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        淺談運用變式教學培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維

        2015-11-17 16:25:38陸曉峰
        讀寫算·素質(zhì)教育論壇 2015年21期
        關(guān)鍵詞:通項變式創(chuàng)造性

        陸曉峰

        中圖分類號:G633.6 文獻標識碼:A 文章編號:1002-7661(2015)21-0072-02

        “創(chuàng)新是一個民族進步的靈魂”,創(chuàng)新能力培養(yǎng)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維,那么什么是創(chuàng)造性思維?創(chuàng)造性思維是指對所用的材料,從新的角度,用新的程序方法處理加工信息,從而獲得新成果的思維活動和過程。創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ)是發(fā)散思維,變式教學具有多元化、多途徑、開放式的設(shè)問和變化, 因此在教學中發(fā)散思維培養(yǎng)的關(guān)鍵是變式教學,那么如何進行變式教學?

        變式教學要把握“變”的切入點,可以從對知識的理解上切入、從對方法的反思上切入、從對條件的反思上切入、從問題的呈現(xiàn)形式上切入,變條件、變形式、變結(jié)構(gòu)、變內(nèi)容改變?yōu)橐粋€新題,都是構(gòu)造變式的有效方法。在教學方法上采用探究式的教學, 讓學生通過對“變”這個過程的參與、體會、實踐,培養(yǎng)他們發(fā)散思維的能力和挖掘創(chuàng)新的潛力,激發(fā)他們對問題研究的激情,形成探究意識。下面結(jié)合案例談談變式教學的實踐。

        例1 已知集合A =[1,4) , B = ( - ∞, a) ,若A∪B ,求實數(shù)a 的取值范圍。

        變式1 A = [1,4) , B = ( - ∞, a) ,若A B , 求a 的取值范圍。

        變式2 A = [1,4) , B = ( - ∞, a) ,若A B , 求a 的取值范圍。

        變式3 A = [1, a) , B = ( - ∞,4) ,若A∪B , 求a 的取值范圍。

        點評:本題從條件加以變換,屬于一般層次變題。變式1 、2 只是對集合A 、B 的包含關(guān)系進行變換,變式3則是對集合本身進行變換,這種變換有助于培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新意識。本題還可根據(jù)解答的結(jié)果對a 的范圍進行改造,反過來求集合A 與B 的包含關(guān)系,它又是原命題的逆向改造。

        例2 已知一曲線是與兩定點O (0 ,0) 、A (3 ,0) 距離的比為的點的軌跡,求曲線的軌跡方程。

        變式1 已知一曲線是與兩個定點O (0 ,0) 、A (3 ,0) 距離的比為k ( k > 0) 的點的軌跡, 求此曲線的方程, 并說明是什么曲線。

        (略解) 由兩點間的距離公式,點M 所適合的條件可以表示為=k,將上式兩邊平方、化簡得(1-k2)x2+(1-k2)y2-6k2x-9k2=0,易知當k = 1 時曲線為直線;當k > 0 且k ≠1 時曲線為圓。

        變式2 已知一曲線是到定點A (3 ,0) 的距離與到定直線x=的距離的比為的點的軌跡, 求此曲線的方程。

        (略解) 由橢圓的第二定義知道,該軌跡是橢圓。

        變式3 已知一曲線是到定點A (3 ,0) 的距離與到定直線x=的距離的比為的點的軌跡, 求此曲線的方程。

        (略解) 由雙曲線的第二定義易知該軌跡是雙曲線。

        變式4 已知一曲線是到定點A (3,0)的距離與到定直線x = - 3 的距離的比為1的點的軌跡,求此曲線的方程。

        (略解) 易知該軌跡是拋物線。

        點評:挖掘條件將其一般化,是設(shè)計變式的一種重要策略,變式1將條件從特殊化為一般,對曲線的形狀判定考察了分類討論的思想,提高學生應變能力,揭示數(shù)學本質(zhì);變式2、3、4,這是從較高層次變題,形相似質(zhì)不同。進一步挖掘條件,將條件中兩定點其中一點變?yōu)橹本€加深了學生對圓錐曲線定義的理解,使學生對知識的學習做到融會貫通。

