高鵬艷

（山西師范大學(xué)教育科學(xué)研究院 學(xué)科教學(xué)〈數(shù)學(xué)〉）

部分微分中值定理在證明不等式中的應(yīng)用

高鵬艷

（山西師范大學(xué)教育科學(xué)研究院 學(xué)科教學(xué)〈數(shù)學(xué)〉）

微分中值定理是微積分中的重要組成部分.在微分學(xué)中，微分中值定理占有很重要的位置，且在解題中的應(yīng)用也十分廣泛，有些不等式的證明，特別是某些特殊類型的不等式，用初等數(shù)學(xué)的方法很難達(dá)到證明的目的，而用微分中值定理可以實(shí)現(xiàn)證明.主要介紹了部分微分中值定理即拉格朗日中值定理、柯西中值定理，不等式的定義及性質(zhì)以及部分微分中值定理在證明不等式中的應(yīng)用。

拉格朗日中值定理；柯西中值定理；不等式

一、部分微分中值定理

（一）拉格朗日中值定理

定理2若函數(shù)f滿足如下條件：

（i）f在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

（ii）f在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，

（二）柯西中值定理

定理3設(shè)函數(shù)f和g滿足

（i）在［a，b］上都連續(xù)；

（ii）在（a，b）內(nèi)都可導(dǎo)；

（iii）f（′x）和g（′x）不同時(shí)為零；

（iv）g（a）≠g（b）,

二、不等式的定義及性質(zhì)

（一）不等式的定義

用不等號(hào)將兩個(gè)解析式聯(lián)結(jié)起來(lái)所成的式子叫做不等式.

（二）不等式的基本性質(zhì)

1.不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變.

2.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.

3.不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.

三、部分微分中值定理在證明不等式中的應(yīng)用

（一）利用拉格朗日中值定理證明不等式

拉格朗日中值定理在證明不等式中有著極其重要的作用，它是反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，特別是含有兩個(gè)不等號(hào)的，可考慮利用拉格朗日中值定理.具體證明通過(guò)對(duì)不等式結(jié)構(gòu)的分析，選定一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)和區(qū)間，對(duì)公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兓?，得到所證不等式.

證明：構(gòu)造輔助函數(shù)（ft）=lnt

因?yàn)椋╢t）在閉區(qū)間［x，1+2x］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（x，1+2x）內(nèi)可導(dǎo)，所以根據(jù)拉格朗日中值定理知存在ξ∈（x，1+2x），使

又因?yàn)?＜x＜ξ＜1+2x，

例2.證明不等式 sinx-siny≤x-y.

證明：令（ft）=sint，

因?yàn)椋╢t）在閉區(qū)間［x，y］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（x，y）內(nèi)可導(dǎo)，

即sinx-siny=（x-y）cosξ，

兩邊同時(shí)取絕對(duì)值 sinx-siny=x-y·cosξ，

又因?yàn)?cosξ≤1，

所以 sinx-siny≤x-y.

（二）利用柯西中值定理證明不等式

柯西中值定理在不等式的證明中有著極其重要的作用，通過(guò)對(duì)不等式結(jié)構(gòu)的分析，構(gòu)造某特定區(qū)間的函數(shù)，使其滿足定理的條件，達(dá)到證明的目的.

證明：令（fx）=arctanx，g（x）=ln（1+x2）

因?yàn)椋╢x），g（x）在閉區(qū)間［x，1］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（x，1）內(nèi)可導(dǎo)，f（′x），g（′x）在［x，1］內(nèi)每一點(diǎn)都不為零，且g（x）≠g（1）

即atctanx-ln（1+x2）＞ln2，

注意1：柯西中值定理是研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的變量關(guān)系的中值定理，當(dāng)一個(gè)函數(shù)（不妨設(shè)此函數(shù)為g（x））取作自變量自身時(shí)，它就是拉格朗日中值定理，所以用拉格朗日中值定理能證明的不等式一定能用柯西中值定理來(lái)證明，反之則不然，下面舉例來(lái)說(shuō)明.

證明：令（ft）=lnt，g（t）=t.

因?yàn)閒（t），g（t）在閉區(qū)間［x，1+2x］（x＞0）上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（x，1+2x）（x＞0）內(nèi)可導(dǎo)，且g（′t）在［x，1+2x］（x＞0）內(nèi)每一點(diǎn)都不為零，g（x）≠g（1+2x）.

所以由柯西中值定理知存在 ξ∈（x，1+2x）（x＞0）使得

又因?yàn)?＜x＜ξ＜1+2x，

例5.對(duì)例2的不等式 sinx-siny≤x-y用柯西中值定理來(lái)證明.

證明：令（ft）=sint，g（t）=t.

因?yàn)椋╢t），g（t）在閉區(qū)間［x，y］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（x，y）內(nèi)可導(dǎo)，且g′（t）在［x，y］內(nèi)每一點(diǎn)都不為零，所以由柯西中值定理知存在ξ∈（x，y），使得

即sinx-siny=（x-y）cosξ，

兩邊同時(shí)取絕對(duì)值 sinx-siny=x-y·cosξ，

又因?yàn)?cosξ≤1，

所以 sinx-siny≤x-y.

例6.證明 sinx＜ex-1（x＞0）.

證明：令（ft）=sint，g（t）=et，t∈［0，x］

因?yàn)椋╢t），g（t）在閉區(qū)間［0，x］上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（0，x）內(nèi)可導(dǎo)，且g（′t）在［0，x］內(nèi)每一點(diǎn)都均不為零，g（0）≠g（x），

所以由柯西中值定理知存在ξ∈（0，y）使得

所以ex-1＞0，即ex＞1，

即 sinx＜ex-1.

注意2：以上的例4和例5說(shuō)明能用拉格朗日中值定理證明的不等式，一定能用柯西中值定理證明；而例6不等式能用柯西中值定理來(lái)證明，但不能用拉格朗日中值定理證明，所以分清拉格朗日中值定理和柯西中值定理，對(duì)我們?cè)谧C明不等式時(shí)具有很重要的作用.

通過(guò)對(duì)本文的研究，可以知道有些不等式的證明對(duì)我們來(lái)說(shuō)很難，主要是在證明的思路或者在函數(shù)的構(gòu)造上有難度.而對(duì)于不同的不等式證明需要靈活地運(yùn)用不同的微分中值定理來(lái)證明.因此，我們一定要熟練掌握微分中值定理這部分內(nèi)容，以便能在證明不等式時(shí)更快地構(gòu)造出合適的函數(shù)，實(shí)現(xiàn)我們的證明目的.

另外，通過(guò)討論利用部分微分中值定理證明不等式的過(guò)程，既發(fā)展了學(xué)者的思維能力，又進(jìn)一步揭示了微分中值定理是一種實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)方法和工具，它在證明不等式中得到了很好的應(yīng)用.

［1］侯風(fēng)波.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2000：78-95.

［2］歐陽(yáng)光中，姚允龍.數(shù)學(xué)分析［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1998：108-113.

［3］D.S.密斯特利諾維奇.解析不等式［M］.北京:科學(xué)出版社，1987.

［4］李中彬.微積分中不等式的證明方法探討［J］.新疆石油教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2010（2）.

［5］孫學(xué)敏.微分中值定理的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2009（10）.

·編輯 薛直艷