張程

摘 要：在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是一種常用的行之有效的解題方法，它是直觀思維與抽象思維相結(jié)合的產(chǎn)物。數(shù)形結(jié)合的解題方法可大大節(jié)省解題的時間，提高解題的準(zhǔn)確性，尤其是用在高考的選擇和填空題中更是屢試不爽，故此方法受到老師和學(xué)生的青睞。文章通過對數(shù)形結(jié)合方法及其在教學(xué)過程中的實際應(yīng)用進(jìn)行研究與分析，使這種方法能夠更多地運用到解題中去。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合思想；教學(xué)實踐

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）06-193-02

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)與形的有機統(tǒng)一，對于數(shù)與形的關(guān)系，著名的數(shù)學(xué)家華羅庚曾作出這樣的解釋：數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?？梢姅?shù)與形之間的轉(zhuǎn)化是數(shù)形結(jié)合解決實際問題的關(guān)鍵。數(shù)字是抽象的符號信息，圖形是直觀的感性信息。數(shù)字與圖形的轉(zhuǎn)化實際就是感性認(rèn)識與理性認(rèn)識依據(jù)內(nèi)在的數(shù)學(xué)邏輯進(jìn)行轉(zhuǎn)化，也就是代數(shù)與幾何相結(jié)合。數(shù)形結(jié)合是研究與學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必不可少的方法，靈活地運用數(shù)形結(jié)合可在解決數(shù)學(xué)問題時化繁為簡，解決諸多的數(shù)學(xué)問題。

一、數(shù)形結(jié)合思想實際教學(xué)中的運用

1、求解函數(shù)的值域

在實際的數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用數(shù)形結(jié)合思想可解決諸多的函數(shù)值域問題。

例1：求函數(shù)y= + 的值域。

分析：上述函數(shù)可轉(zhuǎn)化為絕對值形式，即y=|x-2|+|x+8|可看做點A（a，0）到定點B（0，2）與定點C（-8，0）之間的距離之和。如圖所示：

當(dāng)點A位于點B與點C之間時，點A到點B與點C的距離為一定值10；當(dāng)點A位于點C左側(cè)或點B右側(cè)時，點A到點B與點C之和大于10。本題若對數(shù)字進(jìn)行抽象的分析進(jìn)行解題是很難的，但若對數(shù)字進(jìn)行轉(zhuǎn)化，看圖說話，就容易的多了，故題中函數(shù)的值域為y≥10。

小結(jié)：在利用數(shù)形結(jié)合的方法解決實際問題是應(yīng)對實際問題進(jìn)行簡單的分析與轉(zhuǎn)化，并不是所有的求值域問題都可用此方法，要具體問題具體分析。

2、求解方程

例2：方程 =2x的解的個數(shù)是（ ）

A.3 B.2 C.1 D.0

分析：由題可以直觀的看出，當(dāng)x=2時，上述方程是成立的，所以答案是C，但是仔細(xì)分析的話會發(fā)現(xiàn)這是錯誤的。解題關(guān)鍵在于根據(jù)所給方程將其看作兩個函數(shù)，即設(shè) = ， = ，由此作圖找到兩個方程的交點個數(shù)即為此方程的解的個數(shù)，如圖所示：

由圖中可以清楚地看到兩個函數(shù)的交點個數(shù)。

小結(jié)：利用數(shù)形結(jié)合的方法求解方程解的個數(shù)屢見不鮮且行之有效，關(guān)鍵是要學(xué)會找特殊點，本題若用數(shù)字代入進(jìn)行計算也是可以的，但是用數(shù)字計算即浪費時間準(zhǔn)確性也不高，在實際中要學(xué)會運用該方法求解方程問題。

3、求解不等式

例3：解關(guān)于x的不等式：|x|≥

分析：此題需對a進(jìn)行分情況討論，需運用數(shù)形結(jié)合的方法，若用數(shù)字進(jìn)行運算的話，易混淆，若用數(shù)形結(jié)合則很容易得到答案。首先對a進(jìn)行分情況討論，

（1）當(dāng)a=0時，解集為（-∞，0）∪（0，+∞）

（2）當(dāng)a>0時，解集為（ ，+∞）

（3）當(dāng)a<0時，解集為（-∞，- ）

小結(jié)：用數(shù)形結(jié)合的方法構(gòu)造出兩個緊密相關(guān)的圖象，并且利用圖象進(jìn)行分析，是解決此類問題的常用方法。

二、如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

1、學(xué)會數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化

求解數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生經(jīng)常忽略數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，而這一環(huán)節(jié)卻恰恰是解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，在實際的教學(xué)中，通過對典型題型的分析達(dá)到可以舉一反三的目的，由解決一個問題達(dá)到解決一類問題的目的。例如：若不等式-2≤ -2ax+6≤2恰有一個解，求實數(shù)a的值。此題如果用解不等式的方法來解的話就會特別麻煩且易出錯，如果結(jié)合二次函數(shù)來求解的話就很容易解決，畫圖就可知a=2或者a=-2，解題就會輕松很多。再如例1中求解函數(shù)的值域問題，如果不將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，只是進(jìn)行單純的計算數(shù)值的話就需要先去掉根式，需要對根式進(jìn)行分情況討論，無形之間就增加了解題的難度，這是不可取的。

2、形成數(shù)形結(jié)合思想

目前，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時存在的最大的問題就是易在解決問題時形成思維定勢，即易將簡單的問題復(fù)雜化，其中很大一部分是缺乏數(shù)與形相結(jié)合解決問題的思想導(dǎo)致的。學(xué)生在解決問題時往往對數(shù)字比較敏感，慣用數(shù)字之間的聯(lián)系來解決問題，這是不可取的。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要經(jīng)常運用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題，使學(xué)生遇到問題時，能夠有數(shù)形結(jié)合的意識，進(jìn)而形成數(shù)形結(jié)合的思想。如已知 + +2X=0，求 -2X+1+ +2Y+1的最小值。解這個題時，如果只運用數(shù)字來進(jìn)行運算的話就需對第一個方程式中的參數(shù)求解，然后求第二個函數(shù)的最小值，學(xué)生運用此方法解題往往會顧此失彼得不到準(zhǔn)確地答案，若用數(shù)形結(jié)合的方式將這兩個方程在同一坐標(biāo)系呈現(xiàn)的話，就很容易得出正確的答案。

3、在實際解題中加以運用

數(shù)形結(jié)合的思想只有運用到實踐當(dāng)中去才能發(fā)揮其最大價值，所以這一思想主要是在解題中實踐，教師在教學(xué)過程中要注重理論與實踐相結(jié)合，運用經(jīng)典的練習(xí)讓學(xué)生熟練地掌握此方法并靈活地運用，學(xué)生在課后要通過不斷地練習(xí)，切實達(dá)到學(xué)以致用的程度，通過仔細(xì)的分析對比，將題型與解法一一對應(yīng)，真正地掌握數(shù)形結(jié)合法。

通過以上分析可知，數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中是一種簡便易行的方法，數(shù)形結(jié)合方法的關(guān)鍵是形成數(shù)形結(jié)合意識并能夠準(zhǔn)確地根據(jù)題意準(zhǔn)確地做出圖像，在實際的教學(xué)中需運用大量的典型的例題來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識，引導(dǎo)學(xué)生使學(xué)生對這種方法產(chǎn)生興趣，進(jìn)而樂于去探討去研究去運用，并能夠根據(jù)具體的題型熟練地運用，真正的理解運用，而不是機械的加以模仿，使數(shù)字與圖像能夠真正的結(jié)合在一起，從而提高解題的速度，減少解題時間，讓學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

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