成　樞， 孫　超， 沈　毅， 李　強(qiáng)

(山東科技大學(xué)測繪科學(xué)與工程學(xué)院， 山東青島 266590)

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回歸和時(shí)間序列的組合模型在建筑物變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

成樞， 孫超， 沈毅， 李強(qiáng)

(山東科技大學(xué)測繪科學(xué)與工程學(xué)院， 山東青島 266590)

摘要：為了提高變形預(yù)測的精度，獲得可靠有效的預(yù)報(bào)模型，通過對(duì)回歸模型殘差項(xiàng)的進(jìn)一步分析，利用Eviews對(duì)殘差序列建立了時(shí)間序列模型，從而得到了回歸和時(shí)間序列組合模型.利用該模型對(duì)一組實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測，并將變形數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，證明了組合模型具有更好的預(yù)測精度和可靠性.

關(guān)鍵詞：回歸分析； 時(shí)間序列； 組合模型

回歸分析和時(shí)間序列分析是常用的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理方法[1]，這兩種方法各有其優(yōu)缺點(diǎn).回歸分析法在分析多因素模型時(shí)，更加簡單和方便，也可以準(zhǔn)確地計(jì)量各個(gè)因素之間的相關(guān)程度與回歸擬合程度的高低.但有時(shí)在回歸分析中，選用何種因子和該因子采用何種表達(dá)式只是一種推測，這影響了用到因子的多樣性和某些因子的不可測性，使得回歸分析在某些情況下受到限制.時(shí)間序列分析在分析現(xiàn)在、過去、未來的聯(lián)系時(shí)，以及未來的結(jié)果與過去、現(xiàn)在的各種因素之間的關(guān)系時(shí)，效果比較好；但并不適合進(jìn)行長期預(yù)測[2].如果把回歸模型和時(shí)間序列模型這兩種分析方法結(jié)合在一起，有時(shí)會(huì)得到比其中任何一種方法都好的預(yù)測結(jié)果.

1　回歸與時(shí)間序列組合模型

1.1 一階序列相關(guān)

如果線性回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)ut滿足古典回歸假設(shè)，使用OLS所得到的估計(jì)量是線性無偏最優(yōu)的.

但是如果擾動(dòng)項(xiàng)ut不滿足古典回歸假設(shè)，理論和實(shí)踐均證明，擾動(dòng)項(xiàng)關(guān)于ut關(guān)于任何一條古典回歸假設(shè)的違背，都將導(dǎo)致回歸方程的估計(jì)結(jié)果不再具有良好的性質(zhì).即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不再是完全相互獨(dú)立的.而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性.特別的，如果僅存在

E(ut.ut-1)≠0t=1,2,…，T

(1)

稱為一階序列相關(guān)[3].

如果回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)量的方差將被高估或者低估.因此，檢驗(yàn)參數(shù)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量將不再可信.

1.2組合模型

有如下回歸模型 :

yt=β0+β1xt+ut

(2)

其中xt是解釋變量，yt是被解釋變量，ut是隨機(jī)誤差項(xiàng).上述模型的估計(jì)式是:

(3)

(4)

1.3殘差序列的相關(guān)性檢驗(yàn)

1) D.W.統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)

D.W.統(tǒng)計(jì)量用于檢驗(yàn)一階序列相關(guān)，還可以估計(jì)回歸模型鄰近殘差的線性聯(lián)系.對(duì)于擾動(dòng)項(xiàng)ut建立一階自回歸方程[5]：

ut=ρut-1+εt

(5)

D.W.統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的原假設(shè)：ρ=0,備擇假設(shè)是ρ≠0[6].

(6)

如果序列不相關(guān)，D.W.值在2附近.如果序列正序列相關(guān)，D.W.值將小于2.如果存在負(fù)序列相關(guān)，D.W.值將在2∶4之間.

2)相關(guān)圖和Q-統(tǒng)計(jì)量

(7)

其中：rj是殘差序列的j階自相關(guān)系數(shù)，T是觀測值的個(gè)數(shù)，p是設(shè)定的滯后階數(shù).

如果Q-統(tǒng)計(jì)量在某一滯后階數(shù)顯著不為零，則說明序列存在某種程度上的序列相關(guān)[7].在實(shí)際的檢驗(yàn)中，通常會(huì)計(jì)算出不同滯后階數(shù)的Q-統(tǒng)計(jì)量、自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù).如果，各階Q-統(tǒng)計(jì)量都沒有超過由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值，則接受原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時(shí)，各階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于0.

3)LM檢驗(yàn)

LM檢驗(yàn)原假設(shè)為：直到p階滯后不存在序列相關(guān)，p為預(yù)先定義好的整數(shù)；備擇假設(shè)是：存在p自相關(guān).檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由如下輔助回歸計(jì)算.

估計(jì)回歸方程，并求出殘差et[8]：

(8)

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以基于如下回歸得到

et=Xtγ+α1et-1+…+αpet-p+vt

(9)

這是對(duì)原始回歸因子Xt和直到p階的滯后殘差的回歸.LM檢驗(yàn)通常給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和T×R2統(tǒng)計(jì)量.

