申海濱 (浙江省杭州市閑林職業(yè)高級中學 311122）

變中激趣，趣中促效
——中職數(shù)學多元表征的變式教學實踐探究

申海濱 (浙江省杭州市閑林職業(yè)高級中學 311122）

本文以系統(tǒng)論、學習論、認知論為理論依托，闡述了中職數(shù)學多元表征的變式教學的基本功能、實踐操作的要領和注意事項，并在實踐的基礎上對如何搞好中職數(shù)學多元表征的變式教學進行了反思與思考。目的是通過變式與多元表征相互作用來激發(fā)學生的學習熱情，發(fā)揮教師主導、學生主體地位的作用，真正實現(xiàn)“以學定教”的核心思想。

中職數(shù)學 以學定教 多元表征變式教學

中職生源質(zhì)量逐年降低，學生的數(shù)學基礎較差，在長期數(shù)學學習中不能完成預期學習，經(jīng)常體驗失敗的挫折感，以至于在情感、動機、行為上表現(xiàn)出一種消極心理狀態(tài)，喪失了自信心，質(zhì)疑自己的智力水平和數(shù)學學習能力。具體表現(xiàn)為，在課堂上不能主動積極地參與課堂，抬頭的學生悶聲不響不發(fā)表意見，低頭的學生各管各的事情，表現(xiàn)出事不關己高高掛起的冷漠狀態(tài)。為了改變這一狀況，我提出了進行多元表征的變式教學。數(shù)學多元表征是指同一數(shù)學知識的不同表現(xiàn)形式，可以形象地凸顯一個數(shù)學對象的多元屬性，把握數(shù)學學習對象的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性。多元表征學習能豐富學生多角度的知識理解，幫助學生形成科學的知識體系。變式教學是傳統(tǒng)的中國數(shù)學教學方法，在“四基”方面有著獨特的功能，它能激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)，培育學生的創(chuàng)新精神。由此來看，可以說數(shù)學多元表征學習與變式教學的本質(zhì)是一樣的。本文利用變式問題促進學生多元表征，以多種表達手段為支撐，多元表征來變式，以學定教，以期達到“變中激趣、變中促效”的目的。

一、多元表征的變式教學概述

(一)多元表征的變式教學核心思想

多元表征的變式教學核心思想是“以學論教”。一方面，教師要為學生搭建合理的學習平臺，通過不同的表征觀察、思考學習，把學生推到解決問題的前臺，凸顯出學生的主體作用；另一方面，教師應立足學生，圍繞同一知識點，堅持低起點、慢步調(diào)、小難度來設置多元表征問題變式，促進學生學習，使他們形成知識體系。

(二)多元表征的變式教學特點

1.系統(tǒng)性

多元表征與變式教學是一個有序、反饋、整合的教學系統(tǒng)，它能呈現(xiàn)數(shù)學概念、原理、思想方法內(nèi)在的聯(lián)系，使學生在學習中通過觀察、區(qū)分、比較、圖示，梳理出知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有選擇、有規(guī)律地建構成知識整體。

2.層次性

多元表征的變式教學就是從多個角度、多層次突顯出概念的內(nèi)涵，逐步揭示概念的本質(zhì)屬性。運用此方法教學，能使不同認知水平的學生在學習相同的數(shù)學概念、思想方法時，建構和完善知識結構，建立新舊知識的有機聯(lián)系。

3.漸變性

多元表征的變式教學利用同一數(shù)學教學主題的不同表現(xiàn)形式，不斷變更問題的情境或改變學生思維的角度，在保持數(shù)學主題的本質(zhì)特征不變的情況下，深刻地揭示問題的實質(zhì)，易讓學生理解。

(三)多元表征與變式教學的理論依據(jù)

1.從系統(tǒng)論看基于多元表征的變式教學

系統(tǒng)論是科學的世界觀和方法論。①多元表征的變式教學系統(tǒng)符合系統(tǒng)論的三條原理：反饋原理、有序原理、整體原理。

2.從學習論看基于多元表征的變式教學

奧蘇貝爾認為有意義學習是新知識和已有知識某些特許方面建立學習者新舊知識的合理和實質(zhì)性的聯(lián)系。一方面，多元表征的變式教學可以使學生多角度地理解數(shù)學知識的本質(zhì)屬性，使得學生獲得知識的本質(zhì)聯(lián)系；另一方面，通過知識點的多元表征轉化，學生可以獲得數(shù)學知識形成、問題解決的經(jīng)驗，建立新舊知識的有機聯(lián)系。

