張冬梅

新人教版教材三年級上冊第71頁例8是一道乘除兩步計算解決問題的題目，如下：

兩步計算解決問題對三年級學(xué)生來說并不陌生，因為在二年級下冊時就已經(jīng)接觸過，但這道題和二年級的兩步計算解決問題相比，又有所不同，它是先求出1個碗的價錢（單位數(shù)量），再求出8個碗的總價，這屬于歸一問題中的正歸一類型。在例8下面的 “想一想”中，還出現(xiàn)了反歸一問題，它是例題的變式問題，也是先求出1個碗的價錢（單位數(shù)量），但第二步與例題不同，要求30元里包含幾個這樣的單位。這樣的安排便于學(xué)生更好地理解，解決這類問題的關(guān)鍵是要先求出單價（單位數(shù)量），也就是“一份數(shù)”。

教學(xué)前，筆者選取學(xué)校三年級其中一個班，用“媽媽買3個同樣的碗用了18元，如果買8個這樣的碗，需要多少錢？”這道題做了前測，全班40位學(xué)生的測試情況如下表所示：

從前測中可以發(fā)現(xiàn)，班級中有16位同學(xué)不會正確列式，大多是用一步計算來解決的，其中有8位同學(xué)是用算式“18×8”來解決的，還有6位同學(xué)是用“3×8”等算式來解決，還有兩位同學(xué)無從下手。從他們的算式中可以看出，他們還沒有感悟到其中隱藏的 “一份數(shù)”這一概念。在得數(shù)等于48的24位同學(xué)中，有同學(xué)是直接用算式“8×6”來解決的，但卻說不清楚這個“6”是哪來的，從中可以看出，這些學(xué)生對歸一問題中這個“一份數(shù)”是有意識的，但認(rèn)知還不夠清晰。歸一問題中的“一份數(shù)”是解題和建模的關(guān)鍵所在。因此，教師要讓學(xué)生理解并掌握歸一問題的基本結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系，必須是在充分感悟“一份數(shù)”的基礎(chǔ)上。那么如何讓學(xué)生去真正感悟呢？對此，筆者嘗試對“歸一問題”進行了教學(xué)實踐。

一、在新知學(xué)習(xí)中感知“一份數(shù)”

在例題中，一個碗的價錢是其中的單位數(shù)量，也就是“一份數(shù)”，教師要想讓學(xué)生去感知這個單位數(shù)量，在解題過程中可以借助圖示語言、思維表述、對比活動，讓學(xué)生去感知“一份數(shù)”，感受數(shù)量之間的內(nèi)在關(guān)系，從而幫助他們建立起清晰的問題解決模型。

（一）借助圖示語言

圖示語言，就是把題目呈現(xiàn)的信息和問題，通過直觀形象的符號信息展示出來。為了便于學(xué)生畫圖，筆者把例題在原有基礎(chǔ)上進行了改編，如下：

1.在畫圖中感受

在讀取了信息和問題后，有學(xué)生已經(jīng)知道了該怎么解決，而部分同學(xué)還是很茫然，面對三個信息，不知道該從何下手。于是，筆者放慢教學(xué)速度，讓不會做的學(xué)生畫一畫信息和問題，從中尋找解題的突破口。而讓會做的學(xué)生先把答案寫在括號里，然后再把自己的思考過程用圖展示出來。通過畫圖，學(xué)生已經(jīng)感受到了“一份數(shù)”的存在。

2.在說圖中感知

反饋時，筆者分別出示了實物圖、圓圈圖和線段圖。

讓學(xué)生說說是怎么畫的，你看懂了嗎？通過反饋，學(xué)生從示意圖中清楚地感受到了要解決買5個這樣的碗需要多少錢，先要知道其中1個碗的價錢。為了讓學(xué)生對“1個碗的價錢”這個單一量的感知更清晰，筆者在出示了其中一位學(xué)生的線段圖后，指導(dǎo)其余學(xué)生一起學(xué)畫線段圖。先在黑板上畫出“買2個同樣的碗用了12元”，然后問學(xué)生：“買5個這樣的碗需要多少錢該怎么畫？”學(xué)生回答：“畫5段。”筆者又問：“每段有多長？”學(xué)生回答和上面的每一段一樣長。從學(xué)生的回答來看，學(xué)生已經(jīng)真正感知到了其中的“一份數(shù)”。

（二）借助思維表述

在解決問題教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生正確表述自己所理解的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合具體情境闡述自己的解題思路也是一個相當(dāng)重要的過程，它能促進學(xué)生的思維從直觀感知上升到數(shù)學(xué)理解。在兩步計算解決問題中，教師更應(yīng)重視學(xué)生解決問題思路的表述，尤其是中間問題，在歸一問題中，也就是“一份數(shù)”的來龍去脈。

