●章怡(杭州第二中學浙江杭州310053)

化歸與轉(zhuǎn)化思想

●章怡(杭州第二中學浙江杭州310053)

1 知識內(nèi)容

數(shù)學中的化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，是指在遇到具體數(shù)學問題時，通過一定的轉(zhuǎn)化過程，將其歸總到某類已經(jīng)解決或比較容易解決的類型，然后最終解決問題的一種手段和方法.其特點是實現(xiàn)問題的規(guī)范化、模式化，以便通過已知的理論、方法、技巧達到問題的有效解決.

數(shù)學家波利亞強調(diào):“我們必須一再變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止”，他認為解題的過程就是相互“轉(zhuǎn)化”的過程:即將生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題;將多元問題轉(zhuǎn)化為少元問題;將復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題;將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題;將一個綜合問題轉(zhuǎn)化為若干個基本問題.因此學生學會運用數(shù)學化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，可以有效地幫助他們實現(xiàn)學習上的遷移和引導，從而較快地提高日常學習質(zhì)量和解決問題的能力.

2 命題分析

眾所周知，數(shù)學高考命題的主要依據(jù)是數(shù)學課程標準，而命題的直接依據(jù)是數(shù)學考試大綱.在近年來的全國考試大綱以及各地的考試說明中均強調(diào)了對數(shù)學思想方法的考查，這是對數(shù)學知識在更高層次上的考查.考查時，應結(jié)合數(shù)學知識，審核考生對數(shù)學思想方法的運用能力;應從數(shù)學學科的整體上立意，注重通性通法，淡化特殊解題技巧.化歸與轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學高考考查的基本數(shù)學思想方法之一.在近幾年的高考數(shù)學試題中，化歸與轉(zhuǎn)化思想已不同程度地融入到各種類型的數(shù)學高考試題中.下面筆者以2014年部分高考試題為例，闡述一下化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學中的應用應遵循的原則:

3 典題剖析

3.1 化生為熟的原則

解決數(shù)學問題就是將問題從一個生疏領(lǐng)域轉(zhuǎn)化到一個熟悉領(lǐng)域的過程，期間注意比照已解決過的問題，找出其共性和個性.在實際解題過程中，通常表現(xiàn)為借鑒熟悉的事例模型，在未知問題和已知問題之間尋找轉(zhuǎn)化的橋梁.

例1如圖1，4個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，Pi(其中i=1，2，…，8)是上底面上其余的8個點，則(其中i=1，2，…，8)的不同值的個數(shù)為()

圖1

A.1 B.2 C.4 D.8

(2014年上海市數(shù)學高考理科試題)

分析由正四棱柱的性質(zhì)可知，AB與上底面垂直，因此AB⊥BPi(其中i=1，2，…，8)，利用平面向量數(shù)量積的定義與幾何意義可以發(fā)現(xiàn):

點評此題富有新意，解題的關(guān)鍵是充分挖掘題意隱含的條件，讓學生明白在方向上的投影就是，從而將問題化歸到平面向量數(shù)量積的幾何意義中解題.

3.2 化多為少的原則

一個題目中往往含有較多的變量，它們之間必然存在一定的聯(lián)系，我們在解題時，可以通過一定的變形和轉(zhuǎn)化，來減少題目中變量的個數(shù)，從而變成一個較易解決的問題，這是一種從多元向少元的化歸.

例2對于c＞0，當非零實數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大時，的最小值為.

(2014年遼寧省數(shù)學高考理科試題)

解法1(判別式法)令2a+b=t，則

代入到4a2-2ab+4b2-c=0中，得

因為關(guān)于a的二次方程有實根，所以

而此時由Δ=0得

從而2a=3b，得

當|2a+b|取最大值時，

解法2(三角換元法)由已知得

點評多元函數(shù)的最值問題一直是數(shù)學高考中檢驗考生思維能力和綜合素質(zhì)的重要素材.題中有3個變量a，b，c，而解題的目標是探討使|2a+b|最大時，求出的最小值.因此解題過程的著重點是要放在“|2a+b|最大”上.解題中需通過從多元向少元的化歸，挖掘出a，b，c這3個變量間的隱性關(guān)系.

