●江蘇省常熟中學(xué) 朱 峰

高三“二項(xiàng)式定理”復(fù)習(xí)課的教學(xué)過(guò)程的實(shí)施、調(diào)控與反思

●江蘇省常熟中學(xué) 朱 峰

“二項(xiàng)式定理”是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，題型主要圍繞二項(xiàng)展開(kāi)式及其通項(xiàng)，看似題型固定、難度不大，但由于江蘇高考將其列為附加題可考內(nèi)容之一，故對(duì)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力提出了更高的要求，作為教師，在教學(xué)活動(dòng)中更應(yīng)注重學(xué)生這方面能力的培養(yǎng).本文結(jié)合具體教學(xué)實(shí)例，闡述筆者對(duì)高三“二項(xiàng)式定理”復(fù)習(xí)課的一些做法和感悟.

一、課前導(dǎo)學(xué)——自行梳理知識(shí)

“知識(shí)梳理”是高三復(fù)習(xí)課必經(jīng)的開(kāi)場(chǎng)戲.“梳理”就是要通過(guò)對(duì)知識(shí)的整理，溝通知識(shí)間的聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò).而對(duì)“二項(xiàng)式定理”、“二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)”、“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)”等知識(shí)的梳理，不僅僅是對(duì)知識(shí)的簡(jiǎn)單回顧，更是對(duì)舊知識(shí)的總結(jié)、提煉和升華，形成完整的知識(shí)體系.對(duì)這些知識(shí)的梳理過(guò)程，也是進(jìn)一步加深對(duì)認(rèn)識(shí)、理解和掌握的過(guò)程，是總結(jié)、反思、鞏固、提高的過(guò)程.在整理“二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)”時(shí)，我們應(yīng)舉例并強(qiáng)調(diào)“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”的區(qū)別，正是由于這個(gè)區(qū)別帶來(lái)了本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn).

二、化解難點(diǎn)——研究性學(xué)習(xí)

“二項(xiàng)式系數(shù)”與“項(xiàng)的系數(shù)”這一對(duì)概念一直是“二項(xiàng)式定理”教學(xué)環(huán)節(jié)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，而其中一個(gè)經(jīng)典的例子就是“求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)”.

經(jīng)過(guò)回代驗(yàn)證，答案是正確的.平時(shí)的解題過(guò)程中，學(xué)生一般也不會(huì)仔細(xì)琢磨其中的一些細(xì)節(jié)問(wèn)題.

師：大家用這種方法在解題目的時(shí)候，有沒(méi)有感覺(jué)到哪里有點(diǎn)不對(duì)勁？

生1：總覺(jué)得有點(diǎn)說(shuō)不清.

師：哪里說(shuō)不清？能具體講出來(lái)嗎？

生2：好像不是完全等價(jià).

師：不錯(cuò)！其實(shí)，大家的這種困惑我們可以用一個(gè)實(shí)例來(lái)形象刻畫：如圖1，為了要找到我們班最高的那位同學(xué)，我們讓全班同學(xué)站成一排，按照解法的邏輯，那個(gè)比左邊的同學(xué)不矮且比右邊的同學(xué)不矮的人，其身高為全班最高.……大家想一想，對(duì)嗎？

生3：不對(duì)，滿足條件的未必是最高的，最高的也未必左右都有人.

圖1

圖2

師：我們?cè)倥e一個(gè)數(shù)學(xué)中的例子，如何求函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上的最值（如圖2）？

生4：要比較極小值和端點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)確定最小值；比較極大值和端點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)確定最大值.

師：很好，那最后回到我們今天的這個(gè)具體問(wèn)題，你能完整表述你有哪些疑惑嗎？

生5：系數(shù)最大項(xiàng)一定在展開(kāi)式的“中段”嗎？會(huì)不會(huì)在首項(xiàng)或末項(xiàng)？

生6：會(huì)不會(huì)有多個(gè)不連續(xù)的正整數(shù)，使得其對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的系數(shù)均為最大？

有了解法困惑，接下來(lái)學(xué)生就會(huì)自然地問(wèn)“到底怎么解？”美國(guó)心理學(xué)家布魯納說(shuō)：“學(xué)習(xí)最好的刺激源是對(duì)學(xué)習(xí)材料的興趣.”據(jù)此，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步提出有探索性、挑戰(zhàn)性的具體問(wèn)題.