3.從認知論看基于多元表征的變式教學

從知識認知論看，不同類別的知識是互補的，在一定條件下可以相互轉化，多元表征的變式教學，符合兩類知識轉化理論，從發(fā)展認知論看，學生認知的基礎是經(jīng)驗，經(jīng)驗有各種形式、概念及理論結構。多元表征的學習，就是經(jīng)驗與直覺的重現(xiàn)，能發(fā)展學生的思維。

二、多元表征的變式教學實踐

（一）落實目標，關注學生

課堂教學核心就是落實知識與技能。在一節(jié)課或一個知識板塊的學習中應始終以本節(jié)課的教學目標為限度。多元表征的變式教學十分重視學生的主體作用。不同的學生頭腦中信息表征的方式千差萬別，在認知活動中，我們應關注學生的個體差異，重視學生在學習活動中的真實思維。

案例1 數(shù)列的通項公式

步驟1：剪紙。將一張長為16厘米的正方形紙片剪成四個大小、形狀一樣的小正方形，再將其中的一個小正方形剪成四個小正方形，如此循環(huán)進行下去，剪六次一共剪出多少個小的正方形？

設計意圖：學生利用課前準備好的正方形紙片、剪刀，動手操作，教師做適當?shù)闹笇?，有個別學生不理解怎樣剪時，教師可恰當給出示范。通過動手實踐，激發(fā)學生的興趣，讓學生參與到課堂學習中去。

步驟2：填表。把每一次剪得的正方形數(shù)填在下面的表格。

剪的次數(shù)（n） 1 2 3 4 5 6 ．．．．．．4 7 10 13 16 19 ．．．．．．正方形個數(shù)（na）

當學生把表格填好后，進一步提出以下問題：

（1）如果能剪99次，共剪出多少個正方形？根據(jù)表格里的數(shù)據(jù)分析，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（2）所剪的正方形個數(shù)an與所剪的次數(shù)n有什么關系？用數(shù)學表達式表示。

設計意圖：填表的過程是一個難度較低動手實踐的過程，每一個學生都可以參與到教學活動來。在活動中，學生經(jīng)歷了動手實驗，已對知識獲得有了感性認識，再經(jīng)歷對以上兩問題的思考、猜想，然后就能總結出數(shù)列的通項公式：an=3n+1(n為自然數(shù))。

步驟3：應用。

（1）計算要剪出28個正方形，共要剪多少次？

（2）能不能將原來的正方形剪成2001個小正方形呢？為什么？

設計意圖：這兩個問題的提出，讓學生在經(jīng)歷思考之后認識到了歸納出的公式的重要性，而后一個問題是把 an=2001代入公式 13+=nan，得方程 200113=+n，轉化為判斷此方程是否有自然數(shù)解的問題。因為關于n的一元一次方程沒有自然數(shù)解，所以不能將原方程剪成個小正方形。這樣，學生通過符號表征就能理解項與項數(shù)的關系。

步驟4：還原圖形、觀察變化。將剪完的所有正方形拼成原來的正方形，并畫出平面圖形（圖略），通過觀察這個圖形你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（1）每次剪得的正方形的邊長都是前一次剪得的小正方形邊長的一半。

（2）每次剪出的小正方形面積都是前一個正方形面積的四分之一。

設計意圖：通過圖形的還原，借助直覺形象表征，能將學生的抽象思維具體化。另外，給學生準備一種與實際經(jīng)驗相聯(lián)系的情境，可以讓學生直接參與，充分發(fā)表自己的觀點。通過這樣的學習情境，學生的探究活動成為可能，極大地調(diào)動了學生思維的積極性，使每個學生都獲得了成功的喜悅，思維處于高度活躍狀態(tài)。

步驟5：如果有一個邊長為1的正方形，那么第n次剪得的正方形邊長是多少？或設na表示第n次所剪得的正方形邊長，試用含有n的代數(shù)式表示na。

設有一個正方形的邊長為1，剪n次后，每次剪得的小正方形邊長之和與原正方形邊長有什么關系？

學生有畏難情緒時，教師可引導學生認真觀察，鼓勵學生積極思考，建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，啟發(fā)學生把這個問題轉化為比較 a1+a2+a3+…… ＋an與1的大小關系，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

