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        以曲代曲求證一類對(duì)稱不等式

        2015-12-08 08:11:57張艷宗劉春苗元濟(jì)高級(jí)中學(xué)浙江海鹽314300
        關(guān)鍵詞:切線試題證明

        ●張艷宗劉春苗(元濟(jì)高級(jí)中學(xué)浙江海鹽314300)

        以曲代曲求證一類對(duì)稱不等式

        ●張艷宗劉春苗(元濟(jì)高級(jí)中學(xué)浙江海鹽314300)

        例1已知x,y,z>0,且x4+y4+z4=1,求的最小值.

        (2000年江蘇省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

        評(píng)注此題解法頗多,此處“以曲代曲”雖然沒(méi)有“占到任何便宜”,計(jì)算量也不小,但指出了此不等式的幾何意義,也恰是本解法的亮點(diǎn)所在.

        例2已知0<a,b,c<1,且滿足ab+bc+ca=1,求證:

        (2004年新加坡數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

        評(píng)注將條件適當(dāng)放縮、改造,創(chuàng)造使用“以曲代曲”有利的外部環(huán)境.

        例3已知xi>0(其中i=1,2,…,5),且,證明:

        (2003年中國(guó)西部數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

        分析不等式中條件式及待證式都是關(guān)于x1,x2,…,x5的對(duì)稱結(jié)構(gòu),推斷當(dāng)x1=x2=…=x5=4時(shí)不等式等號(hào)成立.希望找到一個(gè)函數(shù)g(x),其圖像始終在函數(shù)上方,且在x=4處二者相切.不等式右邊是常數(shù)1,推斷函數(shù)g(x)中含有,且由條件,可預(yù)測(cè)函數(shù)g(x)中含有λ,即,其中λ為待定系數(shù).由此建立輔助不等式記(其中x>0),希望h(x)在x=4時(shí)取得最大值0,則,由h'(4)=0,解得

        式(3)?(x+1)(x2+4)+15(x2+4)≥20x(x+1)?(x-4)2(x+4)≥0.最后一式顯然成立,即式(3)成立,從而

        不等式得證.

        評(píng)注文獻(xiàn)[2]通過(guò)換元,將非線性約束條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件,再構(gòu)造切線證明,過(guò)程稍顯繁雜.此處將“切線法”的思想方法遷移,直接構(gòu)造與函數(shù)f(x)相切的曲線g(x).通過(guò)幾何畫(huà)板作圖易發(fā)現(xiàn),所構(gòu)造的輔助函數(shù)與函數(shù)在點(diǎn)處相切,且當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)g(x)的圖像在f(x)圖像的上方.

        (2014年庫(kù)斯特?cái)?shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽試題)

        證明條件式及待證式都是關(guān)于a,b,c的對(duì)稱結(jié)構(gòu),推斷當(dāng)a=b=c=1時(shí)不等式等號(hào)成立.由于,則類似例3分析,引進(jìn)輔助不等式:(其中,λ為待定系數(shù)).記,且h(x)在x=1時(shí)取得最大值0,則由h'(1)=0,解得

        不等式得證.

        評(píng)注根據(jù)不等式等號(hào)成立的條件,確定函數(shù)f(x)圖像上的切點(diǎn),便于引進(jìn)輔助函數(shù)g(x).

        不等式條件式及待證式左邊的每一項(xiàng)都是只含一個(gè)字母的對(duì)稱結(jié)構(gòu),斷定當(dāng)a=b=c=d=1時(shí)等號(hào)成立.從而建立輔助不等式(其中x>0,λ為待定系數(shù)).記(其中x>0),且h(x)在x=1處取得最小值0,則由h'(1)=0,解得

        評(píng)注獨(dú)辟蹊徑,妙用“以曲代曲”,給人以美的享受.

        證明為將條件abcd=1轉(zhuǎn)化為每一項(xiàng)只含一個(gè)字母的對(duì)稱結(jié)構(gòu),不妨等式2邊取對(duì)數(shù),得lna+ lnb+lnc+lnd=0.觀察不等式,當(dāng)a=b=c=d=1時(shí),取到等號(hào),引進(jìn)輔助不等式(其中x>0,λ為待定系數(shù)).記(其中x>0),希望h(x)在x=1處取得最小值0,則由h'(1)=0,解得,即

        分析可知方程25x3+5x2-x-1=0僅有1個(gè)根x0,且當(dāng)時(shí),h(x)在上遞減,在(1,+∞)上遞增,且h(x)≥h(1)=0,,即當(dāng)時(shí),

        不等式得證.

        評(píng)注本題難度較大.首先,通過(guò)取對(duì)數(shù),將變量的乘積形式轉(zhuǎn)化為每項(xiàng)只含1個(gè)字母的對(duì)稱結(jié)構(gòu),以便利用“以曲代曲”;其次,在構(gòu)造輔助不等式的過(guò)程中發(fā)現(xiàn),輔助不等式對(duì)變量的范圍有限制,通過(guò)分類討論對(duì)變量在不同的范圍分別進(jìn)行證明.

        正如文獻(xiàn)[1]指出,“以曲代曲”是傳統(tǒng)切線法的深化與發(fā)展,在處理這類對(duì)稱性不等式問(wèn)題上發(fā)揮奇效,不但可以優(yōu)化解題思路,而且有利于溝通函數(shù)與不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互關(guān)系,還有利于尋找不等式中隱藏的幾何意義.希望有興趣的同仁加入到研究的隊(duì)伍中來(lái).

        [1]張艷宗,徐佳月.以曲代曲證明不等式——切線法的深化與發(fā)展[J].數(shù)學(xué)通訊:下半月,2014(10): 24-27.

        [2]張宏.利用切線方程證明不等式[J].中等數(shù)學(xué),2009(4):6-12.

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