周興華 蔡宇清

“倍”是小學(xué)階段非常重要的一個概念，“倍的認(rèn)識”這節(jié)課便是認(rèn)識“倍”的概念的起始課，近些年來也倍受大家的追捧，在知網(wǎng)中以 “倍”作為關(guān)鍵詞進行檢索，會檢索到上千篇文章，可見它的受喜愛程度。為了對“倍的認(rèn)識”的教學(xué)有更好的認(rèn)識，筆者近期整理了一些文獻，通過對文獻資料的梳理，讓筆者對“倍”的教學(xué)研究再一次進行了思考。

一、教師眼中的“倍”

從眾多發(fā)表的文章中，我們可以發(fā)現(xiàn)，多數(shù)教師把“倍”看成是刻畫兩個量之間關(guān)系的一種表達(dá)方式，其數(shù)學(xué)核心思想是：用一個量去刻畫另一個量。“倍”代表著兩個數(shù)量間的比較關(guān)系，它產(chǎn)生的前提和基礎(chǔ)是兩者比較，而關(guān)鍵是要把其中一方以另一方為標(biāo)準(zhǔn)，分成相同的幾份。[1]“倍”是學(xué)生在刻畫兩個量之間關(guān)系的時候，第一次從絕對數(shù)量的比多少，到相對數(shù)量的關(guān)系的轉(zhuǎn)變。對于中高年級即將接觸到的“分?jǐn)?shù)”“百分?jǐn)?shù)”“比”甚至以后的函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，起著至關(guān)重要的作用。還有教師認(rèn)為：“倍”是刻畫兩個量之間關(guān)系的眾多表達(dá)方式中的一種，和其他的刻畫方式屬于同等位置，應(yīng)該和眾多的刻畫方式建立起聯(lián)系，并將“倍”的刻畫方式準(zhǔn)確地納入到表達(dá)關(guān)系這一知識體系當(dāng)中。

目前，從研究現(xiàn)狀來看，多數(shù)一線教師對“倍”的理解到了“關(guān)系”的層面，北京教育學(xué)院劉加霞老師認(rèn)為“倍”是從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)折點。小學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)主要是加法結(jié)構(gòu)和乘法結(jié)構(gòu)，而乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。乘法結(jié)構(gòu)不是指單一的認(rèn)識乘法，而是一個概念體系，基本概念是乘法與除法，與之相關(guān)的倍、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)、運算律甚至面積、體積、表面積、速度等概念和定律。[2]從現(xiàn)狀來看，從乘法結(jié)構(gòu)的角度去進一步研究“倍”未必不是一個新的研究方向，我們既可以從乘法結(jié)構(gòu)聚焦到“倍的認(rèn)識”，也可以從“倍的認(rèn)識”輻射到乘法結(jié)構(gòu)。

二、教師在教學(xué)時關(guān)注到了什么

（一）學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

美國著名認(rèn)知心理學(xué)家奧蘇伯爾說：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況去進行教學(xué)。”一線教師在“倍”的教學(xué)時，能從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，幫助學(xué)生建立新舊知識之間的聯(lián)系。教材中“倍”的概念是依據(jù)乘除法知識中“幾個幾”“份”的概念擴展而來的，通過兩個數(shù)量的比較，由“份”引出“倍”，使學(xué)生初步認(rèn)識“倍”的含義，這就是學(xué)生已經(jīng)具備了的認(rèn)識“倍”的基礎(chǔ)。[3]針對“倍”的意義理解，就是要讓學(xué)生對乘法意義中的“幾個幾”與新知“幾倍”形成關(guān)聯(lián)。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運用已有知識經(jīng)驗來認(rèn)識概念的本質(zhì)，建立新舊概念間的聯(lián)系，以促進知識的有效遷移。

（二）教學(xué)情境

北師大版教科書以快樂的動物為情境，通過問題串一步步引導(dǎo)學(xué)生對不同動物的只數(shù)進行比較，從而認(rèn)識“倍”的概念。人教版教科書則是讓學(xué)生在用小棒拼擺圖形的過程中建立“倍”的概念。在實際的教學(xué)中，教師進一步把它轉(zhuǎn)換成了各種各樣有趣的情境，有的以猜數(shù)游戲開始，有的先利用拍手歌激趣，有的是先動手?jǐn)[不同顏色的圖片再發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的問題，有的是比較不同事物的數(shù)量關(guān)系，有的是比較物體的長度關(guān)系，有的創(chuàng)設(shè)挑戰(zhàn)三個卡通人物帶來的數(shù)學(xué)問題的情境，等等。無論什么樣的問題情境，目的都是讓學(xué)生在其感興趣的情境中，獲得積極的情感體驗，在感受數(shù)學(xué)的魅力的同時掌握“倍”的概念。

