●內(nèi)蒙古赤峰市第二中學(xué) 陳鈺狄

變式教學(xué)讓高三復(fù)習(xí)更有效

●內(nèi)蒙古赤峰市第二中學(xué) 陳鈺狄

變式教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的教學(xué)手段之一，也是高中教師熟悉的教學(xué)手段.尤其是高考復(fù)習(xí)階段，起到融合各知識(shí)點(diǎn)及知識(shí)體系的作用.優(yōu)秀的老師往往能通過(guò)變式訓(xùn)練題組，以點(diǎn)帶面，不但能減輕教學(xué)負(fù)擔(dān)，還能達(dá)到非常好的教學(xué)效果.在這種教學(xué)模式下，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性高，主動(dòng)性強(qiáng)，課后回味變式，還意猶未盡.筆者通過(guò)幾年的學(xué)習(xí)實(shí)踐，粗略談?wù)勱P(guān)于變式教學(xué)的幾點(diǎn)做法.

一、變式教學(xué)是實(shí)現(xiàn)高效復(fù)習(xí)的助推器

解題教學(xué)就是讓學(xué)生能夠把已經(jīng)學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法遷移到不同問(wèn)題情境下加以應(yīng)用的過(guò)程，高三復(fù)習(xí)知識(shí)面廣，題型千變?nèi)f化，課堂上不能過(guò)多地處理不同數(shù)據(jù)的運(yùn)算，通過(guò)個(gè)別問(wèn)題的推廣，以點(diǎn)帶面，串題成網(wǎng)是提高復(fù)習(xí)效率的常用手段.

例1 不等式約束條件下的求目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題.

在復(fù)習(xí)“不等式約束條件下的求目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題”時(shí)，老師先給出如下問(wèn)題.

在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生完成解答后老師把著力點(diǎn)放在學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟上，設(shè)計(jì)了如下情境.

師：作出不等式組表示的可行域，賦予了不等式組怎樣的意義？作出目標(biāo)函數(shù)z=x+y表示的動(dòng)直線(xiàn)，賦予了方程z=x+y怎樣的意義？

生：幾何意義.

師：其中z的幾何意義是什么？

生：表示動(dòng)直線(xiàn)在y軸上的截距.

然后給出下列問(wèn)題變式，讓學(xué)生探究交流.

變式1：如果令z=x2+y2，式子的幾何意義是什么？怎樣求z的最小值？

變式2：如果令z=x2+y2-4x+4y+8，式子的幾何意義是什么？怎樣求z的最小值？

如此，將線(xiàn)性規(guī)劃的不同類(lèi)型歸類(lèi)于一個(gè)問(wèn)題之下，不僅避免了無(wú)效的重復(fù)運(yùn)算，還能讓學(xué)生系統(tǒng)地、串聯(lián)地區(qū)別分析了不同類(lèi)型下的線(xiàn)性規(guī)劃的題型，可謂事半功倍.

二、追溯問(wèn)題的本質(zhì)是實(shí)現(xiàn)變式教學(xué)的基礎(chǔ)

舉一反三是數(shù)學(xué)的特質(zhì)．問(wèn)題的呈現(xiàn)千變?nèi)f化，只有抓住了本質(zhì)才能實(shí)現(xiàn)變式教學(xué)，進(jìn)而使學(xué)生對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的了解全面，在應(yīng)對(duì)高考過(guò)程中真正地做到未雨綢繆．

例2 如圖，已知平面α垂直于平面β，A、B是平面α與

平面β的交線(xiàn)上的兩個(gè)定點(diǎn)，DA奐β，CB奐B，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，BC=8，AB=6，若在平面α內(nèi)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，使得∠APD=∠BPC，則△PAB的面積的最大值為（ ）.

對(duì)于本題，學(xué)生基本能通過(guò)條件轉(zhuǎn)化出PB=2PA這一結(jié)論，繼而設(shè)PB=2PA=x（2

探究1：動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離關(guān)系PB=λPA的幾何意義是什么？

探究2：若PB=λPA（λ≠1），則點(diǎn)P的軌跡方程是什么？

探究3：若PB=λPA（λ≠1），則點(diǎn)P的軌跡是圓，這個(gè)圓有一個(gè)特殊的名字叫“阿波羅尼斯圓”，大家能快速求出上題中圓的方程嗎？

探究4：請(qǐng)大家快速判斷上題中△PAB的面積的最大值.

顯然，老師通過(guò)不斷設(shè)問(wèn)，將學(xué)生的思維從三角形問(wèn)題帶入了軌跡問(wèn)題的求解，形成了解題的“創(chuàng)新”，這對(duì)培養(yǎng)和鞏固學(xué)生的創(chuàng)新思維大有裨益.

三、變式教學(xué)是完善學(xué)生思維的催化劑

解題能力表現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的敏銳性、洞察力與整體把握上.其重要成分是三種基本的數(shù)學(xué)能力（運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力），核心是能否掌握正確的思維方法.思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，然而學(xué)生往往滿(mǎn)足于一得之見(jiàn)，不去思考“為什么可以這樣做”的道理，從而影響思維能力的提高.通過(guò)變式串在學(xué)生的思維起點(diǎn)處設(shè)問(wèn)，可以將學(xué)生的思維逐步引入到更高的層次.

例3已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-b，a、b∈R.當(dāng)x∈［0，1］時(shí)，f（x）<0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍（結(jié)果用a表示）.

