山東省泰安第一中學(xué) 許興堂

函數(shù)圖像是函數(shù)關(guān)系式中最為直觀形象的表述形式，也是函數(shù)定義的幾何形式，它全面反映了有關(guān)函數(shù)關(guān)系的概念和性質(zhì)，是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，應(yīng)用非常廣泛，下面舉例說(shuō)明．

一、利用函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)

例 1已 知 f（x）=3-x2，g（x）=2x，若F（x）=min{f（x），g（x）}，

(1)試求 F（x）的最大值；

(2)求函數(shù) G（x）=F（logax）（0

分析：將表達(dá)式 F（x）=min{f（x），g（x）}進(jìn)行展開，得到分段函數(shù)圖像后，畫出圖像，根據(jù)圖像就可得到最大值和單調(diào)區(qū)間.

（1）由圖易知圖中最高點(diǎn)A的縱坐標(biāo)即為所求，

得（x，y）=（1，2）或（x，y）=（-3，-6），

所以函數(shù)F（x）的最大值是2．

（2）從圖像看出函數(shù) F（x）在區(qū)間（-∞，1]上是增函數(shù)，令 logax≤1，得到x≥a，

任意 x1，x2∈[a，+∞），當(dāng) x1logax2，所以F（logax1）>F（logax2），即G（x1）>G（x2），G（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[a，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)的最值一般均用圖像法畫出各分段函數(shù)，然后觀察出它們?cè)诟鞫螆D像上的最值點(diǎn)，并比較它們最值的大??；另外數(shù)形結(jié)合法是確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間形象直觀地反映在圖像中．

二、利用函數(shù)圖像解不等式

例2偶函數(shù)y=f(x)，奇函數(shù)y=g(x)的定義域均為[-4，4]，f(x)在[-4，0]，g(x)在[0，4]上的圖像如圖所示，求不等式))<0的解集.

分析：本題的核心是解不等式f(x)<0（>0）與 g(x)>0（<0），在二者沒(méi)有具體表達(dá)式的情況下，應(yīng)該先畫出函數(shù)f(x)、g(x)的圖像，然后觀察圖像得解集．

解：根據(jù)奇偶函數(shù)的圖像的對(duì)稱性畫出f(x)、g(x)在整個(gè)定義域上的圖像，如圖：

三、利用函數(shù)圖像研究方程

例3（1）若方程x2-2x+m=0有兩根，其中一根在（0，1）內(nèi)，另一根在（1，2）內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）若方程x2-2 x+m=0有四個(gè)根，求實(shí)數(shù)m的范圍．

分析：已知中給出方程的根的情況非常復(fù)雜，如直接從求解的角度來(lái)研究有些困難，可以考慮根據(jù)方程與對(duì)應(yīng)函數(shù)的關(guān)系，利用函數(shù)圖像直觀觀察找相應(yīng)條件，借助圖形來(lái)解決這個(gè)代數(shù)問(wèn)題．

解：（1）令 f(x)=x2-2x+m，由條件說(shuō)明f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間（0，1）和（1，2）內(nèi)，畫出示意圖，

從圖像看出-1<-m<0即0

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)與方程是緊密相連的兩個(gè)概念，連接點(diǎn)就在于“方程x2-2 x+m=0的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)g(x)與h(x)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)”，這類問(wèn)題一般不是直接解方程，而是根據(jù)函數(shù)的圖像或性質(zhì)直接進(jìn)行判斷，尤其是那些方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合的方法求解.

從以上幾例可以看出，借助函數(shù)圖像利用數(shù)形結(jié)合思想解題，形象直觀、簡(jiǎn)潔明快，真像華羅庚先生說(shuō)的那樣：“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非”，解題時(shí)應(yīng)注意合理選取輔助函數(shù)，使函數(shù)圖像易作，變化趨勢(shì)清晰，同時(shí)應(yīng)注意圖像的草圖應(yīng)能真實(shí)反映函數(shù)的變化規(guī)律，以免因圖像的粗糙性而產(chǎn)生錯(cuò)誤．