在給定的顯著性水平下，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設(shè)定的顯著性水平下不存在序列相關(guān)；反之，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量大于設(shè)定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關(guān).

2　算例分析

某小區(qū)建筑物受臨近基坑開挖深度(頂管一共30根，每根長3m)、開挖時(shí)間(2014年3月4日到2014年3月17日)、以及天氣變化(有的時(shí)候天氣變化)等因素的影響，本文選擇了沉降量最大的 2號(hào)樓監(jiān)測點(diǎn)J101點(diǎn)的25期數(shù)據(jù)，并對(duì)前20期觀測數(shù)據(jù)采用回歸與時(shí)間序列組合進(jìn)行分析建模，后5期用來檢驗(yàn)預(yù)測值的準(zhǔn)確性(表1).

表1 沉降監(jiān)測點(diǎn)J101數(shù)據(jù)

觀測時(shí)間頂管頂?shù)拈L度/mJ101高程/m2014-02-10017.71402014-02-10017.71372014-02-20017.71382014-03-05017.71432014-03-16017.71572014-04-041017.7156

續(xù)表

觀測時(shí)間頂管頂?shù)拈L度/mJ101高程/m2014-04-051217.71662014-04-072517.71622014-04-093817.71742014-04-105017.71882014-04-125517.72072014-04-136917.72312014-04-147817.72872014-04-158217.73042014-05-028517.73132014-05-058817.73112014-05-109017.73242014-05-159017.73242014-05-209017.73282014-05-259017.73262014-05-309017.73262014-06-059017.73272014-06-109017.73272014-06-159017.73292014-06-209017.7330

2.1回歸建模

建筑物的沉降與時(shí)間、頂管頂長度等多個(gè)因素有關(guān).采用回歸方程進(jìn)行預(yù)測值的計(jì)算，得出實(shí)測值和預(yù)測值之間的殘差，可以為工程隊(duì)安全施工提供依據(jù).通過對(duì)本文中所選數(shù)據(jù)的分析，時(shí)間對(duì)下沉量的影響并不顯著，所以在此只分析頂管頂?shù)拈L度與下沉的關(guān)系.以J101點(diǎn)20次累計(jì)變化量為因變量Y，頂管頂?shù)拈L度為自變量X進(jìn)行回歸分析，利用Eviews進(jìn)行回歸建模得到：

Y=0.000198X+17.71314

(10)

2.2殘差檢驗(yàn)

由殘差序列的相關(guān)圖(圖1)可以看出擾動(dòng)項(xiàng)有明顯的自相關(guān)現(xiàn)象，并不滿足古典回歸假設(shè).對(duì)殘差序列可以進(jìn)行進(jìn)一步的信息提取.

圖1 殘差序列相關(guān)圖

2.3殘差序列建模

由圖1初步判斷，可以建立ARMA(3,2)模型.剔除不顯著的因子可以得到：

(11)

LM檢驗(yàn)的結(jié)果：F-統(tǒng)計(jì)量為1.353798；殘差平方根為5.700040；D-W統(tǒng)計(jì)量為2.1082.從結(jié)果可以看出殘差序列通過了LM檢驗(yàn)，已不存在自相關(guān)現(xiàn)象.

由表2可以看出所建立的回歸和時(shí)間序列組合模型具有較高的預(yù)測精神.通過數(shù)據(jù)顯示，相比單一的回歸模型和時(shí)間序列模型，組合模型表現(xiàn)出了更強(qiáng)的可靠性.

表2監(jiān)測點(diǎn)J101后五次的預(yù)測高程值和實(shí)際值的比較

觀測日期實(shí)際高程/m預(yù)測高程/m誤差/‰2014-05-3017.732617.73220.42014-06-0517.732717.73180.92014-06-1017.732717.73200.72014-06-1517.732917.73181.12014-06-2017.733017.73201.0

3　結(jié)束語

本文通過對(duì)回歸模型殘差項(xiàng)的進(jìn)一步分析，對(duì)殘差序列利用時(shí)間序列分析進(jìn)行建模，得到回歸和時(shí)間序列的組合模型.相對(duì)單一回歸模型來說，組合模型具有更好的預(yù)測精度和可靠性.

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(編輯：姚佳良)

Application of a combination of regression and time series

model in deformation monitoring data processing

CHENG Shu， SUNChao， SHENYi ， LI Qiang

(College of Geomatics， Shandong University of Science and Technology， Qingdao 266590, China)

Abstract:In order to improve the accuracy of predicting the deformation, and abtain reliable and effective forecasting models, We further analyzed the residuals of the regression model,and built a time series model, a combination of the regression and time series models with the rasidual series sing eviews. Using this model, a set of measured data was analyzed and forecasted, and the deformation data and measured data are compared. The results showed that the combination model had better prediction accuracy and reliability.

Key words:regression analysis; time series; combined model

中圖分類號(hào)：TV698.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-6197(2015)04-0053-03

通信作者:

作者簡介：成樞，男，1334508055@qq.com;孫超，男，chaosun1989@163.com

收稿日期：2014-09-12