩端簡支納米材料梁的橫向非線性振動特性[6].考慮非局部效應(yīng)的碳納米管的線性和非線性振動得到深入研究[7-9]. Mehdipour等[10]利用考慮非局部效應(yīng)的歐拉伯努利梁理論研究了懸臂碳納米管梁的諧振頻率和相應(yīng)的彎曲模量的關(guān)系. 近年來，外部縱向磁場對碳納米管中波的傳播和振動影響的研究已經(jīng)展開. Wang等[11]研究了縱向磁場洛倫茲力對嵌于彈性基的碳納米管中波傳播的影響規(guī)律. Narendar等[12]研究了考慮非局部效應(yīng)的單壁碳納米管梁在縱向磁場作用下的波的傳播規(guī)律. Murmu等[13]研究了縱向磁場對考慮非局部效應(yīng)的雙壁碳納米管梁對橫向振動的影響.

1　碳納米管諧振梁的非線性振動磁控制分析

基于非局部效應(yīng)歐拉-伯努利梁理論，在諧波激振力和洛倫茲力作用下，單壁碳納米管(SWCNT)的彎曲振動方程可以寫為[10-14]

(1)

(2)

根據(jù)彎曲梁理論，非線性振動方程可以表示為[10-14]

(e0a)2[w″-3a3D2w″3-rw′2w″]}=

EIN(w)+F(x,t)+fw″

(3)

式中，N(w)=3a3D2[2w″(w?)2+(w″)2w″″]+r[2(w″)3+6w′w″w?+(w′)2w″″].

將方程(3)表示成無量綱的形式：

(4)

(5)

則邊界條件(2)變成

(6)

(7)

式中，Nu=2a3(D/L)2[2u″(u?)2+(u″)2u″″]+r[2(u″)3+6u′u″″u?+(u′)2u″″]. 將式(7)中的u(x*,t*)和g(x*)分別展開為

(8)

其中φn為懸臂梁的模態(tài)函數(shù). 將方程(8)代入方程(7)，得到

(9)

α2=3a3(D/L)2β21+rβ22;

ε22gf1q1(t*-τ)

(10)

(11)

q1(t*,ε)=q10(T0,T1)+ε2q11(T0,T1)+…

(12)

(13)

將方程(12)~(13)代入方程(10)，利用多尺度方法，可以得到

(14)

2gf1q10(T0-τ)

(15)

方程(14)的一階近似解為

(16)

將方程(16)的解代入方程(15)，消除久期項，響應(yīng)的幅值a和相位γ取決于如下控制方程的極坐標形式：

D1a=-μea+Qsinγ

(17)

aD1γ=σea+vea3+Qcosγ

(18)

γ=σT0-β.

顯然，通過增加時滯與反饋控制參數(shù)兩類控制因子，反饋增益和時滯調(diào)整了平均方程的參數(shù). 非局部效應(yīng)參數(shù)對阻尼系數(shù)和調(diào)諧系數(shù)有明顯的影響. 因此，通過選擇最佳反饋控制增益和時滯，可以達到所期望的控制效果.

令D1a=D1γ=0，得到

-μea+Qsinγ=0

(19)

σea+vea3+Qcosγ=0

(20)

根據(jù)方程(19)和(20)，頻率響應(yīng)方程表示成

(21)

響應(yīng)的幅值是調(diào)諧參數(shù)、時滯、反饋控制增益以及激勵幅值的函數(shù).

從方程(21)中得到的主共振響應(yīng)的峰值振幅可以寫成

(22)

作為比較，無控制的非線性主共振的峰值振幅為

(23)

在減小振動控制器的非線性振動特性時，由于非線性系統(tǒng)很難找到解析解，所以不能按照線性系統(tǒng)討論響應(yīng)幅值比的簡單方法研究非線性系統(tǒng). 因此，在有控制和無控制的非線性動力學系統(tǒng)中，利用衰減率即主共振峰值的比值來評價振動控制的效果.衰減率可以表示為

(24)

2 碳納米管梁主共振振動控制器的設(shè)計

方程(23)和(24)相應(yīng)的雅可比矩陣的特征值決定了解的穩(wěn)定性.相應(yīng)的特征值是下列方程的根

(25)

方程(25)的兩個特征值和為-2μe.若μe>0，兩個特征值的和始終是負的，兩個特征值中至少有一個特征值始終有負實部.根據(jù)上述分析，保證系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是

