肖重明

摘 要：離心率是圓錐曲線的一個(gè)特別重要的知識(shí)點(diǎn)，求解圓錐曲線離心率的取值范圍，是平面解析幾何中的重難點(diǎn)，其自然會(huì)成為高考考查的重點(diǎn)。就求解圓錐曲線離心率取值范圍提出一些方法見(jiàn)解。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；離心率；取值范圍；不等式

求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍，關(guān)鍵就在于由已知和潛在條件得到一個(gè)關(guān)于基本量a，b，c，e的一個(gè)不等式，再化簡(jiǎn)為形式，就可以從中求出離心率范圍，關(guān)鍵就在于構(gòu)建不等式。

一、利用點(diǎn)與圓錐曲線的關(guān)系構(gòu)建不等式

可以充分考慮點(diǎn)和圓錐曲線的關(guān)系，利用向量、坐標(biāo)法或其他方法進(jìn)行不等式的構(gòu)建解析。如例題1：有橢圓 +y2=1，n>0，在這個(gè)橢圓上有兩個(gè)關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)A，B。求橢圓的離心率取值范圍。此題可用點(diǎn)差法求出線段AB的中點(diǎn)G坐標(biāo)（用n表示），G點(diǎn)定在橢圓內(nèi)，根據(jù)橢圓內(nèi)部點(diǎn)坐標(biāo)遵循不等式 +y2<1，求出n的取值范圍，因?yàn)閑2=1- ，再把n的取值范圍帶入，再結(jié)合橢圓離心率大于0、小于1的特性綜合求出e的取值范圍。

二、利用直線和圓錐曲線的關(guān)系條件

部分求解圓錐曲線離心率的題目中，是以直線與圓錐曲線位置設(shè)置問(wèn)題條件的，那就利用這個(gè)關(guān)系，再結(jié)合代數(shù)知識(shí)構(gòu)建不等式求解離心率范圍。例如命題者普遍會(huì)將雙曲線同直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題作為限制條件，讓求解離心率。因?yàn)榇嬖诮稽c(diǎn)，就可以整合直線方程和雙曲線方程構(gòu)造新的一元二次方程，轉(zhuǎn)化成該方程根個(gè)數(shù)的問(wèn)題，據(jù)此分情況列出不等式求離心率。

三、結(jié)合其他知識(shí)塊構(gòu)建不等式

在求解離心率的過(guò)程中不能只局限與圓錐曲線的知識(shí)，還要結(jié)合其他知識(shí)模塊，找到解題思路，通常運(yùn)用較多的知識(shí)模塊有二元一次方程、均值不等式、三角形三邊關(guān)系等，其中均值不等式多結(jié)合余弦定理使用。

四、利用圓錐曲線自身性質(zhì)構(gòu)建不等式

充分理解圓錐曲線的性質(zhì)對(duì)其離心率范圍的求解大有好處，比如雙曲線的焦半徑取值范圍、橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線間夾角最大時(shí)，這個(gè)點(diǎn)在橢圓的短端點(diǎn)上。例如題目：橢圓（a>b>0）上存在點(diǎn)P使得其與兩個(gè)焦點(diǎn)連線夾角∠F1PF2為120°，求離心率e的取值范圍。根據(jù)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線間夾角最大時(shí)，這個(gè)點(diǎn)在橢圓的短端點(diǎn)上的性質(zhì)，只要保證∠OBF2≥60°即可，即sin∠OBF2=≥ ，e的范圍也就可以求出來(lái)了。

參考文獻(xiàn)：

張利平.揭秘高考圓錐曲線離心率的幾種常規(guī)求法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（09）.

編輯 謝尾合