張兆光

（延邊第二中學(xué)，吉林　延吉　133000）

等量同種電荷對(duì)稱(chēng)線上場(chǎng)強(qiáng)分析

張兆光

（延邊第二中學(xué)，吉林延吉133000）

關(guān)于等量同種電荷周?chē)妶?chǎng)特點(diǎn)的研究，特別是連線中垂線上場(chǎng)強(qiáng)特點(diǎn)的研究都是非常重要的，本文對(duì)等量同種電荷連線及中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行了分析。

點(diǎn)電荷，電場(chǎng)強(qiáng)度，最大值

電場(chǎng)是一種看不到、摸不著的特殊物質(zhì)，為了形象地描述電場(chǎng)，我們引入了電場(chǎng)線來(lái)描述電場(chǎng)的方向和強(qiáng)弱。對(duì)于等量同種電荷而言，其形成的電場(chǎng)比較復(fù)雜，但又很有規(guī)律，我們都知道等量同種電荷的電場(chǎng)分布具有空間對(duì)稱(chēng)性，高中物理教材也給出了其電場(chǎng)線分布情況，通過(guò)電場(chǎng)線的分布，我們可以定性的知道兩點(diǎn)電荷周?chē)臻g電場(chǎng)的分布，如圖1，這種特殊的兩點(diǎn)電荷連線和其中垂線上電場(chǎng)的分布是高中階段考查的重點(diǎn)也是高考的熱點(diǎn)，因此高中教學(xué)中很有必要定量分析一下周?chē)碾妶?chǎng)情況。要那下面我們將以等量正點(diǎn)電荷為例分析一下計(jì)算電場(chǎng)分布情況。

一、兩電荷連線上

如圖2，在M、N兩點(diǎn)分別放上兩個(gè)等量正點(diǎn)電荷，電荷量均為Q，O為它們的中點(diǎn)，M、N間距為2d，P點(diǎn)距電荷M的距離為x（0＜x＜d ），則：

討論：當(dāng)0＜x＜d 時(shí)，x越大Ep越小，當(dāng)x=d 時(shí)Ep=0。

二、兩電荷連線的中垂線上

下面我們重點(diǎn)分析兩電荷連線的中垂線上的電場(chǎng)強(qiáng)度，如圖4所示，在M、N兩點(diǎn)分別放上兩個(gè)等量正點(diǎn)電荷，電荷量均為Q，O為它們的中點(diǎn)，M、N間距為2d，在二者連線的中垂線上任取一點(diǎn)P，P與電荷連線與d成θ角(00＜θ＜900)。

定性分析可知：在連線中點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零，在中垂線上自中點(diǎn)到無(wú)窮遠(yuǎn)處過(guò)程，無(wú)窮遠(yuǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度也為零，這說(shuō)明沿著中垂線從連線中點(diǎn)到無(wú)窮遠(yuǎn)的過(guò)程中，電場(chǎng)強(qiáng)度先增大后減小。中間過(guò)程可能存在最大值，下面將詳細(xì)計(jì)算分析。

方法一：均值不等式法

設(shè)f(θ)=2cos2θsin θ，兩邊平方得

f2(θ)=4cos4θsin2θ

另外，顯然當(dāng)θ=0時(shí)Ep=0。

方法二：導(dǎo)函數(shù)法

為了方便求Ep的最大值，對(duì)函數(shù)f(θ)=sin3θ+sinθ求導(dǎo)得f′(θ)=3cos3θ+cosθ，若其導(dǎo)數(shù)取零，即3cos3θ+cosθ=0(00＜θ＜900)，則可能取到Ep的極大值，下面筆者采用無(wú)限逼近法求其最大值。討論可知，只有3θ超過(guò)900，3cos3θ才可以為負(fù)值，f′(θ)才可能為零。

再?lài)L試θ=400，3cos3θ=-1.50，cosθ=0.766，顯然θ角度還是太大了，繼續(xù)嘗試減小角度；

再?lài)L試θ=350，3cos3θ=-0.776，cosθ=0.819，顯然此時(shí)θ角略微小了，但相差不是很大；

再?lài)L試θ=360，3cos3θ=-0.927，cosθ=0.809，顯然此時(shí)θ角又略微大了，但相差不是很大；

再?lài)L試θ=35.50，3cos3θ=-0.852，cosθ=0.814，顯然此時(shí)θ角還是略微大一點(diǎn)，再?lài)L試θ=35.250…

最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)θ=35.2650時(shí)3cos3θ的絕對(duì)值和cosθ基本相等，可粗略認(rèn)為此角度為Ep最大值所對(duì)應(yīng)的角度。

綜上分析，可得如下結(jié)論：

（1）等量同種電荷連線中點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)為零；在其中垂線上從連線中點(diǎn)向外延伸，場(chǎng)強(qiáng)先變大后變小，無(wú)窮遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)為零；場(chǎng)強(qiáng)最大處的空間位置構(gòu)成了一個(gè)以點(diǎn)電荷連線中點(diǎn)為圓心，以r=dtanθ為半徑的圓。其中2d為電荷連線距離。

（2）等量正電荷的中垂線上場(chǎng)強(qiáng)不為零的地方場(chǎng)強(qiáng)方向沿中垂線背離連線中點(diǎn)方向，等量負(fù)電荷的中垂線上場(chǎng)強(qiáng)不為零的地方場(chǎng)強(qiáng)方向沿中垂線向著連線中點(diǎn)方向。

筆者在實(shí)際教學(xué)中，通過(guò)以上三種方法的討論，在定性的基礎(chǔ)上進(jìn)一步定量計(jì)算理解，使學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握更透徹，同時(shí)體會(huì)了數(shù)學(xué)的魅力和物理思想的重要性，并鍛煉學(xué)生從多角度思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)一題多思、一題多解、一題多問(wèn)、一題book=76,ebook=81

多變，培養(yǎng)學(xué)生靈活、全面地接受信息，拓展學(xué)生的思維，也增強(qiáng)了學(xué)生在師生間、生生間討論學(xué)習(xí)的能力。同時(shí)使學(xué)生學(xué)會(huì)全面地分析物理問(wèn)題，克服對(duì)事物一知半解，只憑對(duì)事物局部了解就草率得出結(jié)論的心理傾向，不被事物的表象所迷惑。自覺(jué)地去把握整體、深入本質(zhì)，充分挖掘事物的隱蔽條件，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)加強(qiáng)比較、鑒別，對(duì)概念和規(guī)律的認(rèn)識(shí)不斷向縱深發(fā)展，從而有效的提高學(xué)生邏輯思維能力。

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2015—08—25