高萍

經過七八年級的學習，我們會發(fā)現(xiàn)，方程思想實在是中學數(shù)學的解題利器，尤其是在有計算需要的時候，如解決實際問題，在圖形中求線段長度、求角度等.解決實際問題時，我們借助線段圖、關系句等方式尋找等量關系來列方程，在圖形中求角度時我們根據(jù)多邊形內角和及角的和差積商關系來列方程，求長度時用得較多的則是根據(jù)勾股定理來列方程.現(xiàn)在我們學了相似，又有了一個新的列方程的好幫手了.

一、 利器初體驗

例1 如圖1，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8.將△ABC沿DE折疊，使點C落在AB邊上的C′處，并且C′D∥AC，則CD的長是多少？

【分析】由C′D∥AC可知△BC′D∽△BAC，則有 = ，設CD=x，可依據(jù)此比例式列方程.

解：由勾股定理易得BC=10，設CD=x，則BD=10-x，由題意可知C′D=CD=x，

∵C′D∥AC，∴△BC′D∽△BAC，

∴ = ，即 = ，

解得x= ，即CD= .

二、 利器顯神威

1. 利用兩個三角形相似得到的比例式來表示相關的量，借助其他等量關系列方程.

例2 如圖2，已知在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點在AC上（與A、C不重合），Q在BC上.當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長.

【分析】可利用“△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等”來列方程，關鍵是表示出△PQC與四邊形PABQ的周長，相似三角形可以來幫忙.

解：∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，

∴ = = ，

設CP=x，則 = = ，

則CQ= ，PQ= ，AP=4-x，QB=3- ，

由△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等可得：

x+ =（4-x）+3- +5，

解之得x= ，∴CP= .

【小貼士】也可設 = = =k，即 = = =k，則CP=4k，CQ=3k，PQ=5k，AP=4-4k，BQ=3-3k.你能列出方程并求出CP嗎？是不是比上面的設法更易計算？在比例式中我們常用這種設法哦！

【考考你】如果沒有“△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等”這一條件，只用相似能求出CP嗎？滿足怎樣的條件才能僅利用相似求出CP的長？

【悄悄告訴你】相似的兩個三角形至少各知道一條邊，才可能僅利用它們的相似求出三角形各邊.否則，就需要有其他相關的等量關系來幫忙.

2. 一組相似不夠用，連環(huán)相似來幫忙.

例3 如圖3，在平面直角坐標系中，有Rt△ABC，∠ACB=90°，其中A（-1，0），B（4，0），C（0，2）.若△PBC∽△COA，求P點的坐標.

【分析】要求P點的坐標，可作PD⊥x軸，求出PD、BD即可知P點坐標.由題意易得△PBD∽△CAO，但△PBD一條邊都不知道，無法僅利用這一組相似求出PD、BD.觀察發(fā)現(xiàn)邊PB同時也在另一組相似三角形中，可利用△PBC∽△COA先求出PB，問題即迎刃而解.

你能試一試嗎？

【答案】①勾股定理求出BC=2 ，②依據(jù)△PBC∽△COA求出BP=4 ，③依據(jù)△PBD∽△CAO求出BD=4，PD=8，P（8，8）.

3. 一組相似不夠用，構造相似來幫忙.

例4 如圖4，在平面直角坐標系中，有Rt△ABC，∠ACB=90°，其中A（-1，0），B（4，0），C（0，2）.若△BPC∽△COA，求P點的坐標.

【分析】依據(jù)條件中的相似可以求出PC、PB的長，也易得∠CPB是直角，但看不出P點的坐標.要求P點坐標，通常需向坐標軸作垂線.這里顯然向y軸作垂線更合適（想一想，為什么？）.但△PMC不能證明與圖中的某個三角形相似，這時可以利用“一線三等角”模型，構造出相似三角形——過點B作x軸的垂線，與MP的延長線交于點N.此時△PMC∽△BNP，設MP=x，可表示出NP和MC，在Rt△PMC中，利用勾股定理列方程求出x，則問題得解.

比上一題復雜哦，你還敢試試嗎？

【答案】①勾股定理求出BC=2 ，

②依據(jù)△BPC∽△COA，可求出PC=2，PB=4，∠CPB=∠AOC=90°，

③證明△PMC∽△BNP，

④設MP=x，則NP=4-x，依據(jù)△PMC∽△BNP，可得 = ，即 = ，可表示出MC= ，

⑤在Rt△PMC中，根據(jù)勾股定理可得 2+x2=22，解得x= ，可求出MC= ，MO= ，P ， .

怎么樣，你做對了嗎？看起來，有了相似這片“綠葉”，方程思想方法顯示出更大的威力了呢！

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)第三中學）