盧里舉 高廣偉

【摘要】本文建立了綜合評價模型。首先建立均值貢獻(xiàn)函數(shù)模型進(jìn)行評價；其次，考慮到該模型的不足，利用極差，建立分?jǐn)?shù)百分制轉(zhuǎn)換模型，將5項指標(biāo)原始分進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并引入層次分析法，對各項指標(biāo)進(jìn)行賦權(quán)，得到綜合評價的最終結(jié)果。

【關(guān)鍵詞】學(xué)生綜合評價 均值貢獻(xiàn)函數(shù) 百分制轉(zhuǎn)換函數(shù) 層次分析法 賦權(quán)

【基金項目】本文系學(xué)院院長基金教研教改項目，項目編號JG201301005。

【中圖分類號】G71 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）03-0243-02

一、問題提出

為了對某年級中20位學(xué)生進(jìn)行綜合評價，考察其中主要5項指標(biāo)：德育、智育、體育、能力和英語四級考試總分（原始的分表此處略去）. 然而考慮到每個指標(biāo)各自的評價系統(tǒng)是不一致的，因此很難通過直接求和或取均值的形式進(jìn)行綜合評定。另一方面，即使是統(tǒng)一地采取百分制計分，由于學(xué)科屬性的不同、學(xué)科所需學(xué)時的差異等各種因素，也很難用求和的形式進(jìn)行評價，這類問題廣泛存在，因此建立一個良好的、公平、公正的評價體系是必要的。

二、模型假設(shè)

1.待評價的學(xué)生數(shù)量是有限的，總?cè)藬?shù)為N；2.綜合考察的指標(biāo)量為P，其中P較大但小于9（如果p超過9，可以考慮利用主成分分析法，將其中若干指標(biāo)綜合成新的指標(biāo)，以減少評價過程中的計算量）3.每個指標(biāo)的評價體系之間是相互獨立的，互不影響；4.每個指標(biāo)分?jǐn)?shù)單位不全相同；5.每個指標(biāo)的評價都能反映出該生在本項指標(biāo)的真實情況。

三、模型建立于求解

1.均值貢獻(xiàn)函數(shù)模型 為了讓每個指標(biāo)的評價值具有可加性，需要對原始分值進(jìn)行無量綱化處理。設(shè)xij表示第i個學(xué)生的第j指標(biāo)的原始分?jǐn)?shù)，其中1≤i≤N，1≤j≤p.xj表示第j指標(biāo)的平均值，則xj=■■xij.對均值貢獻(xiàn)函數(shù)記為rij，于是可以建立對均值貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)模型：rij=■.這里貢獻(xiàn)函數(shù)是非負(fù)的，即rij≥0對任意的1≤i≤N，1≤j≤p。貢獻(xiàn)函數(shù)是量綱為1的量，若01則表示相應(yīng)的指標(biāo)的貢獻(xiàn)作用是增加均值。均值貢獻(xiàn)函數(shù)模型，可以有效減少“大數(shù)吃掉小數(shù)”等問題。

2.基于均值貢獻(xiàn)函數(shù)建立的綜合評價模型 假設(shè)，每項指標(biāo)對綜合評價的貢獻(xiàn)率是一樣的。在此基礎(chǔ)上，建立綜合評價模型：ti=■■rij.其中：ti表示第i個學(xué)生的各項指標(biāo)平均分。

對所有的指標(biāo)平均分進(jìn)行排序，即可得到每個學(xué)生的綜合名次。

該模型簡易方便，容易操作，不會因為所考察的指標(biāo)、學(xué)生數(shù)量增多而大量增加計算量。不足在于：（1）如果同一指標(biāo)下的取值都比較接近時，貢獻(xiàn)函數(shù)都接近于1，考慮到小數(shù)的截尾誤差，其結(jié)果也就難以區(qū)分。容易導(dǎo)致因近似計算而導(dǎo)致結(jié)果的不穩(wěn)定現(xiàn)象； （2）由于計算出來的數(shù)量都比較小，其數(shù)值容易誤讀；（3）其結(jié)果難于讀懂，因此，模型不易進(jìn)行推廣，尤其不易公開公布；（4）每項指標(biāo)一致看待，這也是有欠考慮的。

四、模型改進(jìn)

鑒于此，對模型進(jìn)行改進(jìn)，利用極差的方法進(jìn)行改進(jìn)，并采取百分制系統(tǒng)。設(shè)每項指標(biāo)的分?jǐn)?shù)值是不全相同的，即最大值總是嚴(yán)格大于最小值。（如果某個指標(biāo)的分?jǐn)?shù)值完全相同，則認(rèn)為是無效數(shù)據(jù)）。假定參評者的百分制成績折合計算后，最低分為60，最高分為100.

引入百分制轉(zhuǎn)換函數(shù)：定義uij=■？鄢40+60. 1≤i≤N，1≤j≤p.顯然：（1）60≤uij≤100.（2）60=uij？圳xij=■xij.100=uij？圳xij=■xij.（3）ui■j

如果考慮到每項指標(biāo)影響力是一致的，那么對轉(zhuǎn)換后的分?jǐn)?shù)值可以采取平均分綜合評價模型：Ui=■■uij=uij，其評價結(jié)果呈現(xiàn)效果更佳。

另外，考慮到每項指標(biāo)對總評的貢獻(xiàn)是不同的。例如，對于不同學(xué)科，其要求的某項素質(zhì)可能會更高，那么在該項目的重視程度就會更高。由此，引入指標(biāo)項的權(quán)重qj，進(jìn)行賦權(quán)綜合評價。即綜合評價分模型為：Ti=■qj？鄢uij；■qj=1.

對于此，可建立層次分析法模型，對不同的權(quán)重進(jìn)行設(shè)置.

1.建立層次分析的層次結(jié)構(gòu) 假設(shè)：（考慮到不同院系的具體情況）此處僅以問題中所提到的5項指標(biāo)作為考察對象。其中目標(biāo)層：合理分配指標(biāo)；準(zhǔn)則層：學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、學(xué)風(fēng)校風(fēng)建設(shè)、整體教學(xué)水平、校企合作；方案層：德育、智育、體育、能力、英語。

2.計算相關(guān)特征 分別記成對比較矩陣為A，B1，B2，B3，B4，B5.

以A=■為例（此處略去其他的矩陣的相關(guān)特征計算），A的最大特征根為4.03414，CR=■=0.0126其對應(yīng)的歸一化特征向量為：w=（0.1842，0.5263，0.2018，0.0877）T.記Wij=（w1，...，wn），則Q=（q1，...，qn）=Wijw.故而有：Q=（q1，...，qn）=Wijw=（0.42，0.23，0.06，0.10，0.19）.此外，還應(yīng)該做總體的一致性檢驗（此處略去）.如果■qi=q■表示第i0指標(biāo)的貢獻(xiàn)是最大的。以本案為例，綜合評價中著重強(qiáng)調(diào)德育建設(shè)。

五、模型評價

利用賦權(quán)法進(jìn)行綜合評價，其適用性范圍得到極大的推廣，然而層次分析法也有其局限性。對于不同的院校、專業(yè)、對象等，其成對比較矩陣都將發(fā)生變化，即使是同一個院校，在不同的發(fā)展時期，其成對比較矩陣也可能變化。因此，權(quán)重的設(shè)置要依實際情況而定。

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