徐 斌 江蘇省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師，江蘇“人民教育家工程”培養(yǎng)對(duì)象，教育部“國培計(jì)劃”首批特聘專家，人大復(fù)印資料《小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》編委。

1992年獲江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽第一名，2000年獲全國小學(xué)數(shù)學(xué)觀摩課評(píng)比一等獎(jiǎng)。曾應(yīng)邀為全國第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)年會(huì)上觀摩課，在《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》等20余家刊物發(fā)表論文400余篇，應(yīng)邀到全國20多個(gè)省、市、區(qū)講學(xué)400余次。教育事跡在《人民教育》“名師人生”欄目作專題報(bào)道，《中國教育報(bào)》曾七次連載了“徐斌教育教學(xué)藝術(shù)系列報(bào)道”。出版專著《追尋無痕教育》《為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)》《推敲新課程課堂》《另類課堂》及“中國名師”系列教學(xué)光盤。其教育主張是無痕教育，課堂教學(xué)風(fēng)格穩(wěn)健厚實(shí)。

無痕，從字面上講，就是沒有痕跡，不留印記，一切如初?！昂邸北疽馐侵竸?chuàng)傷痊愈后留下的疤痕，也泛指斑跡。無痕，常被作為一種美學(xué)境界被眾多文人墨客所描繪。賈島《江亭晚望》：“鳥歸沙有跡，帆過浪無痕?！碧K軾《與潘郭二生出郊尋春》：“人似秋鴻來有信，事如春夢(mèng)了無痕?！倍鸥Φ摹洞阂瓜灿辍犯敲枥L了一幅無痕美景：“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲?！?/p>

無痕被用于教育，早已有之。無痕教育，是指“把教育意圖與目的隱蔽起來，通過間接、暗示或迂回的方式，給學(xué)生以教育的一種教育方式”（盧克謙《無痕教育：具有美學(xué)韻味的教育方式》）。無痕教育的提出，雖來源于德育領(lǐng)域，但其所彰顯出來的人性化和科學(xué)性光輝，足可以指導(dǎo)一切學(xué)科教學(xué)行為。蘇霍姆林斯基曾說，“造成教育青少年困難的最重要原因，在于把教育目的在學(xué)生面前以赤裸裸的形式進(jìn)行”“把教育意圖隱蔽起來，是教育藝術(shù)十分重要的因素之一”。杜威在論述什么是教育時(shí)指出：“一切教育都是通過個(gè)人參與人類的社會(huì)意識(shí)而進(jìn)行的。這個(gè)過程幾乎是出生時(shí)就在無意識(shí)中開始了?！薄坝捎谶@種不知不覺的教育，個(gè)人便漸漸分享人類曾經(jīng)積累下來的智慧和道德的財(cái)富?！睙o痕教育不僅是一種教育方式，更是一種教育思想，是一種教育心理學(xué)的規(guī)律和原則，是一種教育的美學(xué)和哲學(xué)境界，是一種對(duì)教育本原的追尋。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何實(shí)施“無痕教育呢”？筆者以“解決問題的策略”的教學(xué)為例，談幾點(diǎn)體會(huì)。

一、不知不覺中開始

讓學(xué)生在不知不覺中開始學(xué)習(xí)，是無痕教育追尋的基本境界。不知不覺中開始，從教育心理學(xué)角度看，是確立合適的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，即明確學(xué)生“現(xiàn)在在哪里”。有了對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體把握，就有了對(duì)學(xué)生原有認(rèn)知與學(xué)習(xí)狀態(tài)的準(zhǔn)確了解，就有了對(duì)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)與思維體驗(yàn)的適度掌握。有了這樣的教學(xué)前提，就能夠進(jìn)一步明確把學(xué)生“將要帶向哪里”以及“如何走向那里”，從而無痕地將學(xué)生引向新知的邊緣，讓學(xué)生對(duì)新知學(xué)習(xí)的需求油然而生。

【案例1】《解決問題的策略：一一列舉》的課堂引入

師：請(qǐng)看，在我們?nèi)粘Ｉ町?dāng)中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的現(xiàn)象——飛鏢游戲，玩過嗎？

