張豪 李彥夫 牟娟

摘 要：文章基于GARCH（1，1）模型估計(jì)股票未來(lái)收益率范圍。首先利用此模型求出個(gè)股的年波動(dòng)率，并結(jié)合股票價(jià)格正態(tài)性估計(jì)出某時(shí)段的收益率范圍，然后以實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，經(jīng)運(yùn)用和驗(yàn)證后確定此模型的可適用性;最后以此模型估計(jì)未來(lái)股票收益率范圍，基于國(guó)內(nèi)股市易受國(guó)家政策影響的特點(diǎn)提出投資意見(jiàn)。

關(guān)鍵詞：股票價(jià)格收益率 波動(dòng)率 GARCH模型

中圖分類號(hào)：F830.91 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-4914（2015）08-097-04

一、引言

波動(dòng)率是股票收益率不確定性的一種度量，是衡量金融風(fēng)險(xiǎn)的重要指標(biāo)，被廣泛使用于整個(gè)金融理論研究與投資實(shí)務(wù)中，例如資產(chǎn)定價(jià)、投資組合優(yōu)化、風(fēng)險(xiǎn)管理等。研究表明，波動(dòng)率具有明顯的集聚性和持續(xù)性，具有很強(qiáng)的自相關(guān)特性，因此，對(duì)于市場(chǎng)波動(dòng)率的歷史研究能夠幫助人們更好地預(yù)測(cè)它的變化趨勢(shì)、管控投資風(fēng)險(xiǎn)、提高收益率。現(xiàn)實(shí)需求與理論需求，催生了大量的波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型研究，典型例子如指數(shù)加權(quán)移動(dòng)平均（EWMA）模型、自回歸條件異方差（ARCH）模型、廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型，等等。就GARCH模型來(lái)說(shuō)，使用最為普遍的當(dāng)屬GARCH（1，1）模型。研究人員使用這些模型對(duì)金融市場(chǎng)做了許多研究，包括匯率市場(chǎng)、期貨市場(chǎng)、股票市場(chǎng)、金融衍生產(chǎn)品市場(chǎng)等。

中國(guó)經(jīng)濟(jì)在2010年成為世界第二大經(jīng)濟(jì)體，國(guó)內(nèi)投資者投資需求急劇擴(kuò)大，但受限于國(guó)內(nèi)金融市場(chǎng)的不發(fā)達(dá)，大量的國(guó)內(nèi)投資者僅限于房地產(chǎn)、國(guó)債、基金、股票等少數(shù)產(chǎn)品，期貨、期權(quán)等衍生品投資只是少數(shù)人的投資領(lǐng)域。在國(guó)內(nèi)房地產(chǎn)價(jià)格持續(xù)多年爆發(fā)性上漲之后，許多個(gè)人投資者把目光投向了股票市場(chǎng)。分析預(yù)測(cè)股票市場(chǎng)收益率的未來(lái)趨勢(shì)，可以為個(gè)人投資者提供一定的參考。本文選取了國(guó)內(nèi)11個(gè)板塊的代表性個(gè)股作為研究對(duì)象，使用GARCH（1，1）模型分析各板塊收益率的波動(dòng)率、預(yù)測(cè)未來(lái)股票收益率的范圍。

二、數(shù)據(jù)選取和分析

本文選取滬深300成份股中的代表11個(gè)不同板塊的11只股票作為研究對(duì)象，涵蓋2011年首個(gè)交易日的收盤(pán)價(jià)至2014 年最后一個(gè)交易日共969個(gè)數(shù)據(jù)。為了方便分析，防止休市日數(shù)據(jù)空缺，將數(shù)據(jù)向前推移，形成連續(xù)的時(shí)間序列。其來(lái)源是大智慧軟件的歷史數(shù)據(jù)。無(wú)論是對(duì)投資者還是分析人員來(lái)說(shuō)，收盤(pán)價(jià)都是很重要的，更能反映上市股票的股份走勢(shì)，從而具有引導(dǎo)投資者或者分析人員的作用。日市場(chǎng)收益率，是反映日價(jià)格波動(dòng)變化程度的指標(biāo)，收益率的標(biāo)準(zhǔn)差或方差可以體現(xiàn)市場(chǎng)的波動(dòng)特征和風(fēng)險(xiǎn)特征，因此選擇日市場(chǎng)收益率來(lái)研究既是市場(chǎng)需求也是研究慣例。