μe>0

(26)

(27)

可得到穩(wěn)定振動控制磁場的范圍，即

μ]}1/2

(28)

若方程f(σe)=0有兩個解，即

(29)

(30)

(31)

考慮σe的表達式和(30)式，得到穩(wěn)定振動控制磁場的范圍為

μe>0

(32)

考慮式(31)，有

μe>0

(33)

3　 碳納米管梁控制器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計分析

通過非線性振動系統(tǒng)的穩(wěn)定條件分析可以得出反饋控制參數(shù)的范圍，但是無法獲得系統(tǒng)最優(yōu)的反饋控制參數(shù). 以衰減率作為目標函數(shù)，利用最優(yōu)化方法得到最優(yōu)的反饋控制參數(shù).

3.1特征方程無解時參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計

(34)

3.2 特征方程有兩個解時參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計

(35)

或者

μe>0

4　仿真分析

將碳納米管視為Euler-Bernoulli梁模型，對縱向磁場作用下單壁碳納米管的非線性振動進行研究和討論，設(shè)計算例.單壁碳納米管的直徑d=7nm，壁厚h=0.68nm，長度L=140nm，質(zhì)量密度ρ=2 300kg·m-3，阻尼系數(shù)η=1×10-6Nsm-1.

圖1為主共振峰值amax在不同控制磁場Hx作用下與時滯和反饋控制增益的變化關(guān)系曲線.e0取值為3nm.由圖1可知，amax隨著時滯的變化而變化.對于固定的反饋控制增益，通過選擇一個最佳時滯，可以得到最小的振動幅值.當時滯為一個固定值時，增加反饋控制增益可以降低峰值振幅.

圖1　主共振峰值amax在不同控制磁場Hx作用下與時滯和反饋控制增益的變化關(guān)系曲線

圖2表示衰減率R在不同非局部效應(yīng)參數(shù)下與時滯和反饋控制增益的變化關(guān)系曲線.由圖2可見，當非局部效應(yīng)參數(shù)數(shù)值變大時，衰減率數(shù)值減小，因而，考慮非局部效應(yīng)是必要的. 較大的反饋控制增益可以得到較小的衰減率R，表明增大反饋控制增益的數(shù)值可以取得較好的減振控制效果. 通過選擇適當?shù)臅r滯和反饋控制增益可以得到較小的衰減率R.當反饋控制增益是一個固定值時，最小衰減率R可以通過選擇一個最佳時滯得到.

圖2　 衰減率R在不同非局部參數(shù)下與時滯 和反饋控制增益的變化關(guān)系曲線

圖3顯示了調(diào)諧阻尼μe在不同控制磁場Hx作用下與時滯和反饋控制增益的變化關(guān)系曲線. e0取值為3nm. 由圖可見，μe隨著時滯的變化而變化.對于固定的反饋控制增益，通過選擇一個最佳時滯可以得到最大的阻尼值.當時滯為一個固定值時，增加反饋控制增益可以降低峰值振幅.選擇適當?shù)臅r滯和反饋控制增益Hx可以得到較小的峰值振幅amax.

圖3　調(diào)諧阻尼μe在不同控制磁場Hx作用下與　　時滯和反饋控制增益的變化關(guān)系曲線

圖4給出了三組不同非局部效應(yīng)參數(shù)的穩(wěn)定控制磁場與時滯的變化關(guān)系曲線.曲線上方區(qū)域為穩(wěn)定控制磁場區(qū)域，曲線下方區(qū)域為非穩(wěn)定控制磁場區(qū)域. 非局部效應(yīng)參數(shù)對控制磁場的取值有一定影響，非局部效應(yīng)參數(shù)越大，控制磁場的取值越小.

圖4　三組不同非局部效應(yīng)參數(shù)的穩(wěn)定控制磁場與時滯的變化關(guān)系曲線

5 結(jié)束語

利用磁場反饋時滯控制器對單壁碳納米管系統(tǒng)主共振進行減振控制.基于梁的彎曲理論，建立考慮非局部效應(yīng)的褶皺變形碳納米管動力學微分方程.由本征值方程的穩(wěn)定條件得到具有穩(wěn)定解的控制磁場取值范圍. 以碳納米管非線性振動的衰減率為目標函數(shù)，以穩(wěn)定區(qū)域的反饋增益為約束條件，利用最優(yōu)化方法計算得到最優(yōu)化反饋控制增益，得到最優(yōu)的控制磁場強度等.研究了非局部效應(yīng)參數(shù)對控制系統(tǒng)參數(shù)影響. 設(shè)計最優(yōu)化控制器對碳納米管系統(tǒng)的非線性振動進行減振控制.