生：玩過。

師：這是飛鏢的靶子，如果讓我們?nèi)嗝咳硕紒硗兑荤S，大家有可能得多少環(huán)呢？

生：有可能是10環(huán)，8環(huán)，6環(huán)。

師：（相應(yīng)板書）還有其他可能嗎？

生：可能是0環(huán)。

師：對(duì)，可能連靶子都沒有射上，那就是0環(huán)。

師：這些都是可能的結(jié)果，現(xiàn)在老師把它們都——

生：列舉出來了。

師：說得很好?。ò鍟毫信e）列舉就是一種策略，那剛才為什么要把它們列舉出來呢？

生：我覺得應(yīng)該是要知道它一共有多少種可能。

師：對(duì)，把每一種可能都列出來，那不是一般的列舉，叫作一一列舉。今天這堂課，我們就來學(xué)習(xí)一一列舉的策略。

上述教學(xué)片段，從學(xué)生十分熟悉的飛鏢游戲引入，從探索“每人都投一次，可能得多少環(huán)”這一問題入手，讓學(xué)生從生活現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，從而引出“一一列舉”的策略。這樣的新課引入，學(xué)生似乎在回憶生活經(jīng)歷，又似乎在體驗(yàn)游戲活動(dòng)，又似乎在探尋數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)生在不知不覺中自然地把生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)方法聯(lián)系起來，從而生發(fā)出對(duì)一一列舉策略的探究欲望。

可見，在課堂學(xué)習(xí)的起始階段，從學(xué)生熟悉的生活問題出發(fā)，讓學(xué)生捕捉數(shù)學(xué)信息，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，提出數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生了解知識(shí)的產(chǎn)生源頭，能溝通起數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，為數(shù)學(xué)模型的建立打下現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。

二、潛移默化中理解

“教是為了更好地學(xué)?！睂?duì)知識(shí)和方法的理解是學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)。小學(xué)階段，兒童的認(rèn)知水平處于皮亞杰指出的“具體運(yùn)算思維”階段，其最大特點(diǎn)是思維離不開具體事物的支持，這也導(dǎo)致小學(xué)生的感知覺、觀察力和記憶均處于初步發(fā)展水平，其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)和興趣很不穩(wěn)定。在這樣的前提之下，兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，需要充分借助形象直觀的教學(xué)手段，充分利用新舊知識(shí)的相互作用，以順應(yīng)兒童的學(xué)習(xí)心理，讓兒童在不露痕跡中獲得新知，在潛移默化中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【案例2】《解決問題的策略：替換》的建模過程

例題：小明把720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M。小杯的容量是大杯的。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

變式：小明把720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M。大杯的容量比小杯多20毫升。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

結(jié)合學(xué)生的探索逐步完成板書：

1+6720+620]

師：變式題與剛才的例題在解法上有什么不同？

生1：替換依據(jù)不同。例題中，兩個(gè)數(shù)量是倍數(shù)關(guān)系；變式題中，兩個(gè)數(shù)量是相差關(guān)系。

生2：替換后的總量不同。例題中，替換后總量還是720毫升；變式題中，替換之后的總量發(fā)生了變化，變多了或者變少了。

師：是??！由于替換的依據(jù)不同，替換后的總量會(huì)不一樣。如果我們觀察替換前后杯子的個(gè)數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：倍數(shù)關(guān)系的替換，替換之后杯子的總個(gè)數(shù)變化了。

生2：相差關(guān)系的替換，替換之后杯子的總個(gè)數(shù)沒有變化。

師：同學(xué)們觀察得真仔細(xì)！數(shù)學(xué)就是這么奇妙！在變與不變中存在著內(nèi)在的聯(lián)系。

上述案例在幫助學(xué)生理解和建立替換策略的數(shù)學(xué)模型時(shí)，首先讓學(xué)生分別探索和經(jīng)歷了倍數(shù)關(guān)系和相差關(guān)系的替換過程，然后對(duì)兩種典型替換進(jìn)行對(duì)比，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種替換的異同點(diǎn)，并溝通起兩種關(guān)系替換的內(nèi)在聯(lián)系，對(duì)替換策略的數(shù)學(xué)模型有深入的認(rèn)識(shí)，促進(jìn)學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。這樣的學(xué)習(xí)過程，不是把解題策略灌輸和傳遞給學(xué)生，而是讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐與自主探索、觀察對(duì)比與聯(lián)系內(nèi)化，在潛移默化中理解替換策略的本質(zhì)，并對(duì)兩種典型的替換類型有深刻的認(rèn)識(shí)。