通過(guò)對(duì)選取的11只股票股價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，通過(guò)使用大智慧軟件下載，得到各股的日收盤(pán)價(jià)格，表1列出各股的統(tǒng)計(jì)期間的首個(gè)收盤(pán)價(jià)和最后收盤(pán)價(jià)，以及除去各股停牌日的數(shù)據(jù)得到總的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。最少為928個(gè)，最多為969個(gè)，基本在940個(gè)左右。

（一）收益率描述性統(tǒng)計(jì)

先描述建立模型和統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)所使用的基本數(shù)據(jù)，將股票市場(chǎng)日收益率rt定義為股價(jià)比值的對(duì)數(shù)，即股價(jià)對(duì)數(shù)值的一階差分。

rt=ln=lnst-lnst-1

其中st，st-1表示時(shí)刻t，t-1的股票收盤(pán)價(jià)格。選取對(duì)數(shù)收益率在統(tǒng)計(jì)計(jì)算時(shí)更容易處理：

lnst-lnst-k=lnss=lnss·ss…ss

=lnss+lnss+…lnss

=rt+rt-1+…rt-k

這樣連續(xù)復(fù)合多期的收益率只需要把它寫(xiě)成單周期的收益率的加總。

下面就國(guó)金證券做詳細(xì)介紹。求出國(guó)金證券股票的日收益率，并結(jié)合時(shí)間變化得到收益率的時(shí)間序列圖：

通過(guò)對(duì)國(guó)金證券收益序列的線性圖可以看出，國(guó)金證券股票收益率表現(xiàn)出持續(xù)性和波動(dòng)集聚性，即大的波動(dòng)后面常常伴隨著較大的波動(dòng)，較小的波動(dòng)后面的波動(dòng)也較小。

對(duì)于國(guó)金證券進(jìn)行分析，經(jīng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得到國(guó)金證券對(duì)數(shù)收益率序列均值（Mean）為0.1056%，標(biāo)準(zhǔn)差（Std.Dev.）為0.030495，偏度（Skewness）為0.350899大于0，說(shuō)明序列分布有長(zhǎng)的右拖尾，即樣本期間內(nèi)收益率大于于平均值的交易日較多。峰度（Kurtosis）為4.625334，高于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的峰度3，說(shuō)明收益率序列具有尖峰的特征。Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量為38.80067遠(yuǎn)大于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值9.21，說(shuō)明存在“厚尾”的特征，P值為0.00000，拒絕該對(duì)數(shù)收益率序列服從正態(tài)分布的假設(shè)。

對(duì)于其它10只股票的統(tǒng)計(jì)描述重復(fù)以上操作。得到收益率時(shí)間序列與圖1類似，所以就不一一繪出，都具有相似特征。而其它10只股票的描述性統(tǒng)計(jì)量經(jīng)過(guò)整理與國(guó)金證券的數(shù)據(jù)整合后得到表2，從表2中可以了解到國(guó)金證券的平均收益率最高，北大荒的最低。偏度都不為0，峰度值都大于3，J-B值也都非常大。所以其它10只股票的收益率序列也拒絕服從正態(tài)分布假設(shè)。

（二）序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

在對(duì)收益率分析之前，首先遇到數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性問(wèn)題，因?yàn)镚ARCH模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)的要求是序列必須保持平穩(wěn)。本文運(yùn)用ADF（Augmented Dickey—Fuller test）方法檢驗(yàn)方法進(jìn)行序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)，對(duì)收益率序列進(jìn)行檢驗(yàn)，得到的ADF結(jié)果如表3。

ADF檢驗(yàn)結(jié)果顯示：對(duì)于國(guó)金證券的t統(tǒng)計(jì)量的值-29.92496小于顯著性水平為1%的臨界值，同時(shí)對(duì)應(yīng)P值為0，則股票收益率序列在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)，即接受不存在單位根的結(jié)論，因此收益率序列是具有平穩(wěn)性，說(shuō)明利用ARCH類模型進(jìn)行模擬是有效的，同樣檢驗(yàn)其他10只股票，得到的ADF檢驗(yàn)結(jié)果顯示也具有平穩(wěn)性，從而利用ARCH類模型進(jìn)行模擬也是有效的。

（三）序列殘差A(yù)RCH效應(yīng)檢驗(yàn)

序列的平穩(wěn)性得到檢驗(yàn)，再對(duì)序列的相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn)，如果序列不具有自相關(guān)性則只需要考慮GARCH模型，否則需要嵌入ARMA模型來(lái)消除序列的相關(guān)性，再次，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行異方差A(yù)RCH效應(yīng)檢驗(yàn)。