……

由此運用不完全歸納法，得出結論：

可見，多元表征的目的就是讓學生從多個角度理解數(shù)學知識，從不同角度有序推進數(shù)學教學，幫助學生尋找解決不同問題的辦法。因此，在課堂中，我們要以形取意，落實教學目標。在課堂教學中，教師可利用數(shù)學知識表現(xiàn)形式的多樣性，為學生提供圖、表、文字、符號等各種表示，創(chuàng)設一種變化多樣的教學情境，并為學生創(chuàng)造探索數(shù)學規(guī)律的機會，這樣教學活動才能開展得更加生動活潑而富有成效。

（二）激發(fā)興趣，誘導參與

利用多元表征形式的教學內(nèi)容，創(chuàng)設多樣的學習情境，激發(fā)學生興趣。所謂“多元表征”是指同一事物的不同表現(xiàn)形式。同一數(shù)學知識可能擁有不同表示形式，現(xiàn)代信息技術由于具有具體形象、動靜結合、聲色兼?zhèn)涞摹岸嘣碚鳌钡谋憩F(xiàn)力，可以便利地呈現(xiàn)豐富的教學內(nèi)容，我們可借助它創(chuàng)設生動、形象的學習情境，激發(fā)學生的學習興趣。

案例2 平面的概念教學

步驟1：讓學生觸摸教室的窗戶玻璃、課桌面、墻面面、黑板、事先準備好的乒乓球、圓柱型茶罐等，觀察自己的手型變化，目的是通過觸摸使學生對平面、曲面有初步的感覺。

步驟2：利用多媒體，具體形象展現(xiàn)出平面的無限延伸性，讓學生利用視覺表征的特性進一步理解教學對象。

步驟3：教師介紹平面的寫法、讀法，并且隨手畫出水平放置、豎直放置的平面（不用尺，作圖非常不規(guī)范），引導學生閱讀相關教學內(nèi)容。通過文本的閱讀，掌握平面的寫法、畫法。

步驟4：學生點評教師所畫的圖，指出不合理的地方，之后教師在學生的指引下，做出圖形，并與學生一起讀出圖形。通過糾錯的形式，讓學生進一步掌握平面的讀法、畫法。

步驟5：先讓學生在草稿紙上按要求做出一個平面，然后在第一個平面上再畫一個平面，將這兩個平面組合成一個圖，接著教師展示學生作品，讓學生說說自己畫的圖形，最后讓學生找找生活中的圖形原型，將空間圖形與實物圖形聯(lián)系起來，以幫助學生建立空間感。

步驟6：引導學生作圖，引導學生觀察平面與平面虛實部分、公共部分等，為平面的性質(zhì)教學做鋪墊。

設計意圖：職高教材中，平面的概念是這樣界定的——數(shù)學中平面是光滑并且可以無限延展的圖形。顯然平面的概念是一個描述型概念，但在教學中平面又是一個核心概念，是本章學習的基礎。這一節(jié)的教學目的就是讓學生了解平面的概念，會讀、會畫平面。通過學生觸摸—教師演示—閱讀文本—實踐聯(lián)系—展示成果，可從不同的感覺通道、不同的表征方式理解平面，讓學生掌握平面的讀法、畫法。

其實，每一個數(shù)學知識都有不同的表示形式，教師可以利用折紙、語言、書寫文本、數(shù)學公式，也可以利用圖形、圖表、圖像等形式，來凸顯同一個知識的不同表現(xiàn)形式，幫助學生理解。一個數(shù)學知識的多元表征的結構好比星形的冰山，中心是知識的核心概念，每一個尖端對應著一個表征形式，而完整數(shù)學知識就是整座冰山，教師應重視學生知識體系的構建。