可見，學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的過程，一方面需要讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和符號(hào)分析問題，另一方面也需要讓學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的同時(shí)獲得結(jié)構(gòu)化的理解。因此，數(shù)學(xué)模型的建立過程，需要讓學(xué)生充分經(jīng)歷、體驗(yàn)和探索，在潛移默化中獲得對(duì)模型豐富性和深刻性的認(rèn)識(shí)。

三、循序漸進(jìn)中掌握

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，既是在教師引導(dǎo)下的意義建構(gòu)過程，也是在自身需求發(fā)展中的自主建構(gòu)過程。無痕教育視野下的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，更主要地體現(xiàn)為教師精心設(shè)計(jì)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)程，從某種意義上說是一種“進(jìn)”與“退”的藝術(shù)。通過適當(dāng)?shù)摹巴恕焙捅匾摹斑M(jìn)”，能使學(xué)習(xí)過程成為學(xué)生潛移默化地掌握知識(shí)和技能的過程。在課堂上，“進(jìn)”“退”之間體現(xiàn)的是一種行云流水般的從容節(jié)奏，是一種水乳交融般的無痕狀態(tài)。

【案例3】《解決問題的策略：畫圖》的練習(xí)片段

原題——“張莊小學(xué)原來有一個(gè)長方形操場(chǎng)，長50米，寬40米?！弊寣W(xué)生首先在腦中畫圖，然后逐步變化條件和問題，不斷讓學(xué)生腦中畫圖猜測(cè)，并在紙上畫圖驗(yàn)證結(jié)果。

變式之一：“在修建時(shí)，長增加8米，面積增加多少平方米？”學(xué)生很快在腦中畫圖，甚至不需要在紙上畫圖，即可用手勢(shì)比劃出圖像（圖1），并列出算式40×8=320（平方米）。

變式之二：“在修建時(shí)，寬增加8米，面積增加多少平方米？”有了前面的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生更加熟練地腦中畫圖（圖2），并列式解決問題50×8=400（平方米）。

變式之三：“在修建時(shí)，長和寬各增加8米，變成新的長方形。面積增加多少平方米？”老師剛出示完題目，不少學(xué)生即快速搶答：“面積增加720平方米，列式是320+400=720?！?/p>

在學(xué)生畫圖列式之后，教師再次提出：經(jīng)過頭腦里畫圖猜想和在紙上畫圖驗(yàn)證，大家發(fā)現(xiàn)面積增加的部分是720平方米嗎？這是什么緣故呢？同時(shí)結(jié)合學(xué)生的畫圖進(jìn)行展示和解釋，從而突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)（從圖3逐漸演變?yōu)閳D5）。 有了以上三次變式，學(xué)生積極性高漲，對(duì)畫圖策略的探索興趣更濃，教師繼續(xù)出示了以下三次變式：

變式之四——“修建時(shí)，長和寬各減少8米，操場(chǎng)的面積減少多少平方米？”

變式之五——“修建時(shí)，長增加8米，寬減少8米，面積改變嗎？為什么？”

變式之六——“修建時(shí)，長減少8米，寬增加8米，面積改變嗎？為什么？”

以上教學(xué)設(shè)計(jì)和組織，讓學(xué)生邊畫圖邊思考，邊猜測(cè)邊驗(yàn)證，邊對(duì)比邊討論，不斷發(fā)展學(xué)生的幾何直觀水平，使學(xué)生不斷體驗(yàn)到畫圖策略的價(jià)值所在。這種一題多變的方式，緊緊圍繞畫圖策略，讓學(xué)生不斷猜測(cè)、驗(yàn)證、聯(lián)想、推理，經(jīng)歷不同情形下的數(shù)形變化過程，探究圖形變化中的內(nèi)在規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中逐步積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在運(yùn)用畫圖策略解決實(shí)際問題的過程中深入探索變化規(guī)律，享受數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的快樂。

