●江蘇省海安縣立發(fā)中學(xué) 楊 云

回歸課本是高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效途徑

●江蘇省海安縣立發(fā)中學(xué) 楊 云

章建躍博士說過“課本是使學(xué)生學(xué)做人做事的基本載體，脫離課本的教學(xué)不是好的數(shù)學(xué)教學(xué).”高考試題中有相當(dāng)一部分試題是對“四基”，即“基本知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗”的考查，雖然不可能考查課本原題，但許多考題就是對課本原題的變形、改造及綜合，都能在課本上找到“根源”，撲捉到“影子”，題在書外，理在書內(nèi)，都能用課本上的知識去解決.在高三復(fù)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生回歸課本；重視課本例習(xí)題的通性通法；重視課本例習(xí)題的變式、組裝和改造，才能落實基礎(chǔ)，構(gòu)建數(shù)學(xué)的知識網(wǎng)絡(luò)，以不變應(yīng)萬變，高考復(fù)習(xí)才有效.

一、引導(dǎo)學(xué)生回歸課本是復(fù)習(xí)之根本

A.min{|a+b|，|a-b|}≤min{|a|，|b|}

B.min{|a+b|，|a-b|}≥min{|a|，|b|}

C.max{|a+b|2，|a-b|2}≤|a|2+|b|2

D.max{|a+b|2，|a-b|2}≥|a|2+|b|2

分析：本題是在書本例題的基礎(chǔ)上稍加改變，本質(zhì)是為了上述例題的考查．如果學(xué)生對課本例題的知識點理解清楚，那這個題就可以“秒殺”：

課本既是教學(xué)內(nèi)容的具體化，也是教與學(xué)的依據(jù).在近幾年的高考中，課本原題或源于課本的組合題接連不斷.高考都是基于基本知識點，無論從命題方向還是命題原則來看，考題不超過課標(biāo)《考綱》、不超出教材、不出怪題難題.不少高考題實際是課本例題、練習(xí)題、習(xí)題和復(fù)習(xí)參考題等的改裝，只要真正理解課本內(nèi)容，掌握課本知識，就能夠?qū)W好數(shù)學(xué).

對于本例的教學(xué)到此結(jié)束，放棄對原題的研究，那么就錯失了一次對教材開發(fā)的機(jī)會．那么兩條對角線的平方差有什么特點呢？學(xué)生在本例的基礎(chǔ)上對這樣的探究是有基礎(chǔ)的，可以探究得到數(shù)量積的另一形式——極化恒等式：

圖1

圖2

對本例做這樣的拓展，學(xué)生層層遞進(jìn)是容易理解的．極化恒等式的應(yīng)用可以幫我們“秒殺”一類高考題．

在高三復(fù)習(xí)課堂的例題教學(xué)中，教師能深入研究課本例題與高考真題的結(jié)合點，做有益和必要的拓展，就可以讓學(xué)生對數(shù)學(xué)問題理解透徹，揭示問題的本質(zhì)，讓學(xué)生有更多的解題工具的選擇．這樣，在高考中才能靈活運(yùn)用方法，提高解決問題的能力．

二、重視課本上例習(xí)題，用實教材，夯實基礎(chǔ)

1.立足課本，有利于查漏補(bǔ)缺，提高復(fù)習(xí)效率

高三復(fù)習(xí)，立足課本，不是簡單的重復(fù)，而是利用教材檢查自己在這些重要的結(jié)論、基本方法等知識點掌握上的錯誤和欠缺，進(jìn)而能更有效地進(jìn)行解題，數(shù)學(xué)課本上的定理、性質(zhì)是一些重要的結(jié)論，但有些結(jié)論只是以例題或習(xí)題的形式出現(xiàn)．

例2 人教社A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修2》第62頁習(xí)題2.2A組第4題；第63頁習(xí)題2.2B組第2題分別出現(xiàn)了下列兩個證明：

（1）a，b是異面直線，畫出平面α，使a奐α，且b∥α，并說明理由．

（2）a，b是異面直線，a奐α，a∥β，b奐β，a∥α，求證：α∥β.

這兩個習(xí)題共同揭示了“過兩條異面直線中的一條有且只有一個平面與另一條直線平行”．

這樣的例子還有很多，并且在高考試題中也有所體現(xiàn)：

例3（2013年高考浙江卷文科第5題）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）.

