馬國建

不少同學(xué)升入初中后不適應(yīng)初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，普遍感到上課老師講的知識能聽懂、能學(xué)會，就是課后不會做題、找不到解題方法.

這就需要我們必須重視數(shù)學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)，諸如分類討論、方程思想、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等，通過數(shù)學(xué)方法的學(xué)習(xí)使數(shù)學(xué)和生活中的一些問題可以類比成為“可以理解的”“可以學(xué)到手的”一些題型，從而建立有效的數(shù)學(xué)模型，以思想方法的分析帶動具體知識的學(xué)習(xí).

一、 對應(yīng)點(diǎn)對應(yīng)邊的思維方式

例1 如圖1，點(diǎn)D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求線段CD的長.

【解析】在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A.

∴△ABD∽△ACB，∴ = ，

∵AB=6，AD=4，

∴AC=9，則CD=AC-AD=9-4=5.

【點(diǎn)評】數(shù)學(xué)是一門具有較強(qiáng)的系統(tǒng)性和邏輯性的學(xué)科.數(shù)學(xué)本身的知識間的內(nèi)在聯(lián)系是很緊密的，各部分知識都不是孤立的，而是一個結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的整體.由于全等圖形是特殊的相似圖形，只是在形狀相同的基礎(chǔ)上規(guī)定了大小也相等，所以形狀相同就有對應(yīng)邊之比相等，那么我們可以類比到相似圖形應(yīng)該具備這個特征，從而實(shí)現(xiàn)用相似三角形對應(yīng)邊之比相等的思維方式解題.

二、 分類的思維方式

例2 如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)是（ ）.

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

【解析】∵AB⊥BC，∴∠B=90°.

∵AD∥BC，∴∠A=180°-∠B=90°，

∴∠PAD=∠PBC=90°.

AB=8，AD=3，BC=4，

設(shè)AP的長為x，則BP長為8-x.

若AB邊上存在P點(diǎn)，使△PAD與△PBC相似，那么分兩種情況：

①若△APD∽△BPC，則 = ，即 = ，解得x= ；

②若△APD∽△BCP，則 = ，即 = ，解得x=2或x=6.

∴滿足條件的點(diǎn)P的個數(shù)是3個，故選C.

【點(diǎn)評】兩個三角形相似，但是不知道是哪些對應(yīng)邊之比相等，這個時候就應(yīng)該用分類的思想方法進(jìn)行分類討論，但要做到利用科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而達(dá)到不重復(fù)不遺漏的目的.

三、 方程的思維方式

例3 如圖3，若 = = .（1） △ABC與△ADE的周長和為40 cm，求△ABC的周長；（2） 四邊形BDEC的面積為80 cm2，求△ADE的面積.

【解析】設(shè)△ABC的周長為x cm，△ADE的周長為y cm.

因?yàn)?= = ，∠A=∠A，

所以△ABC∽△ADE，相似比k= ，

根據(jù)題意，得 = ，x+y=40，

解這個方程組，得x=15，y=25.

（2） 設(shè)△ABC的面積為S1平方厘米，△ADE的面積為S2平方厘米.

根據(jù)相似三角形性質(zhì)，有 = ，S2-S1=80，

解這個方程組，得S1=45，S2=125.

【點(diǎn)評】該題利用相似三角形的知識，不失時機(jī)地構(gòu)造方程模型，再用方程或方程組的有關(guān)原理解決問題.方程的思維方式是將圖形中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為方程加以解決.方程思維方式在數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，在數(shù)學(xué)解題中所占的比例較大，綜合性廣，題型多，應(yīng)用靈活，特別是在利用三角形的相似進(jìn)行有關(guān)的計算時，我們通常構(gòu)造方程模型來求解.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)第五中學(xué)）