關(guān)于二次函數(shù)的絕對(duì)值問(wèn)題是一類(lèi)特殊而又重要的函數(shù)，它的特殊性在于絕對(duì)值的“取正”功能，可以將任意的二次函數(shù)進(jìn)行分段，從而形成紛繁復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，充分考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論能力，是高考命題的“寵兒”.由于函數(shù)本身就是一個(gè)分段函數(shù)，而兩段函數(shù)的最值又必須通過(guò)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和其自身所在的區(qū)間［a，+∞）和（-∞，0）進(jìn)行討論，分類(lèi)討論難度較大.設(shè)置的變式串應(yīng)能引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)正確地分類(lèi)討論.

變式1：請(qǐng)作出下列函數(shù)的圖像：（1）f（x）=x|x|；（2）f（x）=x|x-2|；（3）f（x）=x|x+2|，并指出其單調(diào)性.

變式2：請(qǐng)作出函數(shù)f（x）=x|x-a|（a>0）的圖像，并討論若f（x）在［0，1］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

變式3：請(qǐng)作出函數(shù)f（x）=x|x-a|（a∈R）的圖像，并討論若f（x）在［0，1］上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

將函數(shù)f（x）=x|x-a|-b的分類(lèi)討論還原到學(xué)生思維的起點(diǎn)，通過(guò)變式1中3個(gè)不同的函數(shù)讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)的圖像和絕對(duì)值內(nèi)的不同實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后借助函數(shù)的一般式f（x）=x|x-a|，從a>0到a∈R逐步推進(jìn)，并引導(dǎo)學(xué)生最終解決該問(wèn)題.如此，學(xué)生不僅能順利解決該題，還能再次體會(huì)從特殊到一般認(rèn)識(shí)問(wèn)題的一般規(guī)律，一舉多得.

四、變式教學(xué)是實(shí)現(xiàn)高效課堂的煉金石

一般地，學(xué)生在面對(duì)新問(wèn)題時(shí)的第一反應(yīng)是“喚醒思維的回憶”，將題中所給的條件或結(jié)論與已掌握的相應(yīng)的題型及解法進(jìn)行類(lèi)比聯(lián)想，由此產(chǎn)生解題的思路，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生如果遇到相關(guān)“知識(shí)疑點(diǎn)”或“知識(shí)盲點(diǎn)”，就會(huì)形成思維混亂或短路，導(dǎo)致生搬硬套、胡亂解題，甚至是手足無(wú)措，影響其他問(wèn)題的解答.

例4題組1：已知f（x）=x2-3ax-1（a≠0）.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

變式：若f（x）=ax3-3ax-1（a≠0）呢？

（2）若f（x）在x=-1處取到極值，則f（x）-m=0有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.

變式1：改為1個(gè)零點(diǎn)、2個(gè)零點(diǎn)、0個(gè)零點(diǎn).

變式2：f（x）-m=0在［-2，3］上有零點(diǎn).

變式3：f（x）-m<0在［-2，3］上恒成立.

變式4：f（x）-m<0在［-2，3］上有解.

題組2：已知f（x）=x3-ax2+x，若f（x）有極值，求a的取值范圍.

變式1：若f（x）在［-1，1］上有極大值，極小值.

變式2：若f（x）在［-1，1］上有兩個(gè)極值，有極值.

題組3：f（x）=x3-ax+lnx，若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

每一個(gè)題組內(nèi)的變式層層遞進(jìn)，題組間也層層遞進(jìn)，雖然只有3個(gè)題組，但蘊(yùn)含的題量、涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容和思想方法卻是相當(dāng)飽滿(mǎn)、豐富的.

五、對(duì)變式教學(xué)的幾點(diǎn)思考

1.變式設(shè)計(jì)貴在精

（1）編排適量題組.

在數(shù)學(xué)知識(shí)和思想的變式中實(shí)現(xiàn)高效課堂教學(xué).不能為“變式”而變式，使變式成為一種形式.變式過(guò)度，增加無(wú)效勞動(dòng)，加重學(xué)生負(fù)擔(dān).變式不足，學(xué)生學(xué)習(xí)能力得不到提高，學(xué)習(xí)力很難得到有效的優(yōu)化.

（2）螺旋式呈現(xiàn)層次.

難度應(yīng)限制在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”水平，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.逐步深入，讓學(xué)生跳一跳摘到果子，時(shí)時(shí)刻刻都有收獲，從而能不斷發(fā)現(xiàn)變式中“不變”的本質(zhì).

2.變式設(shè)計(jì)體現(xiàn)學(xué)生主體

（1）遵循學(xué)生主動(dòng)參與原則.

教學(xué)是師生之間互相學(xué)習(xí)、互相成長(zhǎng)的一個(gè)過(guò)程，必須堅(jiān)持以學(xué)生為主體的教學(xué)理念.讓學(xué)生與老師一起進(jìn)行變式教學(xué).一組有效、可行的變式組，可以體現(xiàn)課堂教學(xué)對(duì)象中各層次的顯示需要，這是教科書(shū)無(wú)法提供的.

（2）著重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)力.

高中數(shù)學(xué)的抽象性、邏輯性意味著高中數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)力提出更高要求.因而在教學(xué)中要對(duì)基本問(wèn)題進(jìn)行變式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)力.好的問(wèn)題就像挖參一樣，挖到一個(gè)附近肯定還有一個(gè)，甚至更多.所以在探索問(wèn)題時(shí)要像挖參一樣引導(dǎo)學(xué)生挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，從而更加徹底理解問(wèn)題本質(zhì)所在，進(jìn)而拔高學(xué)生的學(xué)習(xí)力并拓寬深度.

波利亞說(shuō)：“一個(gè)專(zhuān)心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”筆者有理由相信，隨著變式教學(xué)的深入開(kāi)展，會(huì)有更多更美妙的問(wèn)題展現(xiàn)在我們面前，期待變式教學(xué)的魅力能給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)更多的樂(lè)趣！A