●李志勤李文元齊展修(平邑縣第一中學(xué)山東平邑273300)

2014年高考三視圖考點(diǎn)透視

●李志勤李文元齊展修(平邑縣第一中學(xué)山東平邑273300)

1 熱點(diǎn)透析

三視圖是高考必考內(nèi)容之一，考查幾何體的三視圖以及與表面積、體積的交匯是高考命題的重點(diǎn).這類題目通常屬中等偏易題，題型多以選擇題、填空題為主，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在解答題中.近幾年高考對(duì)三視圖的考查更加多元化，如非常規(guī)放置的幾何體、組合體、幾何體的切割問題、在常規(guī)幾何體中挖出某一幾何體等.題目靈活，增加了問題的難度，更能考查學(xué)生的空間想象能力.如何快速解決這類問題，首先需要明確這類問題的命題方向.

2 題型分類精講

2.1 形狀的判斷

例1在如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，給出編號(hào)為①，②，③，④的4個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()

A.①和② B.③和①

C.④和③ D.④和②

(2014年湖北省數(shù)學(xué)高考試題)

圖1

分析在坐標(biāo)系中，標(biāo)出已知的4個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則，可得結(jié)論.

解如圖2，在坐標(biāo)系中，標(biāo)出已知的4個(gè)點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則，可得三棱錐的正視圖和俯視圖分別為④和②.故選D.

圖2

點(diǎn)評(píng)本題考查三視圖的畫法和空間想象能力，應(yīng)做到心中有圖，屬基礎(chǔ)題.

2.2 表面積的計(jì)算

例2某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖3所示，則此幾何體的表面積是()

A.90 cm2B.129 cm2

C.132 cm2D.138 cm2

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考試題)

分析該幾何體是直三棱柱與直四棱柱的組合體，根據(jù)三視圖判斷直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)與底面的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，判斷四棱柱的高與底面矩形的邊長(zhǎng)，把數(shù)據(jù)代入表面積公式計(jì)算.

圖3

解由三視圖知:該幾何體是直三棱柱與直四棱柱的組合體，其中直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面是直角邊長(zhǎng)分別為3，4的直角三角形，四棱柱的高為6，底面為矩形，矩形的2條相鄰的邊長(zhǎng)為3和4，因此該幾何體的表面積為

故選D.

點(diǎn)評(píng)本題考查由三視圖求幾何體的表面積.根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵.類似的題目還有2014年安徽省數(shù)學(xué)高考理科第7題.

2.3 最值問題

例3如圖4，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為()

(2014年全國(guó)新課標(biāo)數(shù)學(xué)高考試題)

圖4

圖5

分析畫出圖形，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)求出棱長(zhǎng)，推出結(jié)果即可.

解該幾何體的直觀圖如圖5所示:AB=4，BD=4，C到BD的中點(diǎn)的距離為4，因此

顯然AC最長(zhǎng).故選B.

點(diǎn)評(píng)本題考查三視圖求解幾何體的棱長(zhǎng)，考查計(jì)算能力.類似的題目還有2014年北京市數(shù)學(xué)高考文科第11題.

2.4 體積計(jì)算

例4某幾何體的三視圖如圖6所示，則該幾何體的體積為()

A.12 B.18 C.24 D.30

(2014年重慶市數(shù)學(xué)高考試題)

圖6

圖7

分析該幾何體是三棱柱消去一個(gè)同底的三棱錐，根據(jù)三視圖判斷三棱柱的高及消去的三棱錐的高，判斷三棱錐與三棱柱的底面三角形的形狀及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入棱柱與棱錐的體積公式計(jì)算.

解由三視圖知:幾何體是三棱柱消去一個(gè)同底的三棱錐(如圖7):三棱柱的高為5，消去的三棱錐的高為3，三棱錐與三棱柱的底面為直角邊長(zhǎng)分別為3和4的等腰直角三角形，因此幾何體的體積為

故選C.

點(diǎn)評(píng)本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵.類似的題目還有2014年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科第7題和天津市數(shù)學(xué)高考理科第10題.

2.5 證明線面關(guān)系、線面角

例5四面體A-BCD及其三視圖(如圖8所示)，過棱AB的中點(diǎn)E作平行于AD，BC的平面分別交四面體的棱BD，DC，CA于點(diǎn)F，G，H.

(1)證明:四邊形EFGH是矩形;

(2)求直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值.

(2014年陜西省數(shù)學(xué)高考試題)

圖8

分析(1)由三視圖得到四面體A-BCD的具體形狀，然后利用線面平行的性質(zhì)得到四邊形EFGH的2組對(duì)邊平行，即可得四邊形EFGH為平行四邊形.再由線面垂直的判斷和性質(zhì)得到AD⊥BC，結(jié)合異面直線所成角的概念得到EF⊥EH，從而證得結(jié)論.

(2)分別以DB，DC，DA所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)、及平面EFGH的一個(gè)法向量n，用與n所成角的余弦值的絕對(duì)值得直線AB與平面EFGH夾角θ的正弦值.

(1)證明由AD∥平面EFGH，AD?平面ABD，且平面ABD∩平面EFGH=EF，得

由BC∥平面EFGH，可得EH∥FG，于是四邊形EFGH是平行四邊形.由三視圖知AD⊥平面BCD，又AD∥EF，從而EF⊥平面BCD，于是

因此四邊形EFGH是矩形.

圖9

圖10

(2)解法1如圖9，取AD的中點(diǎn)M，顯然ME∥BD，MH∥CD，MF∥AB，且ME=MH=1，平面MEH⊥平面EFGH.取EH的中點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)MN，則

于是∠MFN就是MF(即AB)與平面EFGH所成的角θ.因?yàn)椤鱉EH是等腰直角三角形，所以

解法2(向量法)建立如圖10所示的坐標(biāo)系，可得A(0，0，1)，B(2，0，0)，，F(xiàn)(1， 0，0)，G(0，1，0)，則

設(shè)平面EFGH的法向量為n=(x，y，z)，則

取n=(1，-1，0)，得

點(diǎn)評(píng)本題考查了空間中直線與直線的位置關(guān)系、直線和平面所成的角，訓(xùn)練了利用空間直角坐標(biāo)系求線面角.解答本題的關(guān)鍵在于建立正確的坐標(biāo)系，求出相關(guān)平面的法向量，利用數(shù)量積公式求解，屬中檔題.

3 方法技巧提煉

三視圖與傳統(tǒng)的立體幾何的相關(guān)考點(diǎn)整合是命題的趨勢(shì).在解決三視圖問題時(shí)，要掌握三視圖的畫法;注意符號(hào)語(yǔ)言、文章語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化，提高識(shí)圖、理解圖、應(yīng)用圖的能力.在解決三視圖的綜合問題時(shí)，要特別重視三視圖給定的信息，要能夠準(zhǔn)確無誤地將三視圖中給定的數(shù)據(jù)信息轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的直觀圖，以便迅速地找到解題思路.