（三）突出重點，突出難點

恰當運用“可視化”數(shù)學表征技術，能突出重點，突破難點，幫助學生理解數(shù)學，發(fā)展數(shù)學思維。數(shù)學思維過程（一般難度較大的思維）應以“可看得見的、清楚的”圖形、圖像、圖表等表征的形式表示出來，使人們對其有一個形象、直觀的認識和理解。衛(wèi)星云圖、醫(yī)療成像都是計算機可視化的實際應用?？梢暬瘮?shù)學表征技術通過數(shù)學專業(yè)軟件（如幾何畫板、Mathcad 等）來實現(xiàn)。幾何畫板是一種動態(tài)的可視化數(shù)學軟件，特別是它的動態(tài)功能和易操作性是其他軟件所不能比擬的。另外，教師還可以運用現(xiàn)成的微型軟件，如用flash動畫軟件、VB等語言做成的執(zhí)行程序，實現(xiàn)數(shù)學可視化。可視化的特點是能使抽象的符號、復雜而零散的數(shù)據(jù)得到直觀顯示，幫助學生理解數(shù)學關系的本質(zhì)，提升數(shù)學思維品質(zhì)。

案例3 指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

步驟1：創(chuàng)設情境。

(1)如果讓1號同學準備2粒米，2號同學準備4粒米，3號同學準備6粒米，4號同學準備8粒米，5號同學準備10粒米……按這樣的規(guī)律，51號同學該準備多少粒米？

大家能否估計一下，51號同學該準備的米有多重？

師：51號同學需要準備大米約5克。

(2)如果讓1號同學準備2粒米，2號同學準備4粒米，3號同學準備8粒米，4號同學準備16粒米，5號同學準備32粒米……按這樣的規(guī)律，51號同學該準備多少粒米？

大家能否估計一下，51號同學該準備的米有多重？

師：51號同學需要準備的大米約1.2億噸。

在以上兩個問題中，每位同學所需要準備的米粒數(shù)用y表示，每位同學的號數(shù)用x表示，y與x之間的關系分別是什么？

學生易得到：

設計意圖：通過實例，給出指數(shù)函數(shù)的背景，引出指數(shù)函數(shù)的概念。學生估算，并說各自估算的結果后，教師公布事先估算的數(shù)據(jù)。通過與一次函數(shù)的對比，學生能感受到指數(shù)函數(shù)的爆炸增長，激發(fā)了學習的興趣和欲望。

x … 3-2-- 0 1 2 3 …1…………x y2= …111 1 2 4 8 824y) 2 = … 8 4 2 1 (1x ……1 1 1 4 2 8

設計意圖：通過列表便利地呈現(xiàn)豐富的教學內(nèi)容，生動、形象地創(chuàng)設學習情境，清晰地刻畫兩個變量的對應關系，這樣有利于學生感受到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學生觀察分析的能力，滲透數(shù)形結合的思想。

步驟3：繪制函數(shù)圖像，進一步體會指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。[指數(shù)函數(shù)的圖形（略）]

步驟4：對照圖形說說指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

步驟5：對照圖形再一次閱讀教材。

步驟6：利用助學光盤中的軟件，讓學生做出指數(shù)函數(shù)的圖像。(輸入底數(shù)，點擊作圖即可得到指數(shù)函數(shù)的圖像)

通過實例、填表、作圖，說說指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，能促成實例、圖表、口語文本等不同表征的相互聯(lián)系，促使學生靈活理解指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)，深化數(shù)學思維。我們應合理運用不同學生表征的各自特點，通過實物模型、圖形、圖表、圖像描繪數(shù)學知識，以加深學生對數(shù)學知識的本質(zhì)理解。

（四）靈活轉換，深化理解

實物模型、圖表、口語、書寫文本、數(shù)學公式和邏輯表示等表征具有各自的特點與功能。如實物模型、圖形等表征能形象地刻畫數(shù)學知識的具體特征，有益于直覺形象思維、創(chuàng)新思維的培養(yǎng)；文字、符號等表征適合于抽象邏輯思維，有助于理性思辨的培養(yǎng)。而表征間的轉化體現(xiàn)邏輯思維與非邏輯思維的互補。大量研究表明，學生頭腦中數(shù)學對象表征的結構性、豐富性、聯(lián)系性及其相互之間的靈活轉化代表著自身數(shù)學理解能力和問題解決水平的高低。教學中，教師應刻畫數(shù)學知識的多種表征，發(fā)揮“多元表征”的相互聯(lián)系與互補功能，促進學生對表征的靈活轉化，加深他們對數(shù)學知識的本質(zhì)理解，深化他們的數(shù)學思維。

（五）整合環(huán)境，倡導創(chuàng)新

職高學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習。教師應引導學生選用自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等數(shù)學學習方式，同時設立“數(shù)學探究”“數(shù)學建?！钡葘W習活動，從而讓學生更好地掌握數(shù)學知識。