3.3 化繁為簡的原則

這一原則就是通過對一時無法解決的復雜問題，通過一定形式和方法的拆解和變形，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的簡單問題，或是規(guī)范化問題，從而達到解決復雜問題的目的.

1)求橢圓C的標準方程.

2)設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過點F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.

①證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標原點);

(2014年四川省數(shù)學高考理科試題)

分析1)由橢圓的定義可知

2)①要證OT平分線段PQ，可以考慮證明PQ的中點M與點O，T共線，即證

②要求2條線段比值的最值，關(guān)鍵是要將線段的比值轉(zhuǎn)化為一個變量的函數(shù)關(guān)系式，然后再根據(jù)其類型選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行求解.可以設(shè)PQ的方程為x=my-2，代入橢圓方程得到

當m=±1時，取到等號，此時T的坐標為(-3，1)，(-3，-1).

點評圓錐曲線的綜合問題是讓眾多考生感到復雜而又困難的一種題型.對于此類題型在解答時要時刻關(guān)注解析幾何的基本思想:用代數(shù)的方法來研究幾何問題.最根本的做法就是將幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)地代數(shù)化、數(shù)量化，即先把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后運用代數(shù)的知識來解決，最后再回到幾何中去.

3.4 化一般為特殊的原則

例4在平面直角坐標系xOy中，已知向量a， b，|a|=|b|=1，a·b=0，點Q滿足，曲線，區(qū)域.若C∩Ω為2段分離的曲線，則()

A.1＜r＜R＜3 B.1＜r＜3≤R

C.r≤1＜R＜3 D.1＜r＜3＜R

(2014年安徽省數(shù)學高考理科試題)

分析設(shè)a=(1，0)，b=(0，1)，則

點評此題主要針對平面向量的應用與線性規(guī)劃知識相結(jié)合的綜合問題的考查.如按題意，對a，b設(shè)變量來做顯然非常復雜，而利用特殊符合一般的原則，將a，b特殊化，較大幅度地簡化了問題的難度.

圖2

3.5 化難為易的原則

例5設(shè)a1=1，(其中n∈N*).

1)若b=1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項公式.

2)若b=-1，問:是否存在實數(shù)c，使得a2n＜c＜a2n+1對所有n∈N*成立?證明你的結(jié)論.

(2014年重慶市數(shù)學高考理科試題)

分析1)由a1=1，，可猜想

然后用數(shù)學歸納法證明這個猜想.

用數(shù)學歸納法證明:

由式(1)和式(2)及f(x)在(-∞，1］上為減函數(shù)，得

點評數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動態(tài)的函數(shù)觀點是解決數(shù)列問題的有效方法.數(shù)列中的恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問題不僅能加深對數(shù)列的理解，也有助于學生解題思維能力的培養(yǎng)及增強應用函數(shù)思想解題的意識.

4 精題集萃

2.在△ABC中，若sin(A-B)=1+2cos(B+ C)sin(A+C)，則△ABC的形狀一定是()

A.等邊三角形 B.不含60°的等腰三角形

C.鈍角三角形 D.直角三角形

3.如圖3，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，點M在與正方體的各棱都相切的球面上運動，點N在△ACB1的外接圓上運動，則線段MN長度的最小值是()

圖3

圖4

5.若實數(shù)a，b，c滿足2a+2b=2a+b，2a+2b+ 2c=2a+b+c，則c 的最大值是______.

7.已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α， β為銳角，且

1)求cos(α-β)的值;

8.已知數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=Sn+ (-1)n，n∈N*，且是等比數(shù)列.

1)求a的值;

2)求出通項公式an;

9.如圖5，設(shè)橢圓C1:(其中a＞b＞ 0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，下頂點為A，線段OA的中點為B(其中O為坐標原點).若拋物線C2: y=x2-1與y軸的交點為B，且經(jīng)過點F1，F(xiàn)2.

1)求橢圓C1的方程;

圖5

參考答案