1.在口頭表達中感受

在學(xué)生嘗試列式后，教師要給學(xué)生提供充分的交流機會。在出示了算式“12÷2=6（元），5×6=30（元）”后，通過“你的想法是怎么樣的，你看懂了嗎？他先解決了什么問題”，讓學(xué)生完整說說“先算什么，再算什么”。通過交流，再一次把“一份數(shù)”凸顯出來。

2.在書面表述中感知

教師還可以在學(xué)生闡述想法時，借鑒老教材的教法，把問題的解決步驟通過板書呈現(xiàn)出來，如下：

1個碗多少錢？12÷2=6（元）

5個碗多少錢？5×6=30（元）

這樣，通過把分步解決的問題板書出來，讓學(xué)生對“一份數(shù)”的感知更深刻。

（三）借助對比活動

在例題后的“想一想”中，還出現(xiàn)了反歸一問題“18元可以買3個碗，30元可以買幾個同樣的碗？”這是以對比編排的形式來呈現(xiàn)的，怎樣利用好教材設(shè)計的“對比”，讓學(xué)生在對比活動中加深對“一份數(shù)”的理解，獲得分析和解決歸一問題的基本方法呢？我們可以在教學(xué)時，在解決了“買5個這樣的碗需要多少錢？”后，讓學(xué)生根據(jù)“媽媽買2個同樣的碗用了12元”，也來提一個問題，根據(jù)學(xué)生的提問，出示如“36元可以買幾個這樣的碗”，同樣讓學(xué)生列式后說說思考過程。

1.在相同處感受

在列式解決了以上兩道題后，教師可以讓學(xué)生說說兩道題之間的相同點，通過對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在解決這兩道題時，都是先解決“買1個碗多少錢”的問題，通過對比歸納，再次突出“1個碗多少錢”這個“一份數(shù)”。

2.在規(guī)律中感知

在對比練習(xí)后，再次安排了一個體會個數(shù)和錢數(shù)的關(guān)系活動，根據(jù)學(xué)生的回答，依次分個數(shù)和錢數(shù)兩列板書，買1個碗是6元錢，買2個碗是12元錢，買3個碗是18元錢，依次類推，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)買的碗的個數(shù)越來越多，錢的總數(shù)也越來越多，當(dāng)錢的總數(shù)越來越少，買的碗的個數(shù)也越來越少，但其中不變的是1個碗的價錢，通過找規(guī)律再次去深刻感知“一份數(shù)”。

二、在鞏固學(xué)習(xí)中豐富“一份數(shù)”

在一些生活問題中，“一份數(shù)”無處不在，它不僅僅是指“1個碗的價錢”，還可以表示不同的含義，像“平均每分鐘做6只紙飛機、平均每組有6位同學(xué)、平均每分鐘做6道題”都是“一份數(shù)”。教材中“做一做”呈現(xiàn)的“一份數(shù)”也有別于例題：

在這道題中，“平均每天看8頁”就是其中的“一份數(shù)”，筆者認(rèn)為，這道題設(shè)計的目的不但要讓學(xué)生熟練歸一問題的解題規(guī)律，更重要的是要豐富學(xué)生對“一份數(shù)”的認(rèn)知。在深刻研讀了教材的練習(xí)后，筆者在鞏固學(xué)習(xí)中設(shè)計了一個連線題，想通過這三道題，達到豐富學(xué)生對“一份數(shù)”的認(rèn)知目的。

（一）在反饋中豐富“一份數(shù)”

在呈現(xiàn)的三個問題中，第1、2小題比較簡單，在學(xué)生連線后，分別說說想法，特別是先解決了什么問題？在說想法的過程中去豐富學(xué)生對“一份數(shù)”的認(rèn)識。第3小題對部分學(xué)生來說有難度，這里出現(xiàn)了一個干擾數(shù)據(jù)“8分鐘”，受此影響，有學(xué)生連了第1個算式。在反饋中，學(xué)生明白了其實要解決的問題是“照這樣計算，做完30道口算題需要幾分鐘”的問題，如果用第1個算式來解決，那么要解決的問題是“照這樣計算，8分鐘可以做幾道題？”在分別出示了這兩個數(shù)學(xué)問題后，讓學(xué)生找一找這兩題有什么相同的地方，通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，在解決這兩道題時，都是要先解決“平均每分鐘做幾道題”，在這里，“平均每分鐘做6道題”是其中的“一份數(shù)”，利用錯誤資源，再一次豐富學(xué)生對不同于“1個碗多少錢”的“一份數(shù)”的認(rèn)知。

（二）在歸納中豐富“一份數(shù)”