A.若m∥α，n∥α，則m∥n B.若m∥α，m∥β，則α∥β

C.若m∥n，m⊥α，則n⊥α D.若m∥α，α⊥β，則m⊥β

分析：此題四個選項全部來源于課本，只是改變了字母.A選項是必修2第61頁練習(xí)（3）如果直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b.B選項是必修2第58頁練習(xí)（3）的B選項直線a∥α，a∥β，那么α∥β.C選項是必修2第65頁例1，已知a∥b，a⊥α，求證：b⊥α.D選項是必修2第72頁探究.

答案顯然選C.比較后我們發(fā)現(xiàn)考題只是把書本中的習(xí)題做了整合，完全相同．

植根教材的這些高考試題，知識背景公平，很好地起到了考查基礎(chǔ)知識和基本能力的要求．因此我們在高考復(fù)習(xí)過程中必須引導(dǎo)學(xué)生立足課本，用好用實課本，只有熟悉課本，才能快速識別它的原型，從而簡縮思維過程，提高復(fù)習(xí)的效率．

2.立足課本，有利于掌握通法，規(guī)范解題過程

在課本中，比結(jié)論更重要的是方法，最近幾年的高考命題一直延續(xù)著新題不難、難題不怪的思路，重視三基的考查，突出對主干知識、思想方法的考查，強(qiáng)調(diào)注意通解通法，淡化特殊的技巧.

例如，在講數(shù)列求和這塊內(nèi)容時，很多學(xué)生只停留在表面的解法上，覺得方法技巧較多，只要我們深入課本就會發(fā)現(xiàn)：

人教社A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)必修5》第42頁探究：高斯的算法妙在何處？這種方法能夠推廣到求一般等差數(shù)列的前n項和嗎？（倒序相加法）

人教社A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)必修5》第61頁習(xí)題2.5A組第4題：求和：（1）（2-3×5-1）+（4-3×5-2）+…+（2n-3×5-n）（分組求和法）；（2）1+2x+3x2+…+nxn-1（錯位相減法）.

這些方法是數(shù)列求和中的通性通法，課本中都能找到推導(dǎo)方法，以及規(guī)范的書寫格式，在高考中要用到的正是這些方法，學(xué)生理解了這些推導(dǎo)方法比單純地記憶公式更有效.

立足課本，進(jìn)一步理解課本的例題、習(xí)題，全面系統(tǒng)地掌握基礎(chǔ)知識和基本方法，規(guī)范解題思路，讓學(xué)生扎實地掌握通性通法，同時課本的解題格式也為我們提供了解題的示范，復(fù)習(xí)資料中不規(guī)范的內(nèi)容需要課本來正本清源．只有這樣，學(xué)生在復(fù)習(xí)時才能提高效率，在高考時才會有更足的底氣，

三、重視課本例習(xí)題進(jìn)行變式教學(xué)是復(fù)習(xí)之根

我們通過研究課本題的變式、組裝與改造來彌補(bǔ)教材內(nèi)容“簡單”觀點，也是避免“以教輔代教材”的高招，亦為提高復(fù)習(xí)質(zhì)量之根和最佳途徑.要站在數(shù)學(xué)整體的高度與課本對話或許這是其中手段之一.絕大多數(shù)課本題都具有可變性和可研究性，僅就題論題，無疑會浪費(fèi)寶貴的有限課程資源，無疑不足以應(yīng)付高考不是什么怪論，更不能將學(xué)生從繁雜的參考資料中“拯救”出來，所以我們對課本題必須開展變式研究.

1.在一題多變的研究過程中，讓學(xué)生系統(tǒng)、全面地掌握知識

例4 （人教A版數(shù)學(xué)必修5第4題第（1）問）已知數(shù)列{a}，其中a=，a=4a+1（n≥2） ①，求它的通項公式.

n1nn-1

小結(jié)：形如a1=a0，an+1=can+d（c≠0，c≠1，d≠0）的遞推關(guān)系式，采用配湊法或待定系數(shù)法，設(shè)an+1+m=c（an+m），則a=ca+cm-m圯m=再用構(gòu)造輔助數(shù)列的方法，n+1n將其化歸為等比數(shù)列問題.變式1：把①中的1改寫為0，即an=4an-1②，如何求an.小結(jié)：形如a1=a0，an=qan的遞推關(guān)系，直接用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決.