（三）從關(guān)系入手，理解“倍”的意義

前文中提到，多數(shù)教師把“倍”看成是刻畫兩個量關(guān)系的一種表達(dá)方式。因此教師往往從研究關(guān)系入手，來理解“倍”的意義。例如北京海淀教研室的郭麗軍老師在教學(xué)時先出示3個紅圓片、3個黃圓片，問兩種圓片的數(shù)量有怎樣的關(guān)系？然后增加3個黃圓片，再讓學(xué)生說一說3個紅圓片和6個黃圓片又有怎樣的關(guān)系。學(xué)生最先會發(fā)現(xiàn)多少的關(guān)系，然后教師慢慢地引導(dǎo)學(xué)生從多少的關(guān)系過渡到倍的關(guān)系，也就是讓學(xué)生的思維從加法結(jié)構(gòu)上升到乘法結(jié)構(gòu)。

（四）注重動手操作，利用畫圖表征，促進“倍”的理解

教師一般通過引導(dǎo)學(xué)生畫一畫、比一比等操作活動，引發(fā)、激活學(xué)生頭腦中的原有認(rèn)知，并使之外顯；然后引導(dǎo)學(xué)生進行討論和交流，從“幾個幾”的角度初步認(rèn)識“倍”的含義。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，概念形成其實可以概括為兩個階段，即從完整表象上升為抽象概念，實現(xiàn)抽象概念在思維過程中的具體再現(xiàn)。在這兩次必備轉(zhuǎn)換過程中形成完整表象是最重要的一個環(huán)節(jié)。但由于低年級學(xué)生表達(dá)能力的欠缺，讓學(xué)生通過畫圖表征來表達(dá)出自己構(gòu)建的概念表象就顯得尤為重要。畫圖表征在實物操作與抽象思維之間架起了橋梁，讓學(xué)生在圈一圈、畫一畫中初步建立“倍” 的表象，有利于學(xué)生有效表達(dá)自己構(gòu)建的概念表象。

（五）在不斷對比與抽象中， 逐步理解“倍”的意義

烏申斯基說：“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)。我們正是通過比較來了解世界上的一切的……”通過畫圖等手段初步認(rèn)識了“倍”后，如何讓學(xué)生進一步理解“倍” 的概念呢？這就需要在不斷對比與抽象中，舍棄各種非本質(zhì)的特征，在變化中抓住“不變”， 而這“不變” 就是它們的量性特征，就是“倍” 的本質(zhì)。許多教師會設(shè)計多個比較的環(huán)節(jié)，例如：一份數(shù)不變，幾份數(shù)在變，倍數(shù)也隨之變化；一份數(shù)在變，幾份數(shù)也在變，倍數(shù)卻不變。通過比較，引導(dǎo)學(xué)生逐步明晰和把握概念的本質(zhì)，使認(rèn)知和理解走向深入。

三、“倍”的認(rèn)識的新思考

雖然我們認(rèn)識了“倍”的本質(zhì)，雖然我們了解了學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，但是對于“倍”的理解，學(xué)生還是有一定困難的，雖然學(xué)生能夠說出誰是誰的幾倍，也能借助乘法進行計算，但這并不表示學(xué)生真正認(rèn)識、理解了“倍”，在運用時仍然會出現(xiàn)許多困難。這首先受到兒童自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的影響，從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)，學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要發(fā)生一定程度“質(zhì)”的變化。倍的學(xué)習(xí)是發(fā)生質(zhì)的變化的第一次機會，學(xué)生學(xué)習(xí)“倍”都要經(jīng)歷從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學(xué)生學(xué)習(xí)的最大困難。[4]其次是因為該知識點本身的難度，“倍”不是單一的乘法結(jié)構(gòu)，它是乘法意義的拓展延伸，但同時也包含對除法意義的理解，這無疑會對初次理解“倍”的概念的學(xué)生造成一定的困難。

學(xué)校最近開展了“課堂觀察”研究，通過教師和學(xué)生一對一的課堂細(xì)致觀察，我們還發(fā)現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)“倍”的過程中有如下三個問題。

