楊玉希

【摘要】函數(shù)極值是數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念和性質(zhì)，在經(jīng)濟(jì)管理中可以解決如何投入最小，產(chǎn)出最多，利潤最大化的問題，從而實現(xiàn)企業(yè)的科學(xué)管理、科學(xué)決策。本文討論了函數(shù)極值的求法及其在經(jīng)濟(jì)管理中的廣泛應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)極值 求法 經(jīng)濟(jì)管理 應(yīng)用

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）10-0150-02

一、問題的提出

這是一個大眾創(chuàng)業(yè)、萬眾創(chuàng)新的時代，科學(xué)的經(jīng)濟(jì)管理對企業(yè)生存和發(fā)展是非常重要的。函數(shù)極值是數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念和性質(zhì)，它對增強(qiáng)企業(yè)的科學(xué)管理有很強(qiáng)的指導(dǎo)作用，在經(jīng)濟(jì)管理中有著廣泛的應(yīng)用。利用函數(shù)極值研究商品的市場需求、庫存管理，利潤最大化，實現(xiàn)企業(yè)管理的正規(guī)化、科學(xué)化；以適度的生產(chǎn)量，以最低限度的庫存，使企業(yè)的利潤最大化，實現(xiàn)經(jīng)濟(jì)增長方式的轉(zhuǎn)型升級。本文討論了函數(shù)求極值的兩類方法：均值不等式法和導(dǎo)數(shù)方法以及函數(shù)極值在企業(yè)的生產(chǎn)量、庫存管理和利潤最大化方面的應(yīng)用。

二、函數(shù)極值的求法

（一）均值不等式法求極值

均值不等式是數(shù)學(xué)中的重要不等式，在求函數(shù)極值中有極大的作用。均值不等式表現(xiàn)為調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算數(shù)平均數(shù)，算數(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)，即

即函數(shù)f（x，y）的極小值也是函數(shù)的最小值為2。

求函數(shù)極值最值時要注意三點：“一正”“二定”“三相等”。 “一正”指正數(shù)，“二定”指和或積為定值，“三相等”是指等號成立，連續(xù)使用均值不等式時要求等號同時成立。

（二）導(dǎo)數(shù)求極值

利用函數(shù)極值存在的必要條件求得極值點的存在范圍：駐點和不可導(dǎo)點。再利用極值存在的第一充分條件或第二充分條件求出函數(shù)的極值、最值。

例2：求函數(shù)f（x）=x2-2ax+b，（其中x∈R）的最小值。

解：函數(shù)兩邊對x求導(dǎo)得

f'（x）=2x-2a=0

即唯一的駐點為x=a而f''（x）=2>0

于是，當(dāng)x=a時，f（x）取得極小值，這唯一的極小值也是函數(shù)的最小值。

若X為隨機(jī)變量，令a=E（X），b=E（X2）則f（x）=x2-2xE（X）+E（X2）=E（X-x）2，于是當(dāng)x=E（X）時，函數(shù)取得最小值E（X-E（X））2=DX。即是說隨機(jī)變量X距離其數(shù)學(xué)期望E（X）的離散程度最小；數(shù)學(xué)期望E（X）是隨機(jī)變量X取值的集中位置，反映了X平均值。

三、函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)是經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要工具。函數(shù)極值是函數(shù)在某鄰域之內(nèi)的最值，是局部概念，但由極值可求出函數(shù)的最大值、最小值，所以函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中有著廣泛的應(yīng)用。利用函數(shù)極值研究商品的市場需求、庫存管理，可以使得企業(yè)庫存最低、成本最小、利潤最大化。

首先把需要解決的經(jīng)濟(jì)管理中的問題數(shù)學(xué)化，抽象出函數(shù)的解析式，給出其目標(biāo)函數(shù)，建立其數(shù)理模型；然后將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極值最值問題。

例3：某賣場的某種商品每年的市場需求量X服從[2000，4000]上的均勻分布。每賣出一件，可純賺3元；若賣不出，則每件需庫存費(fèi)等共計1元。求：賣場應(yīng)組織多少貨源，才能使利潤最大？

由函數(shù)取得極值的必要條件和第二充分條件得t=3500為函數(shù)E（Y）的極大值，這唯一的極大值即為函數(shù)的最大值。即組織貨源3500件，賣場平均收益達(dá)到最大化。

四、結(jié)語

函數(shù)極值是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中有著廣泛的應(yīng)用，對企業(yè)生存和發(fā)展是非常重要。它可以解決在一定條件下要怎么做才會使投入最小，產(chǎn)出最多，效益最高、利潤最大化的問題。從而實現(xiàn)企業(yè)的科學(xué)管理、科學(xué)決策，實現(xiàn)企業(yè)經(jīng)濟(jì)增長方式的轉(zhuǎn)型升級。

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