呂東風(fēng)（廣東技術(shù)師范學(xué)院天河學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院）

關(guān)于二維正態(tài)分布的一個(gè)教學(xué)注記

呂東風(fēng)
（廣東技術(shù)師范學(xué)院天河學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院）

利用二維正態(tài)分布定義中的一個(gè)基本事實(shí)，簡單地說明了兩個(gè)正態(tài)分布的聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布，指出了教材中一個(gè)性質(zhì)的不足之處。

二維正態(tài)分布；相關(guān)系數(shù)；數(shù)學(xué)問題

眾所周知，二維正態(tài)分布是概率論中非常重要的一種分布，其性質(zhì)也是很重要的，但很多教材在討論兩個(gè)正態(tài)分布的聯(lián)合分布是不是二維正態(tài)分布這個(gè)問題時(shí)，要么就是說得不是很清楚，要么就是沒有給出例子，要么就是給出的例子比較復(fù)雜，其實(shí)只要注意到二維正態(tài)分布定義中的一個(gè)基本事實(shí)，這個(gè)問題就可以說得很清楚。

首先，給出二維正態(tài)分布的定義：如果二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為：

其中μ1，μ2，σ1，σ2，ρ均為參數(shù)，且σ1＞0，σ2＞0，＜1，則稱（X，Y）服從參數(shù)為μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二維正態(tài)分布，記作（X，Y）（μ1，μ2，σ1，σ2，ρ）。

經(jīng)過討論，發(fā)現(xiàn)如果（X，Y）服從二維正態(tài)分布，那么兩個(gè)分量X，Y都服從一維正態(tài)分布，而且參數(shù)ρ就是兩個(gè)分量X，Y的相關(guān)系數(shù)，它是不能等于1和-1的，也就是說（X，Y）服從二維正態(tài)分布的前提是：兩個(gè)分量X，Y是正態(tài)分布，而且它們的相關(guān)系數(shù)不是1和-1。

如果二維隨機(jī)變量（X，Y）的兩個(gè)分量X，Y是同一正態(tài)分布，都是X，那么（X，Y）就不服從二維正態(tài)分布，因?yàn)閮蓚€(gè)分量的相關(guān)系數(shù)是1。這樣我們就很容易解釋，為什么兩個(gè)分量是正態(tài)分布，但它們的聯(lián)合分布不一定是正態(tài)分布。

另外，一些教材中往往給出二維正態(tài)分布的這樣一個(gè)性質(zhì)：

性質(zhì)：若（X，Y）服從參數(shù)為μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二維正態(tài)分布，那么（aX+bY，cX+dY）服從二維正態(tài)分布。

［1］魏宗舒.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程［M］.高等教育出版社，2004-04-01.

［2］盛驟.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.高等教育出版社，2008-06-01.

［3］陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)［M］.國防工業(yè)出版社，2010-01-01.

·編輯 李建軍

A Note on Two Dimensional Normal Distribution

Lv Dongfeng

By using a basic fact in the definition of two-dimensional normal distribution，it is simple to show that the joint distribution of the two normal distributions is not necessarily a two-dimensional normal distribution，pofnted out the deficiency of a property in the textbooks.

two-dimensional normal distribution；correlation coefficient；maths problem