（一）學(xué)生對“關(guān)系”不理解

“關(guān)系”一詞在現(xiàn)代漢語詞典中的解釋是：事物之間相互作用、相互影響的狀態(tài)。日常生活中我們經(jīng)常會用到這個詞，感覺理解起來很簡單，但孩子對于用在數(shù)學(xué)背景中的“關(guān)系”一詞并不是很理解，大多數(shù)學(xué)生聽到教師提出的問題“它們之間有什么關(guān)系？”時表現(xiàn)出了聽不懂的狀態(tài)，所以教師在這時不妨停一停，可以舉個例子來進一步說明，這樣學(xué)生才能更好地繼續(xù)下面的學(xué)習(xí)。

（二）理解“倍”的概念不能只通過觀察

通過對文獻的梳理，我們發(fā)現(xiàn)許多一線教師都是讓學(xué)生直接通過觀察靜止的事物來找數(shù)量之間的關(guān)系，例如黑板上擺好的教具或畫好的簡單圖形。當(dāng)教師在黑板上擺出6個紅色圓片和3個白色圓片時，學(xué)生會很快說出6比3多3或者3比6少3，但很難想到6里面有2個3，或者是6是3的2倍，這也恰恰說明了兒童的認(rèn)知從加法結(jié)構(gòu)上升到乘法結(jié)構(gòu)是十分困難的。怎樣能讓學(xué)生自然地過渡呢？通過嘗試，我們發(fā)現(xiàn)“動手操作”是一個可行的辦法。課前為學(xué)生準(zhǔn)備一些可以擺動的學(xué)具，例如最簡單的小圓紙片，學(xué)生在擺一擺學(xué)具的過程中，會非常自然的產(chǎn)生分堆的想法（如下圖），他們會把3個白紙片擺成1堆，把6個紅紙片擺成兩堆，這里的“一堆”就是“1份”或者叫作“1倍量”最好的形體展示，這樣學(xué)生從形上更自然地想到6里面有2個3，這就是學(xué)生腦子中最初的“倍”。

許多教師為了讓學(xué)生更好地理解“倍”，看清數(shù)量之間的關(guān)教師一上課就讓學(xué)生去圈一圈，然后直接引出了“倍”的概念。筆者認(rèn)為這樣做也許有點太快了，“倍”的認(rèn)識需要一個時間的等待，我們不妨放慢腳步，在學(xué)生初步建立“倍”的概念時，能通過教師的引導(dǎo)動手?jǐn)[一擺，其實擺出的“1堆”和圈出的“1份”能達(dá)到異曲同工之妙，而動手?jǐn)[一擺會讓學(xué)生對“倍”的認(rèn)識更加深刻。

（三）“倍”難于表達(dá)

學(xué)生能夠說出誰是誰的幾倍，也能借助乘法進行計算，但在描述時仍然會出現(xiàn)許多困難。認(rèn)識“倍”就要求學(xué)生能夠理解“倍”的含義并學(xué)會表達(dá)“倍”。在表達(dá)“倍”時，我們不要急于給學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)的表達(dá)形式，而要等待。根據(jù)學(xué)生的年齡特點，學(xué)生的理解能力前于學(xué)生的表達(dá)能力，所以我們認(rèn)為學(xué)生表達(dá)不清楚是正常的。在表達(dá)“倍”的時候，我們可以嘗試用畫圖的方式進行多個角度的表達(dá)以加深理解。

“倍的認(rèn)識”一課不是一節(jié)新課，但是作為一名青年教師，我們需要有把它看成一節(jié)新課去研究的意識，我們更需要有站在前輩的肩膀上去思考、去研究、去創(chuàng)新的精神。

注釋：

[1] 高麗杰.從“形”到“數(shù)”，在不斷對比與抽象中認(rèn)識“倍”[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2010（1）.

[2][4]劉加霞.從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)：“倍”是轉(zhuǎn)折點——評析高麗杰老師的“倍的初步認(rèn)識”[J]. 小學(xué)教學(xué)，2010（07～08）.

[3]顧曉東. 基于已有經(jīng)驗的意義關(guān)聯(lián)——“倍的認(rèn)識”教學(xué)反思與改進[J].小學(xué)教學(xué)參考，2014（1）.

（中國農(nóng)業(yè)科學(xué)院附屬小學(xué) 100081）