●尚品山(榆林第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)陜西榆林718000)

關(guān)于切點(diǎn)三角形的幾個(gè)有趣性質(zhì)

●尚品山(榆林第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)陜西榆林718000)

常庚哲先生在1980年第2期的《數(shù)學(xué)通報(bào)》中給出了與內(nèi)心的切點(diǎn)三角形有關(guān)的2個(gè)優(yōu)美不等式.筆者受此啟發(fā)，對(duì)切點(diǎn)三角形的相關(guān)性質(zhì)也進(jìn)行了一些探索與研究，得到如下結(jié)果.

為了敘述簡(jiǎn)便，文中約定:△ABC與其切點(diǎn)△A'B'C'的邊長(zhǎng)分別為a，b，c與a'，b'，c';△ABC的面積、半周長(zhǎng)、內(nèi)外切圓的半徑及內(nèi)心到各頂點(diǎn)的距離分別為Δ，s，r，R及R1，R2，R3.

圖1

引理1在△A'B'C'中，有

證明略.

引理2［1］在△ABC中，有如下恒等式:

引理3［2］在△ABC中，有如下不等式:

證明根據(jù)柯西不等式知

結(jié)合式(2)得

而由式(5)可知

從而由式(10)和式(11)可得

另由海倫公式及半角余弦公式可得

根據(jù)均值不等式并結(jié)合式(14)，得

從而由式(12)和式(15)即得欲證.

結(jié)合式(4)和式(6)，得

從而由式(17)、式(18)即得欲證.

證明根據(jù)柯西不等式知

而由定理2的證明過程易知

另由熟知的三角形恒等式

并結(jié)合式(4)得

則由式(20)知

從而利用式(5)有

又由均值不等式并結(jié)合式(3)、式(7)、式(17)，得

從而由式(21)、式(22)即得欲證.

證明由引理1及定理2的證明過程知

從而由式(8)，得

從而由式(24)、式(25)即得欲證.

［1］陳計(jì)，葉中豪.初等數(shù)學(xué)前沿［M］.南京:江蘇教育出版社，1996:90-96.

［2］楊世明.中國(guó)初等數(shù)學(xué)研究文集［M］.鄭州:河南教育出版社，1992:870-886.