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        探討指、對數(shù)圖象交點問題

        2015-08-18 14:50:33葉濤
        高中生學(xué)習(xí)·高二版 2015年6期
        關(guān)鍵詞:增函數(shù)切點交點

        葉濤

        高中教材沒有探討函數(shù)[y=ax與y=logax]圖象的交點問題,僅僅只是在同一坐標(biāo)系中畫了函數(shù)[y=12x與y=log12x]以及[y=2x與y=log2x]的圖象. 這張圖讓很多同學(xué)都誤以為:函數(shù)[y=ax(01)與y=logax(a>1)]的圖象無交點. 這種認識是錯誤的.

        比如,函數(shù)[y=116x與y=log116x]有三個公共交點,其中有兩個公共交點[N112,14,N214,12]關(guān)于直線[y=x]對稱,還有一個交點落在直線[y=x]上.另外對于函數(shù)[y=1.1x]來說,由于其圖象上的一點[2,1.21]在直線[y=x]的下方,因而它的圖象與直線[y=x]相交且有兩個交點,即:函數(shù)[y=1.1x與y=log1.1x]的圖象有兩個落在直線[y=x]上的交點. 由于函數(shù)[y=ax與][y=logax(a>0][且a≠1)]互為反函數(shù),其圖象關(guān)于直線[y=x]對稱,可以通過討論函數(shù)[y=ax]的圖象與直線[y=x]的交點個數(shù)確定函數(shù)[y=ax與y=logax]圖象交點的個數(shù).

        我們可以通過幾何畫板繪制出函數(shù)[y=ax(a>1)]的圖象,不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)讛?shù)[a]較大時與直線[y=x]無交點;當(dāng)?shù)讛?shù)[a]較小,非常接近1[a>1]時有兩個交點;當(dāng)[01)]的圖象與直線[y=x]的交點情形.

        如下圖在指數(shù)函數(shù)[y=ax(a>1)]的圖象上,先求斜率為1的切線與[y=ax(a>1)]相切的切點[P]的坐標(biāo),根據(jù)切點[P]與直線[y=x]的相對位置確定函數(shù)[y=ax]的圖象與直線[y=x]的交點情形,亦即:令[y=axlna=1]得,[x=-loga(lna).]

        切點坐標(biāo)[P-loga(lna),1lna],若點[P]在直線[y=x]上即[-loga(lna)=1lna得,a=e1e].

        (1)當(dāng)[a=e1e]時,函數(shù)[y=ax]的圖象與直線[y=x]相切于點[P(e,e).]

        (2)當(dāng)[a>e1e]時,[lna>1e, ∴0<1lna

        則有[loga1lna

        此時切點[P-loga(lna),1lna]在直線[y=x]的上方,也即[y=ax(a>e1e)]的圖象恒在直線[y=x]的上方,函數(shù)[y=ax]的圖象與直線[y=x]無交點.

        (3)當(dāng)[1e],

        則有[loga1lna>logae],[∴-logalna>1lna].

        此時切點[P-loga(lna),1lna]在直線[y=x]的下方,也即[y=ax(1

        由上述分析不難得到以下定理.

        定理1 對于指數(shù)函數(shù)[y=ax(a>1)]的圖象,當(dāng)[a=e1e]時,其與直線[y=x]相切于點[P(e,e)];當(dāng)[a>e1e]時,它恒在直線[y=x]的上方;當(dāng)[1

        由于函數(shù)[y=ax與y=logax(a>0且a≠1)]互為反函數(shù),其圖象關(guān)于直線[y=x]對稱,因此有以下結(jié)論.

        定理2 對于對數(shù)函數(shù)[y=logax(a>1)]的圖象,當(dāng)[a=e1e]時,其與直線[y=x]相切于點[P(e,e)];當(dāng)[a>e1e]時,它恒在直線[y=x]的下方;當(dāng)[1

        定理3 對于函數(shù)[y=ax(a>1)與y=logax(a>1)]的圖象,當(dāng)[a=e1e]時,有且只有一個公共點;當(dāng)[a>e1e]時,它們沒有公共點;當(dāng)[1

        當(dāng)[0

        [練習(xí)]

        1. 在[P(1,1),Q(1,2),M(2,3)和N(12,14)]四點中,函數(shù)[y=ax]的圖象與其反函數(shù)的圖象的公共點只可能是點( )

        A. [P] B. [Q] C. [M] D. [N]

        2. 下列結(jié)論中錯誤的是( )

        A. 若點(2,3)在函數(shù)[y=ax]的圖象上,則點(3,2)必在函數(shù)[y=logax]的圖象上

        B. 函數(shù)[y=ax]的圖象必過點(0,1),就是說函數(shù)[y=logax]的圖象必過點(1,0)

        C. 若點[m,n]既在函數(shù)[y=ax]的圖象上,又在函數(shù)[y=logax]的圖象上,則[m=n]

        D. 函數(shù)[y=logax]的圖象與直線[y=x]不一定有交點

        3. 對于問題“函數(shù)[f(x)=ax(a>1)]與其反函數(shù)[f-1(x)=logax]的圖象有多少個公共點?”有如下觀點:(1)當(dāng)[a>1]時兩函數(shù)圖象沒有公共點,只有當(dāng)[01)]的圖象與直線[y=x]的公共點的個數(shù),為此可構(gòu)造函數(shù)[F(x)=ax-x(a>1),]然后利用[F(x)]的最小值進行討論.

        請參考上述觀點,并判斷以下結(jié)論正確的是 (填寫序號).

        ①當(dāng)[a>e1e]時,函數(shù)[f(x)=ax(a>1)]的圖象與直線[y=x]沒有公共點

        ②當(dāng)[a>e1e]時,函數(shù)[f(x)=ax(a>1)]的圖象與直線[y=x]有兩個相異公共點

        ③當(dāng)[a=e1e]時,函數(shù)[f(x)=ax(a>1)]的圖象與直線[y=x]沒有公共點

        ④當(dāng)[a=e1e]時,函數(shù)[f(x)=ax(a>1)]的圖象與直線[y=x]有惟一的公共點

        ⑤當(dāng)[11)]的圖象與直線[y=x]沒有公共點

        ⑥當(dāng)[11)]的圖象與直線[y=x]有兩個相異的公共點

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