陳玉鳳

動靜結(jié)合是道家境界之一，一方面是指道家在練功方式上強(qiáng)調(diào)靜功與動功的密切結(jié)合，在練動功時要掌握“動中有靜”，在練靜功時要體會“靜中有動”。高中數(shù)學(xué)解題中有很多問題也蘊(yùn)含著“動”與“靜”關(guān)系的把握，動靜結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的方法之一，本文結(jié)合筆者的經(jīng)驗和大家一同感悟使用“動靜結(jié)合”轉(zhuǎn)化的解題策略的幾種典型情形。

一、動靜相對，動靜互換

例1：過圓x2+y2=r2內(nèi)部一點(diǎn)M（a，b）作動弦AB，過A，B分別作圓的切線，設(shè)兩條切線的交點(diǎn)為P，求證：點(diǎn)P恒在一條定直線上運(yùn)動。

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），不妨將A，B，P都視為定點(diǎn)（視動為靜），先求直線AB的方程.切線PA的方程為x1x+y1y=r2，切線PB的方程為x2x+y2y=r2

∵點(diǎn)P在切線上，∴x1x0+y1y0=r2，x2x0+y2y0=r2

這表明A，B都在直線x0x+y0y=r2上，故直線AB的方程為x0x+y0y=r2

又因點(diǎn)M（a，b）在直線AB上，所以x0a+y0b=r2

任意點(diǎn)P（x0，y0）都滿足上式，故動點(diǎn)P必在定直線ax+by=r2上（換靜為動）

點(diǎn)評：常與變、動與靜的角色是相對的，同一對象，根據(jù)需要隨時靈活選擇和變換其角色，能使復(fù)雜的問題得以較為簡單解決。

二、動中有靜，動中找靜

例2：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，動點(diǎn)E、F在棱A1B1上，點(diǎn)Q為CD的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在棱AD上，若EF=1，則三棱錐P-EFQ體積的最大值為 ? ? 。

[A][B][C][D][D1][A1][B1][C1][P][Q][F][E] [A][B][C][D][D1][A1][B1][C1][P][Q][F][E] [圖1]

分析：讀題成圖（圖1左側(cè)），求三棱錐P-EFQ體積，頂點(diǎn)P在動，底面三角形EFQ在動，變元太多，怎么求呢？此時將動點(diǎn)E、F作“靜態(tài)”處理，視“動”為“靜”，連接A1D和B1C（圖1右側(cè)），發(fā)現(xiàn)三角形EFQ始終在對角面A1B1CD上運(yùn)動，它的面積恒為定值××1=，頂點(diǎn)P到底面三角形EFQ的距離即為P到對角面A1B1CD的距離，即PD，所以所求的三棱錐體積最大值為。

點(diǎn)評：從以上例題可以看出，充分挖掘題目的隱含條件，洞察問題的本質(zhì)，將問題視為運(yùn)動變化過程中的某一靜止時刻，如上例中動三角形在定矩形中運(yùn)動，動中找靜，以靜制動，排除干擾，化繁為簡，使問題迎刃而解。

三、靜中有動，靜中覓動

例3：已知圓C∶（x-2）2+y2=1，點(diǎn)P在直線l∶x+y+1=0上，若過點(diǎn)P存在直線m與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A為PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)x0的取值范圍是 ? ? 。

[A][B][P][O][x][y][y][A][B][P][O][x][C] [圖2]

分析：解決這道題，就是先“固定”點(diǎn)P，讓A與B“動起來”，則當(dāng)=滿足題意，而∈[，+∞]（如圖2），所以≤，即PC≤3，從而得（x0-2）2+（-x0-1）2≤32，解得x0∈[-1，2]。

點(diǎn)評：辯證法認(rèn)為動與靜是相對的，是事物運(yùn)動變化過程中的兩個方面，二者相互依存，相互蘊(yùn)含，相互轉(zhuǎn)化.從例3可以看出，對一些表面看似靜態(tài)的但含有“變元”的問題，不妨讓變元“動起來”，從而打開解題通道，準(zhǔn)確無誤解決問題。

綜上所述，數(shù)學(xué)解題過程中蘊(yùn)含著“動”與“靜”這種對立和統(tǒng)一的關(guān)系.解題中若能有效聯(lián)想上面三類“動靜結(jié)合”的解題策略，會使一些復(fù)雜的問題巧妙地得到解決。

·編輯 王團(tuán)蘭