黎源

北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二章《二次函數(shù)》的第六節(jié)《何時(shí)獲得最大利潤(rùn)》與課本配套《練習(xí)冊(cè)》上有這樣一道題：“某居民小區(qū)在一塊一邊靠墻（墻長(zhǎng)15m）的空地上修建一個(gè)矩形花園，花園一邊靠墻，另外三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成，如圖，求花園的最大面積。

學(xué)生解：設(shè)BC=x米，則AB= 米，設(shè)花園的面積為y平方米，∴y=x· =- x2+20x;

∵- <0，拋物線的開口向下，

∴函數(shù)有最大值，最大值為= =200。

答：最大面積為200m2。

這個(gè)解法中存在的問(wèn)題的根源是學(xué)生機(jī)械套用二次函數(shù)的最大值公式，而忽視了二次函數(shù)自變量的取值范圍和二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系。而自變量的取值范圍和函數(shù)圖像的關(guān)系又是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我設(shè)置了如下問(wèn)題：

已知：y=（x-1）2-4，分別在下列條件下畫出函數(shù)的圖像并求出函數(shù)的最大、小值。

①一切實(shí)數(shù);②3≤x≤4;③-2≤x≤0;④0≤x≤3;⑤-1≤x≤2。

解：由y=（x-1）2-4得出開口向上，對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）。

①x是一切實(shí)數(shù)，函數(shù)圖像是整支拋物線，∴x=1時(shí)y有最小值-4，無(wú)最大值。

②當(dāng)3≤x≤4時(shí)圖像如圖2，此時(shí)y隨x的增大而增大?！喈?dāng)x=3時(shí)，y有最小值0;x=4時(shí)，y有最大值5。

③當(dāng)-2≤x≤0時(shí)，圖像如圖3，此時(shí)y隨x的增大而減小?！喈?dāng)x=0時(shí)，y有最小值-3;x=-2時(shí)，y有最大值5。

④當(dāng)0≤x≤3 時(shí)，圖像如圖4?！喈?dāng)x=1時(shí)，y有最小值-4;x=3時(shí)，y有最大值0。

⑤當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，圖像如圖5?！喈?dāng)x=1時(shí)，y有最小值-4;x=-1時(shí)，y有最小值0。

在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，利用輔助多媒體的幾何畫板和學(xué)生一起分析。接著又把函數(shù)解析式變成y=-（x-1）2-5，其它條件不變，和學(xué)生一起總結(jié)當(dāng)自變量的范圍在a≤x≤b之間時(shí)，如何求二次函數(shù)的最值方法。

最后和學(xué)生一起小結(jié)：

當(dāng)開口向上時(shí)：

①對(duì)稱軸在x的取值范圍的左側(cè)，y隨x的增大而增大。

②對(duì)稱軸在x的取值范圍的右側(cè)，y隨x的增大而減小。

③對(duì)稱軸在x取值范圍上，最小值在頂點(diǎn)處，哪一個(gè)端點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，哪一個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值就大。

當(dāng)開口向下時(shí)：

①對(duì)稱軸在x的取值范圍的左側(cè)，y隨x的增大而減小。

②對(duì)稱軸在x的取值范圍的右側(cè)，y隨x的增大而增大。

③對(duì)稱軸在x取值范圍上最大值在頂點(diǎn)處，哪一個(gè)端點(diǎn)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，哪一個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值就?。磳?duì)稱軸在x的取值范圍的中點(diǎn)的左側(cè)，右側(cè)端點(diǎn)處取最小值;對(duì)稱軸在x的取值范圍的中點(diǎn)的右側(cè)，左側(cè)端點(diǎn)處取最小值）。這樣，不提閉區(qū)間，也不用字母表示各種情況，學(xué)生掌握起來(lái)難度就小很多，效果也很好。

課堂練習(xí)：

某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價(jià)為40元的蘋果，物價(jià)部門規(guī)定每箱售價(jià)不得高于55元。市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若以每箱50元的價(jià)格銷售，平均每天銷售90箱;價(jià)格每提高1元，平均每天少銷售3箱。

（1）求平均每天銷售量y（箱）與銷售價(jià)x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式。

（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤(rùn)W（元）與銷售價(jià)x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式。

（3）當(dāng)每箱蘋果的銷售價(jià)為多少元時(shí)，可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？