問(wèn)題1：有沒(méi)有可能系數(shù)最大項(xiàng)出現(xiàn)在首項(xiàng)或者末項(xiàng)？若有的話，（*）式怎么解？

問(wèn)題2：不等式（*）的解集中是否會(huì)出現(xiàn)不相鄰的兩個(gè)正整數(shù)，即是否會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)不相鄰的“波峰”？

問(wèn)題3：是否有其他方法來(lái)求解系數(shù)最大項(xiàng)？

鼓勵(lì)學(xué)生不斷舉例、大膽猜想，對(duì)猜想結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，并不斷補(bǔ)充完善，形成正確結(jié)論，或通過(guò)驗(yàn)證推翻原設(shè)想，再次猜想.這樣，學(xué)生通過(guò)反復(fù)提出問(wèn)題、多次猜想驗(yàn)證、合作交流，使知識(shí)、能力不斷地得到提升.這種“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—探究問(wèn)題—解決問(wèn)題”式的研究性學(xué)習(xí)順理成章地成為了突破這一難點(diǎn)的有效手段，在這期間，我們教師的任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生正確思考、合理猜想、創(chuàng)造互動(dòng)的課堂氛圍.

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，數(shù)學(xué)的真正組成部分是問(wèn)題和問(wèn)題的解決.

針對(duì)問(wèn)題2，是我們平時(shí)教學(xué)中不愿深究的問(wèn)題，但如果不解決好它，那么這樣的研究性學(xué)習(xí)也就失去了意義.

例2 已知常數(shù)a，b>0，求（ax+b）n展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

針對(duì)問(wèn)題3，回歸系數(shù)“數(shù)列”的本質(zhì)，即還可利用數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決系數(shù)最大的問(wèn)題，如所給例題中，設(shè)得k<，得k>2，即a>a>a>…，345又因?yàn)閗=2時(shí)，a=a，故展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T=

三、合理變式——凸現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)

“二項(xiàng)式定理”題型，主要有“求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)”、“求項(xiàng)的系數(shù)之和”、“應(yīng)用（整除問(wèn)題，近似計(jì)算，證明組合恒等式，證明不等式等）”等.若能將其歸類并附上精心設(shè)計(jì)的鋪墊性變式題組，在一定程度上可以讓學(xué)生利用已有的知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題、同化新知識(shí)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，從而提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.這里，合理地運(yùn)用變式教學(xué)是關(guān)鍵.

1.就“求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù)”而言

x3為_(kāi)_____．

變式2：（2013年全國(guó)卷改編）已知（1+ax）（1+x）5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)___．

2.就“求項(xiàng)的系數(shù)之和”而言

變式1：已知（1-x）5（1+x+x2）4=a0+a1x+a2x2+…+a13x13，則各項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)______；奇次項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)______．

變式2：（2014年合肥改編）已知（x+2）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，則各項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)________；（a0+a2+…+a8）2-（a1+a3+…+a9）2的值為_(kāi)________．

設(shè)計(jì)意圖：例4中多個(gè)小問(wèn)包含不同的賦值方法，尤其（7）中的“求導(dǎo)后賦值”更具技巧性.從例題（2x-1）5=…+a13x13，使學(xué)生對(duì)于“賦值法”的認(rèn)識(shí)不只是停留在表象上，再到（x+2）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9的形式，則能讓學(xué)生更清楚地看透“賦值”的本質(zhì).

3.就“應(yīng)用”而言

這樣的變式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，能讓學(xué)生在無(wú)窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，更能讓學(xué)生比較全面地看問(wèn)題，注意從事物之間的聯(lián)系的矛盾上來(lái)理解事物的本質(zhì)，在一定程度上可以克服和減少思維僵化及思維惰性，從而可以更深刻地理解課堂教學(xué)的內(nèi)容.