變式2：把①中的4改寫為1，即an=an-1+1 ③，如何求an.

小結(jié)：形如a1=a0，an=an-1+d，直接用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決.

變式3：把③中的1改寫為n，即an=an-1+n ④，如何求

小 結(jié) ：形如a1=a0，an=an-1+f（n），其 中f（n）=n，n2，，n·2n時常用疊加法，化歸轉(zhuǎn)化等差或等比或自然數(shù)平方和或錯位相減法的問題解決.

變式4：把①中的1改寫為-3n，即an=4an-1-3n⑤，如何求an.

小結(jié)：形如a1=a0，an+1=pan+qdn（p≠0，p≠1，d≠0，q≠0）的遞推關(guān)系式，可采用兩邊同時除以dn+1的方法進(jìn)行化歸處理.

2.在典型例習(xí)題的變式、拓展、遷移和運(yùn)用中，去實現(xiàn)思維訓(xùn)練與能力的提升

例5 （人教A版數(shù)學(xué)選修4-5P36習(xí)題3.1第4題）已知a2+b2=1，求證|acosθ+bsinθ|≤1.

其實，此題還隱含cos2θ+sin2θ=1的條件.我們對此題題干進(jìn)行適當(dāng)變換，得一系列命題：［3］

變式1：已知a，b，c，d都是實數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證|ac+bd|≤1.

變式2：已知a，b，c，d都是實數(shù)，且a2+b2=1，c2+d2=1，

3.在推陳出新的變式研究訓(xùn)練中，幫助學(xué)生擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”之苦

例6 討論直線l：y=kx+1與雙曲線C：x2-y2=1的公共點的個數(shù).

這是一道常規(guī)題，如果教學(xué)僅僅局限于解出此題，對高三復(fù)習(xí)可以說毫無意義可言，如果我們創(chuàng)設(shè)一些新問題的情境，將會碩果累累.

變式1：若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍.

變式2：若直線l與雙曲線C的右支交于兩個不同的點A、B，求實數(shù)k的取值范圍.

變式3：若直線l與雙曲線C的左支交于兩個不同的點A、B，求實數(shù)k的取值范圍.

變式4：若直線l與雙曲線的左右兩支交于不同的點A、B，求實數(shù)k的取值范圍.

變式5：是否存在實數(shù)k，使得以直線AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F2，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

變式6：若直線l與雙曲線C有兩個不同的交點A、B，求弦AB中點的軌跡方程.

變式7：若l′垂直平分變式2中的弦AB，求l′在y軸上的截距m的取值范圍.

精選典例，抓住“嬌”題不放，創(chuàng)新變式.若能從“變”的表象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的假象中掘出“變”的內(nèi)涵，才能促使學(xué)生盡快領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，形成高超的數(shù)學(xué)能力.變式教學(xué)不僅是跳出題海，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，以少勝多，提高效率的最佳選擇，而且是全方位提升學(xué)生分析問題和解決問題能力的明智之舉.

總之，高三復(fù)習(xí)的效果直接決定了學(xué)生的高考，作為高三復(fù)習(xí)教學(xué)的主導(dǎo)者，讓我們轉(zhuǎn)變觀念，從認(rèn)識的角度熟悉課本，從理解的角度用活課本，從掌握的角度拓展課本，從探究的角度開發(fā)課本，深入鉆研課本和高考真題之間的結(jié)合點，對高三復(fù)習(xí)教學(xué)做有效設(shè)計和拓展，引導(dǎo)學(xué)生立足課本，在課本中扎實基礎(chǔ)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，在拓展中提升思維，增強(qiáng)解題能力，真正做到?jīng)_出題海，提高高三復(fù)習(xí)教學(xué)的效率！

1.裴光亞.高考數(shù)學(xué)回歸課本復(fù)習(xí)指南［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2008（3）.

2.彭光焰.課本例題的價值在拓展中提升［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2007（1-2）.

3.黃立俊.談引導(dǎo)學(xué)生用好教材［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1996（12）.

4.何偉軍.一題多聯(lián)、多題一法中淘寶［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2014（5）.