參考文獻:

[1]Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon[J]. Nature, 1991, 354:56-58.

[2] Gibson R F, Ayorinde E O， Wen Y F. Vibrations of carbon nanotubes and their composites: a review[J]. Composites Science and Technology, 2007, 67:1-28.

[3] Ramezani A, Alasty A， Akbari J. Closed-form solutions of the pull-in instability in nano-cantilevers under electrostatic and intermolecular surface forces[J]. International Journal of Solids and Structures, 2007, 44(14/15): 4 925-4 941.

[4] Ramezani A, Alasty A， Akbari J. Analytical investigation and numerical verification of Casimir effect on electrostatic nano-cantilevers[J]. Microsystem Technologies, 2008, 14:145-157.

[5] Zhang W, Baskaran R，Turner K L. Effect of cubic nonlinearity on auto-parametrically amplified resonant MEMS mass sensor[J]. Sensors and Actuators A: Physical,2002,102(1-2):139-150.

[6] 楊曉東, 林志華. 利用多尺度方法分析基于非局部效應(yīng)納米梁的非線性振動[J]. 中國科學(技術(shù)科學), 2010, 40(2):152-156.

[7] Wang C M, Kitipornchai S， Lim C W. Beam bending solutions based on nonlocal Timoshenko beam theory[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2008, 134(6):475-481.

[8] Ke L L,Xiang Y. Yang J. Nonlinear free vibration of embedded double-walled carbon nanotubes based on nonlocal Timoshenko beam theory[J]. Computational Materials Science,2009, 47(2):409-417.

[9] Yang J, Ke L L， Kitipornchai S. Nonlinear free vibration of single-walled carbon nanotubes using nonlocal Timoshenko beam theory[J]. Physica E. 2010, 42(5):1 727-1 735.

[10] Mehdipour I, Soltani P Ganji D D. Nonlinear vibration and bending instability of a single-walled carbon nanotube using nonlocal elastic beam theory[J]. International Journal of Nanoscience, 2011, 10(3):447-453.

[11] Wang H, Dong K, Men F,etal. Influences of longitudinal magnetic field on wave propagation in carbon nanotubes embedded in elastic matrix[J]. Applied Mathematical Modelling, 2010, 34(4):878-889.

[12] Narendar S,Gupta S S， Gopalakrishnan S. Wave propagation in single-walled carbon nanotube under longitudinal magnetic field using nonlocal Euler Bernoulli beam theory[J]. Applied Mathematical Modelling, 2012, 36(9):4 529-4 538.

[13] Murmu T, McCarthy M A， Adhikari S. Vibration response of double-walled carbon nanotubes subjected to an externally applied longitudinal magnetic field: A nonlocal elasticity approach[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331(23):5 069-5 086.

[14] Wang X, Wang X Y，Xiao J. A non-linear analysis of the bending modulus of carbon nanotubes with rippling deformations[J]. Composite Structures,2005, 69(3):315-321.

(編輯：劉寶江)

Magnetic delayedoptimal control of carbon nanotube

considering nonlocal effect

XU Ying-zi, YUE Shu-chang, LIU Can-chang, LIU Lu, JING Dong

( School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China)

Abstract:An optimal control method is presented for the magnetic delayed control of the nonlinear vibration of beams considering nonlocal elastic effect. Taking the attenuation ratio as the objective functions and the regions of feedback parameters as constraint conditions, considering the influence of nonlocal elastic parameters, the optimal feedback control parameters can be calculated by using optimal method. The control performance of control system is improved by selecting the optimal time delay. The influence of the nonlocal elastic parameters on the control parameters and time delay is studied. The simulation is designed to analyze the vibration control.

Key words:nonlinear vibration;control; optimal method;response;time delay

中圖分類號：O332； O328 文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2015)04-0006-05

作者簡介：許英姿，女， xuyz@sdut.edu.cn1

基金項目：國家自然科學基金資助項目(51275280)

收稿日期：2014-09-20