對(duì)于序列自相關(guān)性的檢驗(yàn)，調(diào)用Eviews中的view-correlogram檢驗(yàn)得到其序列的自相關(guān)函數(shù)分析圖2。

AC是自相關(guān)系數(shù)ξk，即構(gòu)成時(shí)間序列的每個(gè)序列值rt，rt-1，…rt-k之間的簡(jiǎn)單相關(guān)關(guān)系。圖1中右邊的序列數(shù)字1，2…12表示滯后階數(shù)，ξk表示時(shí)間序列中相隔k期的觀測(cè)值之間的相關(guān)程度。ξk的取值范圍是-1～1，并且越接近1，自相關(guān)程度越高。PAC是偏相關(guān)系數(shù)？漬kk，是指對(duì)于時(shí)間序列rt，在給定rt-1，rt-2…rt-k+1的條件下，rt與rt-k之間的條件相關(guān)關(guān)系。其值的范圍為-1～1，AC下對(duì)應(yīng)的數(shù)值表示對(duì)應(yīng)滯后階數(shù)k下的自相關(guān)系數(shù)大小，可以觀察到序列的自相關(guān)程度很低。且Q統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的P值均大于置信度0.05，所以序列在5%的顯著性水平上不存在顯著的相關(guān)性。其它10只股票經(jīng)同樣檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)其它收益序列也不具有顯著自相關(guān)性。

由于序列不存在顯著的相關(guān)性，即rt與rt-1之間無(wú)關(guān)系是由于受到白噪聲干擾。將白噪聲定義為εt。

設(shè)立模型：rt=πt+εt

將去序列去均值化，得到et=rt-rt，國(guó)金證券取均值后為et=rt-0.001056

通常檢驗(yàn)一個(gè)模型的殘差是否含有ARCH效應(yīng)的檢測(cè)方法包括：ARCH—LM檢驗(yàn)和殘差平方相關(guān)圖檢驗(yàn)。本文運(yùn)用殘差平方相關(guān)圖方法來(lái)檢驗(yàn)國(guó)金證券的收益率序列。對(duì)殘差的平方相關(guān)圖檢驗(yàn)首先建立zt=e2t，再對(duì)zt用軟件取view-correlogram，得到zt的自相關(guān)函數(shù)分析圖如下：

由圖3可以觀察自相關(guān)系數(shù)AC，PAC對(duì)應(yīng)的值很小，且Q統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的伴隨概率p都基本為0。所以殘差平方序列存在自相關(guān)，即序列具有ARCH效應(yīng)。

重復(fù)以上操作得到其它10只股票的殘差平方序列自相關(guān)函數(shù)分析圖，整理數(shù)據(jù)后得到表4（見(jiàn)下頁(yè)），除了寶新能源的伴隨概率隨著滯后階數(shù)增大而趨于0以外，其它各股對(duì)應(yīng)伴隨概率都趨近于0這里就沒(méi)有一一列出。由表4可知寶新能源在高階滯后下也具有ARCH效應(yīng)，其它10只股票的ARCH效應(yīng)顯著，所以這里只需用GARCH模型對(duì)各股收益率下一列進(jìn)行建模。

三、GARCH（p，q）模型

在描述收益率序列rt的GARCH（p，q）模型由兩部分組成。第一部分是均值過(guò)程：

Rt=a+θiRt-i+εi+ηjεt-j

第二部分為條件異方差：

h2t=β+φiε2t-i+ψjh2t-j;β>0，φi>0，ψj>0;

即隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)滿足上式則序列服從GARCH（p，q）過(guò)程。

實(shí)際應(yīng)用中，模型中的q值較小，所以一般地GARCH（1，1）模型就能夠描述大量的金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)。

（一）GARCH（1，1）一般模型

GARCH（1，1）模型的公式為

σ2t=γVL+αr2t-1+βσ2t-1 ? （1）

其中，σt為t天后的某個(gè)市場(chǎng)變量的波動(dòng)率，σ2t為第t天的方差率，VL為長(zhǎng)期平均收益率方差，γ為VL的權(quán)數(shù)，α為r2t-1的權(quán)數(shù)，β為σ2t-1的權(quán)數(shù)。因?yàn)闄?quán)數(shù)之和為1，有