可見，“進(jìn)”與“退”的過程，是學(xué)生潛移默化地掌握知識(shí)技能的過程，是學(xué)生不露痕跡中培養(yǎng)思維能力的過程，是學(xué)生淡墨無痕中發(fā)展數(shù)學(xué)思維的過程。從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)教學(xué)的智慧就在于教師能在“進(jìn)”與“退”之間游刃有余。

四、春風(fēng)化雨中提升

課堂是師生人生中一段重要的生命經(jīng)歷，課堂是充滿無限魅力的地方，課堂是學(xué)生充分發(fā)展的天空。無痕教育理念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)課堂，是學(xué)生享受教師服務(wù)的過程，也是學(xué)生自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)發(fā)展的過程。這樣的過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)歷應(yīng)是充實(shí)快樂的，學(xué)習(xí)結(jié)果是充分有效的，學(xué)習(xí)過程是充滿智慧的。理想的課堂教學(xué)過程，似雪落春泥，悄然入土，孕育和滋潤著生命。雖無痕，卻有聲有色，有滋有味；雖無痕，卻如歌如樂，如詩如畫。

【案例4】《解決問題的策略：轉(zhuǎn)化》的新知展開

（1）回顧公式推導(dǎo)的經(jīng)歷。

啟發(fā)思考：其實(shí)，在我們小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，比如說一些圖形面積公式、體積公式的推導(dǎo)，就常常用到轉(zhuǎn)化的策略，你們能想起來嗎？

反饋交流（根據(jù)學(xué)生的回答，課件相機(jī)呈現(xiàn)公式的推導(dǎo)過程）。

（2）感受轉(zhuǎn)化策略的作用。

回顧：我們?cè)谕茖?dǎo)平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式時(shí)，是先知道哪個(gè)圖形的面積計(jì)算公式的？接下來我們是如何研究圖形之間的面積關(guān)系的？我們又是把哪些圖形轉(zhuǎn)化成平行四邊形（三角形、梯形）的？長方體、圓柱和圓錐的體積計(jì)算公式呢？

感受：在剛才應(yīng)用轉(zhuǎn)化策略推導(dǎo)出這些公式時(shí)，你們發(fā)現(xiàn)它們都有什么共同的特點(diǎn)？（轉(zhuǎn)化前這些問題都是我們面臨的新問題，而我們都是把它轉(zhuǎn)化成曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的舊知識(shí)。）

（3）拓展轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用。

想一想：在學(xué)習(xí)認(rèn)數(shù)和計(jì)算時(shí)，哪些地方用到過轉(zhuǎn)化的策略呢？

練一練：計(jì)算+++。

提問：你能運(yùn)用轉(zhuǎn)化的策略來解決這一問題嗎？

上述案例中，主要從三個(gè)層面讓學(xué)生經(jīng)歷轉(zhuǎn)化策略的形成過程：（1）圖形面積、體積方面的應(yīng)用；（2）圖形周長、內(nèi)角和方面的應(yīng)用；（3）數(shù)與計(jì)算方面的應(yīng)用。在轉(zhuǎn)化策略的形成過程中，遵循學(xué)生的心理規(guī)律，逐步深入展開，首先讓學(xué)生經(jīng)歷直觀的單一圖形的轉(zhuǎn)化，接著讓學(xué)生經(jīng)歷形與形之間的轉(zhuǎn)化，然后再讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)與計(jì)算方面的轉(zhuǎn)化。不同層面的轉(zhuǎn)化策略，思維含量是不一樣的，分類讓學(xué)生經(jīng)歷轉(zhuǎn)化策略的形成過程，符合學(xué)生“感知—表象—抽象”的認(rèn)知規(guī)律。

可見，建立數(shù)學(xué)模型之后，為了讓學(xué)生對(duì)初建模型有充分的感性積累，應(yīng)該讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決同類數(shù)學(xué)問題，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)模型的深刻理解，形成初步運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的相關(guān)技能，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為進(jìn)一步解決實(shí)際問題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。?