賀晨

因式分解在初中數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中具有十分重要的作用，它是學(xué)生后續(xù)代數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。在已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)中，學(xué)生在學(xué)習(xí)完這部分內(nèi)容后，都能說出什么是因式分解，他們對因式分解概念本身和因式分解的具體操作幾乎不成問題，但很少有人問為什么要學(xué)習(xí)因式分解，它有何重要性。

數(shù)學(xué)教育理論認(rèn)為數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)該注重概念產(chǎn)生的背景、提出（引入）過程等環(huán)

節(jié)[1];數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)APOS理論模型認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行心理建構(gòu)的第一階段就是操作或活動(dòng)階段[2]，即在一定背景下引入概念;在教科書的演變過程中，因式分解內(nèi)容也從講解式發(fā)展到啟發(fā)式，尤其注重從實(shí)際的例子引入，以便學(xué)生理解[3]。不難看到，概念的背景和引入是概念教學(xué)非常重要的起步。至此，筆者將因式分解概念的背景介紹和引入作為備課的重點(diǎn)之一，讓學(xué)生通過這節(jié)課體會因式分解概念學(xué)習(xí)的必要性和重要性。

一、基于概念背景的因式分解教學(xué)設(shè)計(jì)

為更好地引入因式分解這一概念的背景，筆者進(jìn)行了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)片段：

二、基于概念背景的因式分解思考

筆者將課程的引入設(shè)計(jì)為以上三重思考，通過一些例子來滲透因式分解這一概念的必要性和重要性，讓學(xué)生在一個(gè)大的背景下學(xué)習(xí)因式分解概念。

1. 因式分解與學(xué)科內(nèi)容的邏輯關(guān)系

因式分解是對整式的一種變形，是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，它與整式乘法是互逆變形的關(guān)系。因式分解是后續(xù)學(xué)習(xí)分式、二次根式、一元二次方程、二次函數(shù)等知識的基礎(chǔ)，是解決整式恒等變形和簡便運(yùn)算問題的重要工具。因此，“思考1”的設(shè)計(jì)是想讓學(xué)生體會到因式分解和后續(xù)學(xué)習(xí)的密切關(guān)系。筆者選擇從分式化簡的角度來引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生通過和很容易想到了要想化簡，只需要將分子 寫成乘積的形式。

2. 因式分解與實(shí)際應(yīng)用

“思考2”展示了長方形草坪和長方體紙盒的設(shè)計(jì)問題：當(dāng)長方形草坪的面積一定時(shí)，如何設(shè)計(jì)它的長和寬，當(dāng)長方體包裝盒的體積一定時(shí)，如何設(shè)計(jì)它的長、寬、高。盡管這樣的設(shè)計(jì)不唯一，但學(xué)生通過12=4×3和ab=a ?b也容易想到將a2-b2寫成兩個(gè)式子乘積的形式，將a3+2a2b+ab2寫成三個(gè)式子乘積的形式，這樣的問題讓學(xué)生切實(shí)感受到生活中的一些實(shí)際問題也需要用到“將某個(gè)式子寫成乘積的形式”，同時(shí)讓學(xué)生感受因式分解有其幾何背景。

3. 因式分解與思維訓(xùn)練

在評課活動(dòng)中，老師們曾提到，“思考1”和“思考2”的設(shè)計(jì)是在他們意料之中的，但“思考3”的設(shè)計(jì)在他們意料之外。有老師問到，這樣的問題學(xué)生在學(xué)完本課之后能解決嗎？筆者認(rèn)為“思考3”的設(shè)計(jì)目的并不是讓學(xué)生一定會對n4+4進(jìn)行因式分解，而是想讓學(xué)生感受因式分解在數(shù)學(xué)史中的地位和作用，同時(shí)用這樣一個(gè)數(shù)學(xué)史的問題引起學(xué)生的興趣和思考，帶著這個(gè)問題學(xué)完本章，在章節(jié)結(jié)束時(shí)順其自然地解決這個(gè)問題。在實(shí)際授課過程中，筆者感受到學(xué)生對“思考1”和“思考2”的回答很流暢，而對“思考3”的回答就沒那么順暢了。筆者提示學(xué)生從具體的數(shù)入手計(jì)算，學(xué)生們行動(dòng)起來，并把得到的數(shù)進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，說明它是合數(shù)，也由此想到了是否能把n4+4也寫成一些式子乘積的形式。

三、小結(jié)

至此，學(xué)生已經(jīng)對“把某個(gè)式子寫成乘積形式”這一變形的印象非常深刻了，此時(shí)提出因式分解的概念便水到渠成。后續(xù)教學(xué)過程就是圍繞因式分解與整式乘法是互逆變形的關(guān)系歸納概括因式分解的概念，然后辨析概念，最后講解了一種因式分解的基本方法—提公因式法。在本課的最后，筆者又回到了課程起始的三個(gè)思考，學(xué)生恍然大悟，要解決這三個(gè)問題，其實(shí)就是對a2-b2、a3+2a2b+ab2和n4+4進(jìn)行因式分解。

整堂課下來，學(xué)生給筆者的感覺是他們多多少少體會到了學(xué)習(xí)因式分解概念的必要性，概念的產(chǎn)生也沒有那么突兀。這使筆者感到這樣的思考和備課是很有意義的?；仡櫼延袑W(xué)者、研究者對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的研究，我們看到，概念的背景和引入雖然只是概念教學(xué)的一部分，但它卻是概念教學(xué)非常重要的起步。在數(shù)學(xué)教科書的演變過程中，我們洞察到因式分解概念教學(xué)越來越注重從實(shí)際例子引入，從大的背景出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生思考，使概念在課堂中的產(chǎn)生順理成章。

概念的背景也許并不止這些，但只要教師在教學(xué)時(shí)或多或少地設(shè)計(jì)一些有關(guān)概念背景的教學(xué)并持之以恒，就能對學(xué)生的學(xué)習(xí)和教師的成長大有裨益。

參考文獻(xiàn)：

[1]李善良. 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)研究綜述[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2001（8）：19-22.

[2]鮑建生， 周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]. 上海： 上海教育出版社， 2009： 380.

[3]張偉， 代欽. 代數(shù)教科書中的“因式分解”沿革研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2011（4）： 94-97.

（作者單位：北京匯文中學(xué)）

（責(zé)任編輯：趙彩俠）