在解決了第3小題這個難點后，筆者又設(shè)計了這樣一個環(huán)節(jié)，那就是找出這三道題有什么相同的地方，通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)在解題時都先用“18÷3=6”算出了“一份數(shù)”，那么“18÷3=6”在不同的題目中表示的含義一樣嗎？讓學(xué)生再一起說一說，在第1題中，“18÷3=6”表示“平均每分鐘折6只紙飛機”，第2題中，“18÷3=6”表示“平均每組有6位同學(xué)”，而第3題則表示“平均每分鐘做6道題”，而在生活實際中，“18÷3=6”還可以表示不同的“一份數(shù)”，通過歸納總結(jié)，再一次豐富了學(xué)生對“一份數(shù)”的認(rèn)知。

三 、在拓展學(xué)習(xí)中深化“一份數(shù)”

在教材的練習(xí)中，還有這樣一道題：

其中的第1小題，既可以用歸一的方法也可以用倍比的方法來解決，但這兩種方法的共通之處是都先解決了“一份數(shù)”的問題，在歸一方法中，筆者把“平均每名同學(xué)擦4塊玻璃”看作“一份數(shù)”，而在倍比方法中，卻把“3名同學(xué)擦12塊玻璃”看作了“一份數(shù)”，這是對傳統(tǒng)意義上“一份數(shù)”的深化，筆者在拓展練習(xí)中設(shè)計此類練習(xí)，在感知、豐富“一份數(shù)”的基礎(chǔ)上，深化對“一份數(shù)”的認(rèn)識。設(shè)計練習(xí)如下：

這是一道可以用正歸一、反歸一和倍比三種方法來解決的問題。在反饋時，先進行正歸一和反歸一的比較，鞏固本課的新知。在此基礎(chǔ)上，重點通過交流、畫圖去理解倍比方法，溝通歸一和倍比方法，深化學(xué)生對“一份數(shù)”的認(rèn)識，從而幫助學(xué)生靈活運用模型，正確解題。

（一）在溝通中深化“一份數(shù)”

正歸一和反歸一的方法對學(xué)生來說很容易理解，但正歸一和倍比方法有什么相同之處，學(xué)生是很難去發(fā)現(xiàn)和歸納的。于是，在理解倍比方法“8÷2=4 ，4×10=40（元）”時，筆者讓學(xué)生嘗試著去畫一畫、圈一圈，借助圖示來解釋算式的意義。通過幾何直觀，學(xué)生理解了這種方法其實是把“2張票多少錢”看作了“一份數(shù)”，8里面有4個2，也就是要付4個10元。

通過這道題，學(xué)生找到了歸一和倍比方法的相同之處，也深化了對“一份數(shù)”的認(rèn)識。

（二）在拓展中深化“一份數(shù)”

除了讓學(xué)生理解可以把“2張票多少錢”看作“一份數(shù)”，還需要讓學(xué)生認(rèn)識到，在解決一些生活實際問題時，也可以把“3個蘋果多少錢、4個人一共折了幾個紙飛機”看作“一份數(shù)”，通過教師舉例、學(xué)生交流，深化對“一份數(shù)”的認(rèn)識，在尋找更多“一份數(shù)”的基礎(chǔ)上，還可以讓學(xué)生通過合作，去提一些既可以用歸一方法來解決的問題，也可以用倍比方法來解決的問題，在具體的問題情境中深化學(xué)生對“一份數(shù)”的認(rèn)識。

在課堂教學(xué)后，筆者又對參與前測的班級進行了后測，測試題分別是：

1.小林讀一本故事書，3天讀了24頁，照這樣的速度，7天可以讀多少頁？

2.同學(xué)們大掃除，3名同學(xué)擦12塊玻璃。照這樣計算，教室里共有36塊玻璃，一共需要幾名同學(xué)？

3.把3本相同的書摞起來，高度是18毫米。如果把9本這樣的書摞起來，高度是多少毫米？

全班40位學(xué)生的測試情況如下表：

在3題全部做對的學(xué)生中，第3小題很多學(xué)生是用倍比方法解決的。在做對2 題的學(xué)生中，有兩位學(xué)生是出現(xiàn)了計算錯誤，而方法是正確的。還有一位學(xué)生做對1題，一位學(xué)生全錯，需要進行個別指導(dǎo)。從后測結(jié)果來看，讓學(xué)生在新知學(xué)習(xí)中感知“一份數(shù)”，在鞏固學(xué)習(xí)中豐富“一份數(shù)”，在拓展學(xué)習(xí)中深化“一份數(shù)”，大部分學(xué)生對“一份數(shù)”有了清晰和深入的認(rèn)識。當(dāng)然，從后測中也能看到問題：做對的學(xué)生是真的掌握了這類問題，還是只是在套用這個模型；一旦把題目換成歸總問題，學(xué)生還會不會靈活解決；教師的教學(xué)策略應(yīng)如何進行調(diào)整；練習(xí)應(yīng)如何進行有效設(shè)計；等等。這是我們接下來要思考并努力的方向。

（浙江省平湖市乍浦天妃小學(xué) 314200）