閆曉慶

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景。它既有“形”的直觀，又有“數(shù)”的抽象，是數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)換的紐帶，并廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中。向量的應(yīng)用是一種新的思想方法，新的探索問(wèn)題的途徑，通過(guò)向量可以展示一種新的思維能力和創(chuàng)新意識(shí)。

向量作為工具研究幾何問(wèn)題，開創(chuàng)了研究幾何為題的新方法，把幾何的直觀性與代數(shù)運(yùn)算有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使直觀的幾何關(guān)系代數(shù)化，抽象的運(yùn)算直觀化，這樣就使數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。運(yùn)算是向量的靈魂，是連接數(shù)與形的紐帶，它建立了代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使我們能夠通過(guò)代數(shù)運(yùn)算來(lái)研究幾何問(wèn)題。

下面就談?wù)勏蛄窟@把金鑰匙在幾何中的應(yīng)用：

—、在解析幾何中的應(yīng)用

向量法在解析幾何中的應(yīng)用主要是通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題坐標(biāo)化、代數(shù)化，利用代數(shù)法研究曲線性質(zhì)。用向量法解決解析幾何問(wèn)題的優(yōu)越性在于將錯(cuò)綜復(fù)雜的位置關(guān)系演化為純粹的代數(shù)運(yùn)算。

運(yùn)用向量方法解決解析幾何問(wèn)題的一般步驟是：

（1）建立解析幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；

（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；

（3）把運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系。

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，T為直線x=-3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q。當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時(shí)，求四邊形OPTQ的面積。

向量法可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，它為解析幾何問(wèn)題開辟了一條新途徑，但是要對(duì)解析幾何中圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系進(jìn)行認(rèn)真分析，充分挖掘問(wèn)題的向量背景。

二、向量在立體幾何中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，選修2-1引入了空間向量，拓展了解決立體幾何問(wèn)題的路子，大大降低了思維度。而用空間向量的方法解答立體幾何問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形建立空間直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，再根據(jù)題目要求，通過(guò)向量的運(yùn)算，判定或證明空間元素的位置關(guān)系。

例：如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)。

由此可見(jiàn)，向量法處理立體幾何問(wèn)題，思路明確，易于下手，避免了復(fù)雜的空間想象，降低了解題的難度，增強(qiáng)了可操作性，消除了學(xué)生的畏懼心理。

因此，向量確實(shí)是解決幾何問(wèn)題強(qiáng)有力的工具。所以，在整個(gè)高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，如能學(xué)會(huì)用向量方法處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，這不僅可使相應(yīng)問(wèn)題的解法簡(jiǎn)潔，而且反復(fù)地應(yīng)用能幫助學(xué)生深入理解向量概念，熟練掌握向量的運(yùn)算，更能學(xué)到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化變形等重要的數(shù)學(xué)思想，能明顯減輕學(xué)生和教師的負(fù)擔(dān)，同時(shí)為學(xué)生進(jìn)入高校進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)打下良好的基礎(chǔ)。

因此，向量是解決幾何問(wèn)題的一把金鑰匙。

編輯 王團(tuán)蘭