γ+α+β=1

GARCH（1，1）模型中的“（1，1）”表示σ2t是基于r2的最近觀測(cè)值和方差率的最近估計(jì)值。

設(shè)ω=γVL，則GARCH（1，1）模型可以重新寫(xiě)為

σ2t=ω+αr2t-1+βσ2t-1 ? ?（2）

估計(jì)參數(shù)的時(shí)候，常用模型（2）的形式，一旦得到ω，α以及β的估計(jì)值，則γ等于1-α-β。長(zhǎng)期平均方差率VL可以計(jì)算成ω/γ。為了得到穩(wěn)定的GARCH（1，1）過(guò)程，需要滿足α+β<1，不然長(zhǎng)期方差率的權(quán)數(shù)將是負(fù)值。

（二）GARCH（1，1）模型中的參數(shù)估計(jì)

σ2t=ω+αr2t-1+βσ2t-1

通過(guò)EViews軟件估計(jì)各股票模型參數(shù)結(jié)果如表5所示：

通過(guò)表示了計(jì)算GARCH（1，1）模型參數(shù)的過(guò)程，經(jīng)過(guò)計(jì)算的到的參數(shù)值分別為ω=3.02e-05，a=0.053084，β=0.915674，

得到：σ2t=3.02e-05+0.05308r2t-1+0.915674σ2t-1

并且本例中長(zhǎng)期方差率VL為：0.0009666784長(zhǎng)期波動(dòng)率為=0.03109，即日波動(dòng)率0.03109，而年波動(dòng)率σ=0.03109=0.492356即49.2356%，由于股票波動(dòng)率典型處于15%～60%之間，通過(guò)實(shí)際波動(dòng)率的值49.2356%對(duì)GARCH（1，1）模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度做一個(gè)預(yù)估計(jì)。

四、波動(dòng)率預(yù)測(cè)

股票波動(dòng)率可以定義為股票收益率的年標(biāo)準(zhǔn)差。對(duì)于股票未來(lái)波動(dòng)率對(duì)于投資者或證券研究人員非常重要，所以會(huì)嘗試估計(jì)出未來(lái)波動(dòng)率，這里主要利用GARCH（1，1）模型來(lái)估計(jì)。

（一）波動(dòng)率的極大似然估計(jì)

首先定義第i天的方差估計(jì)值vi=σ2i。我們假設(shè)ri關(guān)于方差的條件概率分布為正態(tài)分布。那么，最佳的參數(shù)應(yīng)該最大化表達(dá)式（3）的值：

exp （3）

取對(duì)數(shù)得到右式中的-lnvi-最大化，即-mln（v）-最大化，我們只需要使得最大化即，將該等式關(guān)于v求導(dǎo)，并令它等于零，我們得到的v的極大似然估計(jì)為r2i。即可以定義第3天的波動(dòng)率v3=r22=1.8971e-06，從而對(duì)于未來(lái)某天的波動(dòng)率可以基于已知波動(dòng)率求出。

（二）未來(lái)股票波動(dòng)率的估計(jì)

第t天的波差率可以從第t-1天結(jié)束之時(shí)估計(jì)得出。當(dāng)使用GARCH（1，1）模型的時(shí)候，該值為

σ2t=（1-α-β）VL+αr2t-1+βσ2t-1即

σ2t-VL=α（r2t-1-VL）+β（σ2t-1-VL） （4）

在未來(lái)的第t+n天，有σ2t-n-VL=α（r2t+n-1-VL）+β（σ2t+n-1-VL）r2n+t-1的期望值為σ2n+t-1。因此E[σ2t+n-VL]=（α+β）E[σ2t+n-1-VL]，其中E表示期望值。反復(fù)利用該等式，可以得到E[σt+n-VL]=（α+β）n（σ2t-VL）即E[σ2t+n]=VL+（α+β）n（σ2t-VL），該公式利用了第t-1天結(jié)束之時(shí)存在的信息，預(yù)測(cè)了第t+n天的波動(dòng)率。

例如已知2011年1月6日國(guó)金證券股價(jià)波動(dòng)率為1.8769e-06，可以求出2014年12月31日的股價(jià)波動(dòng)率期望為E[σ2946]=VL+（α+β）943（σ23-VL）=0.000966647。這樣我們利用這個(gè)模型可以估計(jì)未來(lái)股票收益率的波動(dòng)率，在為股票投資者提供一種參考。

五、收益率預(yù)測(cè)

