董秀明

蘇教版八上第六章內(nèi)容為“一次函數(shù)”，首次接觸“函數(shù)”這個比較抽象的概念，很多學(xué)生感覺比較吃力，尤其是在本章的后半部分，一次函數(shù)的應(yīng)用中對于用一次函數(shù)解決行程問題學(xué)生更是覺得吃力。在平常授課的過程中，我總是試圖讓學(xué)生分析問題中的函數(shù)關(guān)系，讀懂圖像，但是效果卻并不明顯。

期末復(fù)習(xí)期間，我們完成的練習(xí)卷上有多道一次函數(shù)解決行程問題這樣的“難題”，面對學(xué)生的錯誤和“空白”，我也在思索，什么樣的方法可以幫助學(xué)生更好地理解題意，更好地“得分”呢？經(jīng)過思考，我覺得小學(xué)里學(xué)生經(jīng)常碰到的行程問題，老師們會畫線段圖幫助學(xué)生分析問題中的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生現(xiàn)在進(jìn)入初中，他們已經(jīng)具備了一定的繪畫線段圖的能力，我想：我何不嘗試畫線段圖幫助學(xué)生來分析問題中函數(shù)關(guān)系呢？

下面是我在期末復(fù)習(xí)期間講評兩道典型一次函數(shù)行程問題時帶著學(xué)生一同畫線段圖，在模擬測試時發(fā)現(xiàn)效果挺不錯，我忍不住把它們記錄下來，以饗讀者。

問題一

從甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明騎車從甲地出發(fā)，到達(dá)乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段時間，假設(shè)小明騎車在平路、上坡、下坡時分別保持勻速前進(jìn).已知小明騎車上坡的速度比在平路上的速度每小時少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小時多5km.設(shè)小明出發(fā)xh后，到達(dá)離甲地ykm的地方，圖中的折線OABCDE表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.

（1）小明騎車在平路上的速度為km/h；他途中休息了h；

（2）求線段AB、BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如果小明兩次經(jīng)過途中某一地點(diǎn)的時間間隔為0.15h，那么該地點(diǎn)離甲地多遠(yuǎn)？

這道題的前兩小問學(xué)生都比較容易解決，第3小問學(xué)生的錯誤率比較高，尤其是很多同學(xué)此小問都是空白，不會做。

試卷批改后，我先“設(shè)計”了線段圖。

課堂實(shí)錄

師：同學(xué)們，這道題的第3小問很多同學(xué)沒有做出來，在我找了一些同學(xué)面批后發(fā)現(xiàn)，大家基本能讀懂圖像，但是對這一問到底對應(yīng)著圖像上哪一個點(diǎn)或者哪一部分不太理解，所以感覺無從下手。那我們先試著從圖像入手解解看。

同學(xué)們先觀察圖像，圖像上每一條線段的含義是什么？

生1：OA代表去的時候走在平路，AB代表去的時候走在上坡路，BC代表返回的時候走在下坡路，CD代表返回時走完下坡路后在休息，DE表示返回時走到起點(diǎn)甲地。

師：說得很好。那請問大家，經(jīng)過途中的同一地點(diǎn)是在哪里呢？

……

學(xué)生們大多還是很茫然（不過已經(jīng)有個別同學(xué)看出來了）

我原來的想法是在課堂上把利用函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解以及我事先設(shè)計的線段圖幫助求解的方法都講解一遍，但基于課堂現(xiàn)狀，我打算先從事先設(shè)計的線段圖入手。

師：我們不妨換一個方法來解解看，請同學(xué)們跟著我一起來畫一個線段圖表示本題的數(shù)量關(guān)系。

于是我在黑板上帶著大家一同畫線段圖（學(xué)生們的線段圖確實(shí)畫得還是比較好的），一邊畫圖一邊講解，最后我們共同完成了我事先“設(shè)計”好的線段圖。（如下圖）

師：現(xiàn)在，大家從線段圖上能看出小明兩次經(jīng)過途中的同一地點(diǎn)是在哪里呢？

沒有想到，同學(xué)們異口同聲：“在坡路NP上”。

我請一位同學(xué)說理由，誰知同學(xué)們七嘴八舌：如果在平路上的話，返回的時間遠(yuǎn)超過0.15h了。

顯然，同學(xué)們從線段圖上看明白了。

師：我們假設(shè)這一地點(diǎn)在坡路NP的點(diǎn)Q，那么請問0.15h為哪一段的時間呢？

我繼續(xù)請同學(xué)來回答。

生2：0.15h為Q到P再從P返回到Q的時間總和。

同學(xué)們七嘴八舌地說：正確。

師：那我們?nèi)绻O(shè)PQ長為zkm，你能找到等量關(guān)系列出方程嗎？

學(xué)生們列方程。

生3：m10+m20=0.15，解得m=1

生4：所以該地點(diǎn)（點(diǎn)Q）到甲地的距離為6.5-1=5.5（km）

此題順利解決，從學(xué)生的表情可知，他們幾乎都理解了。

下課回到辦公室，我仍然在想：解決這一問，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生畫線段圖也比較熟練，也基本能夠根據(jù)題意繪畫出線段圖，線段圖顯然比函數(shù)圖像更直觀，更容易理解。

問題二

甲、乙兩個港口相距72千米，一艘輪船從甲港出發(fā)，順流航行3小時到達(dá)乙港，休息1小時后立即返回；一艘快艇在輪船出發(fā)2小時后從乙港出發(fā)，逆流航行2小時到甲港，并立即返回（掉頭時間忽略不計）.已知水流速度是2千米/時，下圖表示輪船和快艇距甲港的距離y（千米）與輪船出發(fā)時間x（小時）之間的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合圖象解答下列問題：

（順流速度=船在靜水中速度+水流速度；逆流速度=船在靜水中速度﹣水流速度）

（1）輪船在靜水中的速度是千米/時；快艇在靜水中的速度是千米/時；

（2）求快艇返回時的解析式，寫出自變量的取值范圍；

（3）快艇出發(fā)多長時間，輪船和快艇在返回途中相距12千米？（直接寫出結(jié)果）

本題解析

第3小問雖然是讓學(xué)生直接寫出結(jié)果，但是很多學(xué)生在考試的時候沒有做出來。講評試卷的時候，我同樣地要求學(xué)生和我一同繪畫線段圖。（如下圖）

回顧反思

作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，我經(jīng)常會想，學(xué)生為什么會在某些題目上高零分率，其間一定有他們不能理解題目的原因，我能為他們做什么？讓他們不斷地去練習(xí)，還是去掌握方法，在這兩個問題中，我把學(xué)生比較熟悉的線段圖引過來，幫助他們在函數(shù)問題中加以應(yīng)用，線段圖讓問題中的數(shù)量關(guān)系更直觀，更形象，也更具體，學(xué)生更容易接受和理解。

但是我也在想，函數(shù)作為解決這類問題的一種工具，教學(xué)時候不能完全脫離了函數(shù)，例如在講解問題一的時候，我在后續(xù)的數(shù)學(xué)課上又幫助學(xué)生去讀懂圖像，分析函數(shù)關(guān)系，不過可喜的是，學(xué)生對圖像中體現(xiàn)出來的函數(shù)關(guān)系的理解更清晰了。