葛浩亮

一、 剖析中考題

（2015·江蘇常州）如圖1是根據(jù)某公園的平面示意圖建立的平面直角坐標(biāo)系，公園的入口位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，古塔位于點(diǎn)A（400，300），從古塔出發(fā)沿射線OA方向前行300 m是盆景園B，從盆景園B向左轉(zhuǎn)90°后直行400 m到達(dá)梅花閣C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________.

【思路分析】“盆景園B向左轉(zhuǎn)90°后直行400 m到達(dá)梅花閣C”，由這個(gè)條件可得：∠CBO=90°，于是，我們應(yīng)該要想到構(gòu)造“K”字型相似.過點(diǎn)B作BE⊥x軸，交x軸于E，過點(diǎn)C作CF∥x軸，交EB于點(diǎn)F，把“K”字型構(gòu)造出來，可得出△CFB∽△BEO，利用相似的比例式可得答案.

解：過點(diǎn)B作BE⊥x軸，交x軸于E，過點(diǎn)C作CF∥x軸，交EB延長線于點(diǎn)F.

∵A（400，300），

∴OA=500（m），∴OB=800（m）.

∵BE⊥x軸，∴∠BEO=90°，

∴∠BEO=∠ADO，

∵∠BOE=∠AOD，∴△BOE∽△AOD，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴BE=480（m），OE=640（m）.

∵∠BEO=90°，∴∠BOE+∠OBE=90°.

∵∠CBO=90°，∴∠OBE+∠CBF=90°，

∴∠BOE=∠CBF.

∵CF∥x軸，∴∠BEO+∠CFB=180°，

∴∠CFB=90°，∴∠CFB=∠BEO，

∴△CFB∽△BEO，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴CF=240（m），BF=320（m），

∴C（400，800）.

二、 模型再現(xiàn)

“K”字型相似基本圖形1

已知：B，C，E三點(diǎn)共線，∠B=∠ACD=∠E=90°.試說明：△ABC∽△CED.

【思路分析】核心條件1：B，C，E三點(diǎn)共線；

核心條件2：∠B=∠ACD=∠E=90°.

基本圖形1是“K”字型相似問題中的一種特殊模型，解決此類問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)“三點(diǎn)一線”（B，C，D三點(diǎn)共線），“三角相等”（∠B=∠ACD=∠E=90°）.

“K”字型相似基本圖形2

已知：B，D，C三點(diǎn)共線，∠B=∠EDF=∠C=α.試說明：△BDE∽△CFD.

【思路分析】核心條件1：B，D，C 三點(diǎn)共線；

核心條件2：∠B=∠EDF=∠C=α.

基本圖形2是“K”字型相似問題的一般模型，同樣是要發(fā)現(xiàn)“三點(diǎn)一線”（B，C，D三點(diǎn)共線），“三角相等”（∠B=∠EDF=∠C=α）.

我們通常也將“K”字型稱為一線三等角型或三角一線型.

三、 以三角形為載體

（2008·福建福州）如圖4，△ABC是邊長為6 cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1 cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2 cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）.作QR∥BA交AC于點(diǎn)R，連接PR，當(dāng)t為何值時(shí)，△APR∽△PRQ？

【思路分析】核心條件1：動(dòng)點(diǎn)P沿AB勻速運(yùn)動(dòng)；

核心條件2：∠A=∠B=∠RPQ=60°.

由△APR∽△PRQ可得∠RPQ=∠A=60°，由QR∥BA可得△CRQ是等邊三角形及其各線段的長度為（6-2t） cm，由∠A=∠B=∠RPQ=60°可得△APR∽△BQP，利用相似的比例式可解得t=1.2.

四、 以平行線為載體

已知：直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，線段AB的兩端點(diǎn)分別在直線l1、l3上并與l2相交于點(diǎn)E，若以線段AB為一邊作正方形ABCD，C、D兩點(diǎn)恰好分別在直線l4、l2上，則sinα=________.

【思路分析】核心條件：由∠ADC=90°構(gòu)造“K”字型.

過點(diǎn)D作DF⊥l1交于點(diǎn)F，延長FD交l4于點(diǎn)G，可證得△ADF≌△DGC，可得AF=DG=4，于是AD=2 ，所以sinα= .

五、 以矩形為載體

（2012·天津節(jié)選）已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP.設(shè)BP=t.

（Ⅱ） 如圖7，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）.

【思路分析】（Ⅱ） 核心條件1：

P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，B′落在直線PC′上；

核心條件2：

∠OBP=∠OPQ=∠PCQ=90°.

可得△OBP∽△PCQ，利用相似的比例式可得：m= t2- t+6（0

（Ⅲ） 先得結(jié)論：PC′=PC=OC′=11-t，

核心條件1：B′落在直線PC′上，C′落在直線OA上；

核心條件2：∠PC′Q=∠C′AQ=90°.

作PE⊥x軸交x軸與點(diǎn)E，可得△PEC′∽△C′AQ，利用相似的比例式可得m=- t2+ t，由（Ⅱ）可得方程：- t2+ t= t2- t+6，解之得：x= ，

所以點(diǎn)P ，6.

通過以上的探索發(fā)現(xiàn)，“K”字型的相似在其基本模型中，可以加入不同的載體，比如三角形、平行線、矩形和動(dòng)態(tài)幾何等，可無論如何變化，其本質(zhì)都離不開“三點(diǎn)一線，三角相等”.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)薛埠中學(xué)）