        例3 tan20O+tan40O+tan20Otan40O=的變式教學

        析:改變20O、40O兩個角,等式是否成立?改變題型結(jié)構(gòu)我們可以得到:

        變式1 tan?+tan?+tan?tan?=

        變式2 能否得到一般性的結(jié)論?將問題一般化,得到命題:

        若 + 60O,則tan +tan +tan tan =tan( + )。

        變式3 能否改變 、 與常數(shù),等式右邊仍然為常數(shù)?

        tan?+tan?+tan?tan?=常數(shù)

        變式4 能否進一步推廣?

        tan +tan +tan tan =tan( + )

        變式5 在“變式4”中若 + =225O,結(jié)論如何?

        (1+tan )(1+tan )=2

        變式6 若 + + =n ,n∈z結(jié)論如何?

        tan +tan +tan =tan tan tan

        變式7 令a=x-y, =y-x, =z-x結(jié)論如何?

        tan(x-y)+tan(y-z)+tan(z-x)=tan(x-y)tan(y-z)tan(z-x)

        點評:本題變式采用對命題條件與結(jié)論對調(diào),探究逆命題是否成立,將條件從特殊化為一般,改變結(jié)構(gòu)等技巧。教學中,引導學生主動參與探索,運用探究教學既改善了傳統(tǒng)的教學方式,也培養(yǎng)了學生學習數(shù)學的自主性、能動性和創(chuàng)造性,能促進學生形成良好的認知結(jié)構(gòu),鍛煉學生的數(shù)學思維能力,提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

        例4 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=1,an+2=an+1+an,求an。

        變式1:數(shù)列{an}中,已知an+2+an+1=6an,寫出符合條件的其中一個數(shù)列的通項公式。

        解:an=2n,an=(-3)n,

        an=a·2n,an=b·(-3)n(a,b∈R)

        an=a·2n+b·(-3)n(a,b∈R)

        變式2:數(shù)列{an}中,已知a2=1,an+2+an+1=6an,寫出符合條件的其中一個數(shù)列的通項公式。

        解:an=2n而an=(-3)n,則不符合

        an=a·2n,an=b·(-3)n(a,b∈R)

        an=a·2n+b·(-3)n(a,b∈R)

        a2=a·22+b·(-3)2時滿足。

        即只要滿足4a+9b=1時就行。如a=或b=時,滿足。

        變式3:數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+2+an+1=6an。求數(shù)列an的通項公式。

        解: an=a·2n,an=b·(-3)n(a,b∈R)

        an=a·2n+b·(-3)n(a,b∈R)

        a1=a·21+b·(-3)1時滿足。

        即只要滿足2a-3b=1時就行。如當a=或b=-時,滿足。

        變式4:數(shù)列{an}中,已知a1=1,an+2+an+1=6an。求數(shù)列an的通項公式。

        條件an+2+an+1=6an成立,則滿足:

        an=a·2n+b·(-3)n(a,b∈R)

        條件a1=1成立,則滿足2a-3b=1

        條件a2=1成立,則滿足4a+9b=1

        三個條件同時滿足,則

        所以:數(shù)列an的通項公式為an=·2n-·(-3)n。

        點評:本題在變式技巧上從條件入手,先放棄一部分條件,也就是將原問題轉(zhuǎn)化為一個更一般的問題。約束條件少了,降低了門檻,使學生容易上手,再增加部分條件,使原題得到擴展,由淺入深,做到起點低、目標高,小綜合,遵循“由簡單到復雜,再由復雜到簡單”,充分體現(xiàn)化歸的數(shù)學思想,使學生觸類旁通,舉一反三,收到事半功倍的效果。

        變式教學中采用“一題多變”,不僅能加深學生基礎(chǔ)知識的理解和掌握,更重要的是開發(fā)學生智力、激發(fā)學生學習興趣、提高思維靈活性,增強了發(fā)散思維能力,培養(yǎng)了學生的創(chuàng)造性思維。

        (責任編輯 曾 卉)

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