葛一冬　劉得潭　張志杭

【摘 要】金融投資是一個(gè)商品經(jīng)濟(jì)的概念，它是隨著投資概念的不斷發(fā)展，在實(shí)物投資的基礎(chǔ)上形成的，并逐步成為比實(shí)物投資更受人們關(guān)注的投資行為。我們建立了兩種模型來求解金融投資問題，模型一是正態(tài)分布模型，我們通過非參數(shù)檢驗(yàn)證明了該模型的合理性和正確性，并通過參數(shù)估計(jì)求出了符合該問題的正態(tài)分布參數(shù)：均值為7.4863，方差為97.0618。在該模型下，我們估計(jì)出在下一個(gè)周期 （如1天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性為0.0380；95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過8.72萬元；一個(gè)周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于 5%的情況下初始投資額最多為1146.9萬元。模型二為概率函數(shù)擬合模型， 該模型是基于頻率直方圖的，對頻率直方圖中每個(gè)頻率長方形上部中點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到總體的近似概率分布圖和擬合函數(shù)，然后利用該 擬合函數(shù)求解問題在該模型下，我們求出下一個(gè)周期（如1天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過10萬元的可能性為0.03888；95%的置信度保證損失的數(shù)額為8萬元； 在一個(gè)周期內(nèi)的 損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多為1250萬元。

【關(guān)鍵詞】正態(tài)分布；概率函數(shù)擬合；MATLAB

1.問題重述

（1）某公司在金融投資中，需要考慮如下兩個(gè)問題：問題一：準(zhǔn)備用數(shù)額為1000萬元的資金投資某種金融資產(chǎn)（如股票，外匯等）。它必須根據(jù) 歷史數(shù)據(jù)估計(jì)在下一個(gè)周期（如1天）內(nèi)的損失的數(shù)額超過 10萬元的可能性有多大， 以及能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過多少。問題二：如果要求在一個(gè)周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額最多應(yīng)為多少。

（2）解決該問題時(shí)，須考慮以下3點(diǎn)要求1）參考數(shù)據(jù)，建立兩種模型來解決前述的兩個(gè)問題，并對這兩個(gè)模型加以比較；2）討論二周期情形（如今后兩天內(nèi)）上述兩個(gè)問題的答案；3）陳述上述兩個(gè)問題的一般形式。

2.問題分析

2.1對收益額的理解

由于每天在市場上的投資額保持為1000萬元，所以每一交易周期的收益額之間沒有必然聯(lián)系，即每個(gè)周期收益額X是相互獨(dú)立的， 在后續(xù)計(jì)算中這一點(diǎn)也成立。

2.2對金融投資的理解

本題討論的是一種理想情況，預(yù)計(jì)投資的收益額僅是由歷史數(shù)據(jù)估計(jì)而得來的，不受其他因素的影響。又由于所獲得的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)僅為總體的一部分樣本，且單個(gè)數(shù)據(jù)可能出現(xiàn)偏離總體分布的情況。所以預(yù)計(jì)的收益額僅為理論的可能性，與實(shí)際情況相比有一定的誤差。對于后者，考慮先對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，并注意控制統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)與估計(jì)的總體分布之間的誤差。

2.3對要求一的理解

對于本題中所給的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，考慮兩種模型。模型一是根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，推測總體分布為正態(tài)分布；再根據(jù)樣本觀察，證明假設(shè)；最后根據(jù)樣本的均值和方差，對總體的均值、方差進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)，進(jìn)而求得問題的解。模型二是基于頻率直方圖，對頻率長方 形上部頂點(diǎn)進(jìn)行三次樣條插值，得到總體的概率分布圖；然后利用三次樣條插值函數(shù)求解問題。

3.模型建立

3.1非參數(shù)檢驗(yàn)

接著我們利用MATLAB對總體分布進(jìn)行非參數(shù)分析， 即使命令顯示數(shù) 據(jù)矩陣x的正態(tài)概率圖。如果數(shù)據(jù)來自正態(tài)分布，則圖形顯示出直線形態(tài)，而其他概率分布函數(shù)顯示出曲線形態(tài)。圖形為直線形態(tài)，可以證明總體服從正態(tài)分布。

3.1.1參數(shù)估計(jì)

證明總體服從正態(tài)分布后，可以使用MATLAB對正態(tài)分布的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，即調(diào)用MATLAB中的命令。得到結(jié)果即該數(shù)據(jù)均值為7.4863，方差為97.0618，0.95 的置信區(qū)間為[6.2713，8.7013]，所以綜上所述 X～N（7.4863，97.0618）。