由于股票市場(chǎng)的股票收益率的分布不符合正態(tài)分布而是接近穩(wěn)態(tài)分布，所以對(duì)于股票收益率的預(yù)測(cè)比較難控制，而本篇論文結(jié)合傳統(tǒng)B-S期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股票價(jià)格在短時(shí)間內(nèi)變化服從正態(tài)分布，根據(jù)正太分布的可加性可以假設(shè)股票價(jià)格收益率服從正態(tài)分布。以此估計(jì)股票未來(lái)收益率。

由伊藤定理推導(dǎo)出lns遵循的過(guò)程滿足的股價(jià)行為模型：

ln（sT/s0）～漬μ-T，σ

μ為股票年預(yù)期收益率，σ為股票價(jià)格的年波動(dòng)率。

現(xiàn)在定義μ為0時(shí)刻與T時(shí)刻之間的連續(xù)復(fù)利年收益，那么：

sT=s0eμT，因此μ=ln

其中s0=7.3，st=19.79，T=4，σ=0.4924

得μ=0.2493，則3個(gè)月后的股票收益率滿足式（4）：

ln（s0.25/s1）～漬0.2493-0.4924/2×0.25，0.4924

（4）

s0.25為2015年3月底的股價(jià)，s1=19.79。

由于一個(gè)正態(tài)分布變量值位于均值兩邊1.96倍標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率為95%。因此，95%的置信度下3月底收益率范圍為

0.032-1.96×0.2462

即實(shí)際收益率落在-0.45～0.515之間的概率為95%。通過(guò)大智慧軟件取得數(shù)據(jù)2015年3月31日的股票收盤(pán)價(jià)格為25.51，當(dāng)天收益率為0.254為正好落在這一區(qū)間內(nèi)。同樣估計(jì)出其它股票的波動(dòng)率期望以及2015年3月31日的收益率，驗(yàn)證收益率是否落在預(yù)測(cè)的3月低股票收益率范圍內(nèi)，結(jié)果如表6。

由表6可以看出11只股票的實(shí)際收益率落在預(yù)測(cè)范圍內(nèi)的有7只，而有4只股票的實(shí)際收益率超出估計(jì)范圍上限。由于2011到2014年股票市整體緩慢上升，這里利用歷史數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)2015年股票收益率。而近幾年在新一輪經(jīng)濟(jì)改革下，國(guó)家相繼出臺(tái)經(jīng)濟(jì)政策，例如2015年1號(hào)文件關(guān)于農(nóng)業(yè)改革，“一帶一路”的不斷發(fā)展，“國(guó)企改革”等等一系列舉措在刺激國(guó)內(nèi)需求，再結(jié)合國(guó)內(nèi)股市受國(guó)家政策影響較大的特點(diǎn)。所以2014年下半年和2015年一季度的股市漲幅普遍較大，所以政策相關(guān)股的收益率基本超出預(yù)期收益率上限范圍。同時(shí)對(duì)股票未來(lái)的某天的的波動(dòng)率的平方提供期望值，能對(duì)于股票后期風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)提供一定參考，所以此模型具有一定實(shí)用性。結(jié)合實(shí)證結(jié)果最后運(yùn)用此模型估計(jì)6月初的各股收益率，可以提供投資者和研究員提供參考。

六、主要結(jié)論與啟示

本文結(jié)合GARCH（1，1）模型估計(jì)股票未來(lái)波動(dòng)率和收益率。這樣投資者和研究人員在分析股票的時(shí)候結(jié)合估計(jì)結(jié)果可以做一定的參考分析。這里11只股票涉及11個(gè)不同板塊領(lǐng)域，以及結(jié)合“一帶一路”和“國(guó)企改革”等大的經(jīng)濟(jì)政策方針，結(jié)合中國(guó)股票市場(chǎng)和宏觀經(jīng)濟(jì)的關(guān)系，不難看出鋼鐵、鐵路的板塊股票漲幅明顯較大，適合投資，對(duì)于厭惡風(fēng)險(xiǎn)的投資者可以選擇銀行、鋼鐵和通信行業(yè)，因?yàn)樗鼈兊哪瓴▌?dòng)率相對(duì)較小，而對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者可以推薦證券行業(yè)，它的年波動(dòng)率較大且收益率范圍最大，適合風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者投資。結(jié)合此模型可以對(duì)其它股票做同樣研究預(yù)測(cè)為投資分析作參考。以上的結(jié)論意見(jiàn)由本文實(shí)證研究所得，僅供參考。

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（作者單位：云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 云南昆明 650500）

（責(zé)編：賈偉）