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        相似圖形中的數(shù)學(xué)思維方式

        2015-09-10 07:22:44馬國建
        初中生世界·九年級 2015年12期
        關(guān)鍵詞:周長三角形方程

        馬國建

        不少同學(xué)升入初中后不適應(yīng)初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),普遍感到上課老師講的知識能聽懂、能學(xué)會,就是課后不會做題、找不到解題方法.

        這就需要我們必須重視數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí),諸如分類討論、方程思想、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等,通過數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)使數(shù)學(xué)和生活中的一些問題可以類比成為“可以理解的”“可以學(xué)到手的”一些題型,從而建立有效的數(shù)學(xué)模型,以思想方法的分析帶動具體知識的學(xué)習(xí).

        一、 對應(yīng)點(diǎn)對應(yīng)邊的思維方式

        例1 如圖1,點(diǎn)D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn),連接BD,已知∠ABD=∠C,AB=6,AD=4,求線段CD的長.

        【解析】在△ABD和△ACB中,∠ABD=∠C,∠A=∠A.

        ∴△ABD∽△ACB,∴ = ,

        ∵AB=6,AD=4,

        ∴AC=9,則CD=AC-AD=9-4=5.

        【點(diǎn)評】數(shù)學(xué)是一門具有較強(qiáng)的系統(tǒng)性和邏輯性的學(xué)科.數(shù)學(xué)本身的知識間的內(nèi)在聯(lián)系是很緊密的,各部分知識都不是孤立的,而是一個結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的整體.由于全等圖形是特殊的相似圖形,只是在形狀相同的基礎(chǔ)上規(guī)定了大小也相等,所以形狀相同就有對應(yīng)邊之比相等,那么我們可以類比到相似圖形應(yīng)該具備這個特征,從而實(shí)現(xiàn)用相似三角形對應(yīng)邊之比相等的思維方式解題.

        二、 分類的思維方式

        例2 如圖2,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn),若△PAD與△PBC是相似三角形,則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)是( ).

        A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

        【解析】∵AB⊥BC,∴∠B=90°.

        ∵AD∥BC,∴∠A=180°-∠B=90°,

        ∴∠PAD=∠PBC=90°.

        AB=8,AD=3,BC=4,

        設(shè)AP的長為x,則BP長為8-x.

        若AB邊上存在P點(diǎn),使△PAD與△PBC相似,那么分兩種情況:

        ①若△APD∽△BPC,則 = ,即 = ,解得x= ;

        ②若△APD∽△BCP,則 = ,即 = ,解得x=2或x=6.

        ∴滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)是3個,故選C.

        【點(diǎn)評】兩個三角形相似,但是不知道是哪些對應(yīng)邊之比相等,這個時候就應(yīng)該用分類的思想方法進(jìn)行分類討論,但要做到利用科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn),從而達(dá)到不重復(fù)不遺漏的目的.

        三、 方程的思維方式

        例3 如圖3,若 = = .(1) △ABC與△ADE的周長和為40 cm,求△ABC的周長;(2) 四邊形BDEC的面積為80 cm2,求△ADE的面積.

        【解析】設(shè)△ABC的周長為x cm,△ADE的周長為y cm.

        因?yàn)?= = ,∠A=∠A,

        所以△ABC∽△ADE,相似比k= ,

        根據(jù)題意,得 = ,x+y=40,

        解這個方程組,得x=15,y=25.

        (2) 設(shè)△ABC的面積為S1平方厘米,△ADE的面積為S2平方厘米.

        根據(jù)相似三角形性質(zhì),有 = ,S2-S1=80,

        解這個方程組,得S1=45,S2=125.

        【點(diǎn)評】該題利用相似三角形的知識,不失時機(jī)地構(gòu)造方程模型,再用方程或方程組的有關(guān)原理解決問題.方程的思維方式是將圖形中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為方程加以解決.方程思維方式在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位,在數(shù)學(xué)解題中所占的比例較大,綜合性廣,題型多,應(yīng)用靈活,特別是在利用三角形的相似進(jìn)行有關(guān)的計算時,我們通常構(gòu)造方程模型來求解.

        (作者單位:江蘇省常州市金壇區(qū)第五中學(xué))

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