韓一士

摘要：

非緊完備Einstein流形上“面積”與“體積”的單調(diào)性一直是一個非常有意義的問題。在本文中我們將先給出在非負的Ricci曲率上的三個單調(diào)性公式，并說明它們和向切錐收斂的速率有關。進一步的，我們將證明當Ricci曲率大于負常數(shù)時相應的單調(diào)性公式。

關鍵詞：Einstein流形; “面積”; “體積”; 單調(diào)性

一、概述和定義

在本文中Mn是一個完備的n維光滑流形，其中n≥3。在本文中我們主要考慮M具有非負Ricci曲率的情況，我們將給出在這種情況下M上的三個單調(diào)性公式。之后我們將更近一步，將對Ricci曲率大于負常數(shù)的情況進行討論，并得出此時的單調(diào)性公式。

下面我們先給出幾個定義。

定義G為流形M上的Green函數(shù);給定x∈M且集合G=Gx=G（x，g）。記G=Gx是極點x在的Green函數(shù)。接下來我們定義b=

G，由此我們可以顯然地推出。

下面我們來定義n維完備光滑流形Mn上的“面積”與“體積”。

事實上A和V可以直觀的理解為“面積”和“體積”，并由此易知A和V是有界的。

二、三個單調(diào)性公式

下面我們將給出非緊完備Einstein流形上“面積”與“體積”的三個單調(diào)性公式

定理1.第一單調(diào)性公式

以上是一般n維光滑流形Mn上的結果。

特別的，對具有非負Ricci曲率的流形，我們得到以下結果。

推論1.如果M是一個具有非負Ricci曲率的n維流形，那么，對所有的r>0，

一個自然的問題是改不等式能否取到等號。事實上，如果對某個r>0，不等式取等號，那么集合{x：b（x）≤r}與歐式空間Rn中半徑r的球等距。

注意到上面推論中的不等式與擁有非負Ricci曲率的流形上的Bishop-Gromov體積比較定理相反。從中可以得到如下事實，上述不等式和歐氏幾何中的體積有著緊密聯(lián)系。同樣，我們得到以下結果。

推論2，如果M是一個具有非負Ricci曲率的n維流形，且r2>r1>0，則

且等號成立當且僅當集合{x：b（x）≤r}與歐式空間Rn中半徑r2的球等距。

下面給出第二單調(diào)性公式

定理2.第二單調(diào)性公式

這等價于

類似于之前的情況，我們對具有非負Ricci曲率的流形從第二單調(diào)性公式得到如下直接的推論。

推論3.如果M是一個具有非負Ricci曲率的n維流形，且r2>r1>0，則

其中

上述不等式等號成立當且僅當集合{x：b（x）≤r}與歐式空間Rn中半徑r2的球等距。

定理3.第三單調(diào)性公式

對r2>r1>0，

三、當曲率大于負常數(shù)的單調(diào)性公式

上面我們集中于對M具有非負Ricci曲率的情況進行討論，然后給出了在這種情況下M上的三個單調(diào)性公式。事實上，在Ricci曲率大于負常數(shù)的情況下，我們也可以得到類似的結果。下面我們對這種情況進行推廣。

推論4.若Ricci曲率滿足Ric≥-Λg，則

證明：顯然我們有

同時我們注意到

這說明

所以我們有

我們可以從中得到下面關于單調(diào)性的直接推論。

推論5.如果M是一個n維流形且Ric≥-Λg，r2>r1>0，則

接下來我們定義

則

推論6.如果Ricci曲率滿足Ric≥-Λg，則

證明：

這說明

又由

所以我們得到結論若Ricci曲率滿足Ric≥-Λg，則

下面是一個直接的推論

推論7：

[參考文獻]

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（作者單位：浙江警察學院，浙江 杭州 310053）endprint