案例4 一元二次函數(shù)的實際應用

問題1：為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊靠墻（邊長25米）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40米的柵欄圍住。若設綠化帶BC的邊長為x米，綠化帶的面積為y平方米。

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式，寫出自變量x的取值范圍；

（2）當x為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？

教師要與學生一起分析問題，找出切入點，構建數(shù)學模型，進而建立關系式，形成求最值問題。最后，展示考試中的錯解，分析原因。

問題2：眼看要畢業(yè)了，有同學建議來一次集體旅游，為我們的職業(yè)高中生活畫上圓滿的句號。班長王斌去旅行社打聽到這樣一個信息：南京兩日游每人單價360元。旅行社對超過40人的團給予優(yōu)惠，即旅行團每增加一人，每人的單價就降低3元?，F(xiàn)在我們班級有49人，那么需要付出多少費用呢？從旅行社考慮，當旅行團里的人數(shù)是多少時，旅行社可以獲得最大營業(yè)額？

問題3：最大營業(yè)額是最大利潤嗎？

如果每人在整個旅行中的成本是240元，那么人數(shù)為多少時旅行社獲得利潤最大？為了不虧本，旅行團的人數(shù)有沒有上限呢？（師生共同解決）

三、多元表征的變式教學思考

（一）教學目標明確

從學生的角度看，多元表征的變式教學目的是激發(fā)學生興趣，發(fā)展學生思維。這就要求多元表征的變式問題不能超越學生現(xiàn)在的水平、脫離學生生活實際，而要有一定的啟發(fā)性和挑戰(zhàn)性，能促進學生思維發(fā)展；從教學者的角度來看，教師應利用實物模型、圖表、口語、書寫文本、數(shù)學公式和邏輯表示等表征各自的特點與功能，借助變式，明確教學目標。所有的多元表征的變式問題都要有鮮明的意圖，并圍繞主題的目標展開，通過系列的多元表征，學生能夠自主建構相關的數(shù)學概念、數(shù)學思想、方法，教師能提高課堂教學效率。

（二）多元表征的變式問題要難度適宜

在教學活動中，根據(jù)教學內(nèi)容進行探討時，教師要預見基于學生自己的經(jīng)驗和理解可能產(chǎn)生的一些不成熟表征，對學生各個維度表征進行引導。需注意的是，多元表征的變式問題不能太難，要符合學生的認知規(guī)律和身心發(fā)展規(guī)律，在學生的學習的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，不能讓學生有望而卻步的感覺，但也不能太簡單，讓學生不動腦筋輕易就得到答案。

（三）多元表征的變式問題要層次分明

多元表征的變式問題的設計要緊扣教學目標，依據(jù)學生思維活動的特點，遵循一種由淺入深、層層遞進的關系，且問題與問題之間應層次、脈絡分明。

（四）設問自然

多元表征的變式問題設計要遵循自然的規(guī)律，避免生搬硬套，過于牽強附會，讓人覺得不自然，琢磨不透設計的意圖，搞不清楚是怎么想到這個問題的。

注釋：

①査有梁.控制論、信息論、系統(tǒng)論與教育科學[M].成都：四川省社會科學院出版社，1986：56.

[1]鄭毓信.多元表征理論與概念教學[J].中學數(shù)學教學參考，2011（5）.

[2]鄭毓信.多元表征理論與概念教學（續(xù)）[J].中學數(shù)學教學參考，2011（6）.

[3]鄭毓信.變式教學理論的必要發(fā)展[J].中學數(shù)學教學月刊，2006（1）.

[4]曹才翰，章建躍.中學數(shù)學教學概論（第二版）[M].北京：北京師范大學出版社，2008.

[5]萬偉.對“先學后教”類教學模式推廣的反思[J].中小學管理，2010（11）.

[6]游建國.變式訓練在數(shù)學教學中的作用[J].時代教育：教育教學版，2008.

[7]溫和群.變式訓練在數(shù)學教學中的重要性[J]教育實踐與研究，2008（22）.

[8]葉興炎.變式教學——輕負擔高質(zhì)量教育的依托[J].中學數(shù)學研究，2006（11）.

[9]顧泠沅，鄭潤州.青浦實驗啟示[M].上海教育出版社，2000.

（責編 房曉偉）