●江蘇省高淳高級中學(xué) 祝 輝

透過現(xiàn)象看本質(zhì)
——從一道高考題談起

●江蘇省高淳高級中學(xué) 祝 輝

題1：（教材必修2第144頁B組第3題）已知點M與兩個定點O（0，0）、A（3，0）的距離的比為，求M的軌跡方程.

題2：（教材必修2第140頁例題）已知點P（2，0）、Q（b，0），點M與點P的距離是它與點Q的距離的，用《幾何畫板》探究點M的軌跡，并給出軌跡的方程.

題3：（教材必修2第144頁B組第2題）已知點M（x，y）與兩個定點M1、M2距離的比是一個正數(shù)m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形（考慮m=1和m≠1兩種情形）.

課本上的這三道題也可以看作是高考試題的源頭.事實上，課本是高考試題的命題依據(jù).課本是老師上課之本，是學(xué)生學(xué)習(xí)之本，更是高考命題之本！所謂“正本清源”，就是說明課本的確是高考試題的重要來源.因此，在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中要用好課本，以課本為主，充分發(fā)揮課本中知識形成過程和例、習(xí)題的典型作用.

五、鏈接高考

近幾年來，以阿波羅尼斯圓為背景的高考題屢見不鮮.這類試題源于課本，源于經(jīng)典，切入點低，入口寬，能保證大部分考生有思路、可以做，同時數(shù)學(xué)水平高、學(xué)科素養(yǎng)好的學(xué)生，往往能更快捷地解決問題.

1.（1994年高考全國文24）已知直角坐標(biāo)平面上點Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動點M到圓C的切線長與|MQ|的比等于常數(shù)λ（λ>0）.求動點M的軌跡方程，說明它表示什么曲線.

2.（2003年北京春季高考文20）設(shè)A（-c，0）、B（c，0）（c>0）為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a，求P點的軌跡.

3.（2005年高考江蘇19）如圖

4，圓O1與圓O2的半徑都是1，|O1O2|=4，過動點P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N為切點），使得|PM|=試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動點P的軌跡方程.

圖4

4（.2008年高考江蘇13）若AB=2，AC=姨%2 BC，則S△ABC的最大值為_____.

5（.2009年高考江蘇18）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圓C2：（x-4）2+（y-5）2=4．

（1）若直線l過點A（4，0），且被圓C1截得的弦長為求直線l的方程；

（2）設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．

6.（2013年高考江蘇18）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.

（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；

（2）若圓C上存在點M，使|MA|=2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

圖5

圖6

六、拓展探究

由學(xué)過的圓錐曲線，我們知道：

平面內(nèi)，到兩個定點F1、F2的距離的和是一個常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡是橢圓；

平面內(nèi)，到兩個定點F1、F2距離的差的絕對值是一個常數(shù)（小于|F1F2|的正數(shù)）的點的軌跡是雙曲線.

由阿波羅尼斯圓的定義，我們又得出：

平面內(nèi)，到兩個定點F1、F2距離的比是一個常數(shù)（不等于1）的點的軌跡是阿波羅尼斯圓.

很自然的我們會想到：平面內(nèi)，到兩個定點F1、F2距離的積是一個常數(shù)的點的軌跡是什么？

該方程表示的曲線稱為卡西尼（Cassini）卵形線.

高考中也曾考查卡西尼卵形線，有興趣的老師或同學(xué)可以去查閱相應(yīng)的高考題或習(xí)題.

一道好題，可以撩動學(xué)生自主探究的興趣，升華認(rèn)知，欲罷不能；可以煽動學(xué)生聯(lián)想的翅膀，類比體驗，樂不思蜀；可以撥動學(xué)生創(chuàng)新的激情，艱難求索，義無反顧.它也是數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的好素材.通過對兩道高考試題的研究，我們不但體驗到了高考試題的價值，而且發(fā)現(xiàn)了試題的課本背景，同時感受到了數(shù)學(xué)研究的樂趣.研究課本，吃透課本，不放過那些可能作為知識、能力、思想、方法考查的載體的題目，深入研究可能被利用的題目，充分發(fā)現(xiàn)它的價值，發(fā)揮它的潛在功能，這是一線數(shù)學(xué)教師的責(zé)任所在.A