關(guān)璐

（內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特　010070）

淺析高等數(shù)學(xué)教學(xué)難點定積分的應(yīng)用

關(guān)璐

（內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特010070）

0　引言

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，數(shù)學(xué)在各個研究領(lǐng)域越來越受到人們的重視。而高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)這門課程不僅是學(xué)生后續(xù)將要學(xué)習(xí)的課程的基礎(chǔ)，也是學(xué)生考研的必考科目。一元函數(shù)定積分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，利用它可以解決很多問題，像計算平面圖形的面積、立體的體積等。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程當(dāng)中，感覺到公式太多，不會合理地利用公式，從而漸漸失去了學(xué)習(xí)興趣。因此，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗，針對高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的定積分的應(yīng)用提出一些教學(xué)方案。

1　利用定積分計算平面圖形的面積

在學(xué)習(xí)了定積分的定義和計算之后，重點學(xué)習(xí)的就是定積分的應(yīng)用。定積分的應(yīng)用主要是計算平面圖形的面積和立體的體積。首先給學(xué)生介紹利用定積分計算平面圖形的面積。

在教學(xué)過程中首先通過定積分的定義結(jié)合幾何意義引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)面積計算的三個標(biāo)準(zhǔn)型。

平面圖形D由曲線y=f（x），x軸以及（x=a和x=b）圍成，則：

（2）平面圖形D由曲線C1，C2以及（x=a和x=b）圍成且C1在C2上方，其中C1：y=f（x），C2：y=g（x），則：

（3）平面圖形D由曲線C1，C2以及（y=c和y=d）圍成且C1在C2右側(cè)，其中C1：x=φ（y），C2：x=ψ（y）則：

注意：上述括號中的直線可以出現(xiàn)也可以不出現(xiàn)。

其次，通過教師的引導(dǎo)和學(xué)生一起建立利用定積分求平面圖形面積D的步驟。

第一步：畫草圖用陰影表示平面圖形面積D；

第二步：將平面圖形面積D劃分為標(biāo)準(zhǔn)型；

第三步：準(zhǔn)備工作，包括求被積函數(shù)，求積分上下限，被積函數(shù)有絕對值的要求分點；

第四步：利用選好的公式求定積分。

學(xué)生通過標(biāo)準(zhǔn)型的學(xué)習(xí)以及步驟的掌握，對于題目給定的計算面積的平面圖形就可以很容易地分類、解決。這樣學(xué)生就會很輕松地掌握利用定積分計算平面圖形的面積的方法，就會對這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)有著極大的興趣，從而大大的提高了學(xué)習(xí)的效率。

下面舉兩個典型的例子：

解：由圖1可知，橢圓在四個象限的圖形是對稱的，因此，只要計算第一象限的圖形的面積乘以4就是橢圓的面積。而第一象限的圖形就是第一個標(biāo)準(zhǔn)型，因此，面積公式為：

圖1　

例2求由曲線y2=2x與直線y=x-4所圍圖形的面積。

圖2　

如圖2所示，此平面圖形是一個第三類標(biāo)準(zhǔn)型，也可以看作是由x=2分割的左右兩部分。當(dāng)然是看做第三個標(biāo)準(zhǔn)型簡單，即用公式

2　積分計算立體的體積

利用定積分可以計算已知平行截面面積的立體的體積也可以計算旋轉(zhuǎn)體的體積。在這里重點介紹旋轉(zhuǎn)體體積公式的選擇、使用。

在教學(xué)過程中首先要給學(xué)生介紹四個標(biāo)準(zhǔn)型五個公式，包括：

（1）平面圖形D由曲線y=f（x），x軸以及（x=a和x= b）圍成，則：

（2）平面圖形D由曲線x=φ（y），y軸以及（y=c和y=d）圍成，則：

（3）平面圖形D由曲線C1，C2，以及（x=a和x=b）圍成且C1在C2上方都在x軸上方，其中C1：y=f（x），C2：y=g （x）則：

（4）平面圖形D由曲線C1，C2以及（y=c和y=d）圍成且C1在C2右側(cè)且都在y軸右側(cè)，其中C1：x=φ（y），C2：x=ψ（y）則：

可以結(jié)合利用定積分求平面圖形的面積的步驟，通過教師的引導(dǎo)和學(xué)生一起建立利用定積分求旋轉(zhuǎn)體體積的步驟。

第一步：畫草圖用陰影表示平面圖形面積D；

第二步：將平面圖形面積D劃分為標(biāo)準(zhǔn)型；

第三步：準(zhǔn)備工作，包括求被積函數(shù)，求積分上下限，被積函數(shù)有絕對值的要求分點；

第四步：利用選好的公式求定積分。

例3求由y=x3，x=y2所圍成的圖形繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

解：如圖3所示，由y=x3，x=y2所圍成的圖形繞x軸所得的旋轉(zhuǎn)體求體積是屬于第三個標(biāo)準(zhǔn)型。

由y=x3，x=y2所圍成的圖形繞y軸所得的旋轉(zhuǎn)體

圖3　

求體積是屬于第四個標(biāo)準(zhǔn)型，故應(yīng)該使用公式

3　結(jié)語

定積分這部分內(nèi)容是微積分的基礎(chǔ)，因此，定積分的應(yīng)用也非常重要。特別是通過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣。因此，每一位教師都應(yīng)該認(rèn)真思考，不斷總結(jié)如何講解好這部分內(nèi)容，為學(xué)生將來的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。

［1］張曉榮.定積分的應(yīng)用［J］.商界論壇，2012（19）：221-222.

［2］阿爾斯蘭.談關(guān)于定積分的求法及其應(yīng)用［J］.魅力中國，2010（06）：287.

［3］辛春元.定積分的應(yīng)用研究［J］.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2008（11）：262-263.

［4］謝黎東.巧用定積分［J］.科學(xué)咨詢（科技·管理），2011（08）：107.

［5］刑華，高娃.微積分［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2012.

Definite Integral；Plane Graphics Area；Rotator Volume

Application of Definite Integral in Higher Mathematics Teaching

GUAN Lu

（College of Statistics and Mathematics，Inner Mongolia Finance and Economics University，Hohhot 010070）

1007-1423（2015）26-0073-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.26.018

關(guān)璐（1981-），女，內(nèi)蒙古烏蘭察布人，碩士，講師，研究方向為圖的代數(shù)結(jié)構(gòu)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)等

2015-09-11

2015-09-20

一元函數(shù)定積分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，利用一元函數(shù)定積分可以計算平面圖形的面積和立體的體積，但是學(xué)生常常感覺到這些知識較難掌握。結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗，針對一元函數(shù)定積分應(yīng)用的學(xué)習(xí)提出一些相應(yīng)的教學(xué)方案。

定積分；平面圖形面積；旋轉(zhuǎn)體體積

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)教育教學(xué)項目（No.JX1424）

Functions of one variable definite integral is an important part of higher mathematics，uses a definite integral element function can calculate the volume of the area of the plane and three-dimensional graphics，but students often feel that knowledge is difficult to grasp.Combined with years of teaching experience，for learning functions of one variable definite integral application，puts forward some teaching solutions.