3.1.2問題解決

基于前面三小問，可以得到總體服從參數(shù)已知的正態(tài)分布，所以后續(xù)的問題可以用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)解決。

3.1.3問題解決

基于前面三小問，可以得到總體服從參數(shù)已知的正態(tài)分布，所以后續(xù)的問題可以用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)解同上，95%的置信度保證損失的數(shù)額。此時(shí)是0.95，又因?yàn)榭烧{(diào)用MATLAB統(tǒng)計(jì)箱中的數(shù)據(jù)，所以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過8.72萬元。

問題二：令初始投資額為M，收益率為v，收益額為y，則 y=M×v，由上知，X服從正態(tài)分布，故其收益率ν也服從正態(tài)分布，則對于初始投資額為M的情況，其收益額y也服從正態(tài)分布，由概率論知識(shí)可知?？山獾?146.9萬元。即一個(gè)周期內(nèi)初始投資額最多為1146.9萬元。

3.2概率函數(shù)擬合模型

該模型是基于頻率直方圖的， 對頻率直方圖中每個(gè)頻率長方形上部中點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到總體的近似概率分布圖和擬合函數(shù)，然后利用該擬合函數(shù)求解問題。

3.3兩周期情形

（以正態(tài)分布模型為例）由正態(tài)分布模型可知，所統(tǒng)計(jì)的255個(gè)交易額數(shù)據(jù)近似正態(tài)分布。又由2.1可知：每個(gè)周期收益額X是相互獨(dú)立的。

3.3.1兩周期情形下的問題一求解

調(diào)用相關(guān)程序，用 MATLAB 統(tǒng)計(jì)箱中的命令得到z=-7.9090萬元。即兩個(gè)周期內(nèi)能以95%的置信度保證損失的數(shù)額不會(huì)超過 7.9090萬元。

3.3.2兩周期情形下的問題二求解

仍令初始投資額為M，收益率為V，收益額為y，則 y=M×V，由上知，X服從正態(tài)分布，故其收益率ν也服從正態(tài)分布，則對于初始投資額為M的情況，其收益額y也服從正態(tài)分布，均值為兩周期內(nèi)損失超過10萬元的可能性不大于5%可以表示為如下。使用MATLAB實(shí)現(xiàn) M=1264.4萬元 即初始投資額最多為1264.4 萬元。綜上，兩個(gè)周期內(nèi)損失超過10萬元的概率為3.63%，以95%的置信度保證損失的 數(shù)額不會(huì)超過7.90萬元；兩個(gè)周期內(nèi)的損失超過10萬元的可能性不大于5%，那么初始投資額1264.4萬元。

4.模型分析

第一種正態(tài)分布模型通過為歷史數(shù)據(jù)的正態(tài)分布驗(yàn)證，再用 MALTLAB 工具箱得到正態(tài)分布函數(shù)及相關(guān)參數(shù)，方法較為通用。且該模型結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論的知識(shí)，能很好的求解風(fēng)險(xiǎn)投資問題，并容易推廣到兩個(gè)周期甚至T個(gè)周期。第二種概率函數(shù)擬合模型，通過擬合分別建立了概率密度函數(shù)和分布函數(shù)，由 Matlab 擬合圖像可知，概率密度函數(shù)由于散點(diǎn)亂，擬合效果差，對問題的求解與實(shí)際預(yù)期的效果不太相符。概率分布函數(shù)除個(gè)別點(diǎn)外，擬合效果還是非常好的，一個(gè)周期的問題能得到較好的解決，但將其推廣到兩個(gè)周期以及一般形式還是有一定困難的。

5.模型推廣

第一種正態(tài)分布模型、 第二種概率函數(shù)擬合模型均可以應(yīng)用到風(fēng)險(xiǎn)投資和決策問題中， 運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法對歷史交易日收益額數(shù)據(jù)的處理，得出極限風(fēng)險(xiǎn)損失值及風(fēng)險(xiǎn)概率。 其中概率函數(shù)擬合模型對于非正態(tài)分布模型也可以預(yù)測出最大的損失。正態(tài)分布模型通過檢驗(yàn)證實(shí)屬于正態(tài)分布，但是實(shí)際投資中很多學(xué)者考慮各種資產(chǎn)的關(guān)聯(lián)以及大量數(shù)據(jù)的研究表示，收益額并不屬于正態(tài)分布，這樣就降低了模型的實(shí)用性。盡管如此，上述模型對于投資者的投資行為起到參考和指導(dǎo)作用。 [科]