陳正亮

一、 選擇題

1. 在相同時刻的物高與影長成比例，如果高為1.5 m的測桿影長為2.5 m，那么影長為30 m的旗桿的高是（ ）.

A. 20 m B. 16 m C. 18 m D. 15 m

2. 如圖，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點，CM的延長線交AB于點N，則S△DMN∶

S四邊形DBCM等于（ ）.

A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶15 D. 1∶16

3. 如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK，其中②～⑥中與三角形①相似的是（ ）.

A. ②③④ B. ③④⑤ C. ④⑤⑥ D. ②③⑥

4. 如圖，在正三角形ABC中，D、E、F分別是BC，AC，AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于（ ）.

A. 1∶3 B. 2∶3 C. ∶2 D. ∶3

5. 一張等腰三角形紙片，底邊長15 cm，底邊上的高長22.5 cm.現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3 cm的矩形紙條，如圖所示.已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是（ ）.

A. 第4張 B. 第5張 C. 第6張 D. 第7張

6. 如圖，△ABC中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標(biāo)是（-1，0）.以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長放大到原來的2倍，設(shè)點B的對應(yīng)點B′的橫坐標(biāo)是a，則點B的橫坐標(biāo)是（ ）.

A. - a B. - （a+1） C. - （a-1） D. - （a+3）

二、 填空題

7. 已知點C為線段AB的黃金分割點且AB=2，則AC≈________.（精確到0.1）

8. 在？荀ABCD中，點E在DC上，若DE∶EC=1∶2，則BF∶BE=________.

9. 如圖，在矩形ABCD中，由8個面積均為1的小正方形組成的L型模板按如圖所示的位置放置，則矩形ABCD的周長為________.

10. 如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，直線EF∥BD，交AB于點E，交AC于點G，交AD于點F，若S△AEG= S四邊形EBCG， =________.

11. 如圖，O為矩形ABCD的中心，M為BC邊上一點，N為DC邊上一點，ON⊥OM.若AB=6，AD=4，設(shè)OM=x，ON=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為_______________.

12. 如圖，正方形OEFG和正方形ABCD是位似圖形，點F的坐標(biāo)為（-1，1），點C的坐標(biāo)為（-4，2），則這兩個正方形的位似中心的坐標(biāo)是_________________.

三、 解答題

13. 如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD與AE、AF分別相交于G、H.

（1） 試說明：△ABE∽△ADF；

（2） 若AG=AH，求證：四邊形ABCD是菱形.

14. 如圖，已知銳角△ABC，AD、CE分別是BC、AB邊上的高，△ABC和△BDE的面積分別是27和3，DE=6 ，求：點B到直線AC的距離.

15. 如圖，在△ABC中，AB=AC=8，BC=10，D是BC邊上的一個動點，點E在AC邊上，且∠ADE=∠C.

（1） 試說明：△ABD∽△DCE；

（2） 如果BD=x，AE=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的范圍；

（3） 當(dāng)點D是BC的中點時，試說明△ADE是什么三角形，并說明理由.

16. 如圖，在矩形OABC中，OA=1，OC=2，反比例函數(shù)y= 的圖像交邊AB，BC于D，E兩點，∠DOE=45°.求k的值.

參考答案

1. C 提示：物高∶影長=1.5∶2.5=3∶5，當(dāng)影長為30 m時，旗桿高18 m.

2. C 提示：∵DE是中位線，M是DE的中點，∴△NDM∽△NBC，相似比為1∶4，∴面積比1∶16.故選C.

3. B 提示：分別計算每個三角形三邊的長度比為1∶ ∶ 即與①三角形相似.

4. A 提示：△AEF≌△CDE≌BFD，△ABC∽△EFD.又∵∠B=60°，∴FB=2BD，F(xiàn)D= BD，∴AB=3BD，∴面積比為1∶3.

5. C 提示：設(shè)n張矩形紙條，由正方形紙條可以得 = ，n=6.

6. D 提示：作BE⊥x軸于E，B′D⊥x軸于D，則△EBC∽△DB′C， 由位似比等于2可得B′C∶BC=DC∶EC=2，B′的橫坐標(biāo)為a，則DC=a+1，EC= （a+1），點B的橫坐標(biāo)為-1- （a+1）=- （a+3），故選D.

7. 1.2或0.8

8. 3∶5 提示：∵DE∶EC=1∶2，AB∥CE，∴EC∶CD=EC∶AB=2∶3，則BF∶BE=3∶5.

9. 8 提示：顯然△ABE≌△ECF∽△FDG，相似比2∶2∶1，設(shè)DG=a，DF=b，則FC=BE=2a，EC=AB=2b，∵AB=DC，∴2b=b+2a，即b=2a，在△GDF中，由勾股定理得a= ，則矩形周長為8 .

10. 1∶2 提示：S△AEG∶S四邊形EBCG=1∶3，可得S△AEG∶S△ABC=1∶4，又∵EF∥BD，∴△AEG∽△ABC，相似比為1∶2，即EG是中位線，則F為中點，又∵∠ACD=90°，∴CF∶AD=1∶2.

11. y= x 提示：過點O分別作OP⊥BC于P，OQ⊥CD于Q，易證△OMP∽△ONQ，相似比為3∶2，即x∶y=3∶2，得y= x.

12. - ， 和（2，0） 提示：∵正方形ABCD與正方形OEFG是位似圖形，邊長分別為2和1，∴位似比為2∶1.若位似圖形在位似中心兩側(cè)，不妨設(shè)點P1，作PH⊥x軸于點H，則PH∥CD∥EO，∴△CDP∽△EOP，∵ 點C坐標(biāo)為（-4，2），∴點P坐標(biāo)為- ， ；若位似圖形在位似中心同側(cè)，則△PFG∽△PCD，∴點P2坐標(biāo)為（2，0）.

13. （1） 在？荀ABCD中，∠ABE=∠ADF，∵ AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∴△ABE∽△ADF；

（2） ∵AG=AH，∴∠AGH=∠AHG，又∵△ABE∽△ADF，∴∠BAG=∠DAH，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴？荀ABCD是菱形.

14. ∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠BEC=∠ADB=90°.又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE，∴BE∶BC=BD∶BA，又∵∠B=∠B， ∴△EBD∽△CBA.∵S△ABC=27，S△BDE=3，∴面積比為9∶1，相似比為3∶1.又∵DE=6 ，∴AC=18 ，∴點B到直線AC的距離為 .

15. （1） 略；

（2） ∵AB=AC=8，BC=10，BD=x，AE=y，∴DC=10-x，EC=8-y，∴8∶x=（10-x）∶（8-y），∴y= x2- x+8（0

（3） 當(dāng)D為中點時，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∴∠CED=∠ADB=90°，即△ADE是直角三角形.

16. ∵點D和點E在反比例函數(shù)圖像上，∴k=OA·AD=OC·CE，∴AD=2EC.在OA上截取AM=AD=2x，在OC上截取CN=EC=x，則OM=1-2x，ON=2-x，顯然△ADM和△CEN是等腰直角三角形，DM=2 x，EN= x，∠DMO=∠ENO=135°，∠DOE=45°，設(shè)∠DOM=α，∠EON=45°-α，∴∠OEN=α=∠DOM，∴△MOD∽△NEO，∴DM·EN=2 x· x=（2-x）（1-2x），∴2x2+5x-2=0，∴x= （舍負(fù)），即：k=2x= .

（作者單位：江蘇省金壇華羅庚實驗學(xué)校）