四、歸納小結(jié)——凝練與提升

羅列提綱，擬定例題，而最終是要讓學(xué)生通過(guò)例題及變題自己來(lái)總結(jié)解決問(wèn)題的一般方法，于是，在導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計(jì)上，筆者設(shè)計(jì)為“留白”.孔子曰“不憤不啟，不悱不發(fā)”.通過(guò)變式教學(xué)，已然制造出一種“空白”讓學(xué)生進(jìn)入“憤”、“悱”狀態(tài)，這種“空白”，是要讓學(xué)生說(shuō)出自己的心聲、道出自己的感悟、寫出屬于自己的成功經(jīng)驗(yàn)或是失敗教訓(xùn)，讓學(xué)生感到自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、探索者；同時(shí)，“通項(xiàng)化歸法”、“組合分析法”、“賦值法”、“求導(dǎo)法”、“倒序相加法”、“構(gòu)造法”等技能與技巧，讓學(xué)生感到自己是一個(gè)研究者、收獲者.因人而異的小結(jié)，是對(duì)自己課堂認(rèn)知的凝練，以這種“留白”式的課堂總結(jié)和分享，讓學(xué)生及時(shí)收獲成果、發(fā)現(xiàn)不足，使自己的思維和知識(shí)得以升華.

五、課后練習(xí)——適度拓展鞏固

江蘇高考將“二項(xiàng)式定理”列為附加題可考內(nèi)容之一，很大程度上賦予了它更多的靈活性，不再拘泥于現(xiàn)有固定的題型，因此關(guān)注一些二項(xiàng)式定理的交匯題，更能讓學(xué)生的眼界開(kāi)闊、思路發(fā)散.

拓展2：（與不等式結(jié)合）若（x+y）9按x的降冪排列的展開(kāi)式中，第二項(xiàng)不大于第三項(xiàng)，且x+y=1，xy<0，則x的取值范圍是_________．

設(shè)計(jì)意圖：課后練習(xí)是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要延伸部分，是進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)概念的有效手段，是學(xué)習(xí)知識(shí)與應(yīng)用知識(shí)的關(guān)鍵紐帶，我們選題時(shí)精選，要求學(xué)生精煉，鼓勵(lì)學(xué)生善于反思、勤于反思，這樣才能讓學(xué)生更有效、更積極地學(xué)習(xí).

六、教學(xué)反思——以學(xué)定教、以教導(dǎo)學(xué)

“二項(xiàng)式定理”本身是高中數(shù)學(xué)較為經(jīng)典的一個(gè)內(nèi)容，作為高三復(fù)習(xí)課，相對(duì)于平鋪直敘的直白復(fù)習(xí)，另辟“研究性學(xué)習(xí)”、“變式教學(xué)”、“留白”等角度重新定義該節(jié)課，少一些灌輸，多一些探究，或許更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、提升學(xué)習(xí)效果.

我們一般使用的“導(dǎo)學(xué)案”，即是由教師制定的引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法的預(yù)案，它的中心是老師的教，側(cè)重于知識(shí)的傳授，其最大的弊端在于它把一個(gè)個(gè)的學(xué)生當(dāng)作死板的盛知識(shí)的容器.而根據(jù)建構(gòu)主義理論，導(dǎo)學(xué)案的中心應(yīng)該是學(xué)生的學(xué)，它側(cè)重于過(guò)程的引導(dǎo)和方法的指導(dǎo)，其主要形式是合作探究的學(xué)習(xí)方式，最終的目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí).所以通過(guò)這節(jié)課，筆者感悟到，要真正地把課堂還給學(xué)生，突出學(xué)生的主體地位，這樣才能讓學(xué)生在課堂上肯學(xué)、樂(lè)學(xué).

通過(guò)變式教學(xué)來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入理解，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的形成和發(fā)展過(guò)程的掌握，提高學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力的同時(shí)，也可大大提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)效率.變式教學(xué)不僅能幫助學(xué)生積累和總結(jié)一些實(shí)用的規(guī)律，更重要的是能培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納的能力.在高中數(shù)學(xué)中，學(xué)生掌握了不同的思想方法的適用條件，對(duì)于完善思維嚴(yán)謹(jǐn)性、拓展思維靈活性起到了積極的作用.

江蘇高考附加題不涉及填空，考則便是大題，但是不管怎樣，作為我們教師在教學(xué)上仍需要以小見(jiàn)大，將學(xué)生的雙基夯實(shí)，在平時(shí)的練習(xí)中逐漸涉及有難度的綜合題，讓學(xué)生有一個(gè)良好的心態(tài)穩(wěn)定發(fā)展.更重要的是，我們要不斷激勵(lì)學(xué)生，點(diǎn)燃學(xué)生的智慧火花，使學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力得到充分發(fā)展.