付志揚(yáng)

（河北省衡水中學(xué) 河北 衡水 053000）

1 問題的提出——簡諧振動課后的困惑

高二階段物理課上學(xué)習(xí)過簡諧振動后，奧賽班的學(xué)生對簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程如何從動力學(xué)特征導(dǎo)出產(chǎn)生了濃厚興趣.但課下查閱大學(xué)數(shù)學(xué)、物理教材和有關(guān)文獻(xiàn)后，發(fā)現(xiàn)受數(shù)學(xué)知識所限很難理解其給出的推導(dǎo)方法.文獻(xiàn)［1］就彈簧振子等模型闡述了諧振動原理和參數(shù)的相互關(guān)系，列出動力學(xué)特征方程后略過求解過程，直接給出解.文獻(xiàn)［2］在微分方程一章中，基于二階常系數(shù)齊次線性微分方程理論，以求特征方程、共軛復(fù)根的方法，從動力特征方程導(dǎo)出運(yùn)動學(xué)方程，其他教材和文獻(xiàn)采用的方法與此方法大同小異.其求解過程簡潔，但方法背后的原理如通解、歐拉公式求導(dǎo)、特征方程等遠(yuǎn)超出中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，致使高中物理、數(shù)學(xué)奧賽班的學(xué)生也很難理解和掌握.通過機(jī)械能守恒定律、勢能曲線、微分方程求解，也能導(dǎo)出諧振動運(yùn)動學(xué)方程［3，4］，但這種方法繞開了動力學(xué)特征，對動力學(xué)特征方程和運(yùn)動學(xué)方程的關(guān)系不能給出解釋.

針對常規(guī)推導(dǎo)方法的不易被理解和高中學(xué)生現(xiàn)有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的局限性，本文以高中階段就已學(xué)過的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)、簡單積分為基礎(chǔ)，給出了一種簡明易懂的簡諧振動運(yùn)動學(xué)方程推導(dǎo)方法，不僅能夠使高中學(xué)生深刻體會簡諧振動的內(nèi)在原理，還有助于加深理解微積分思想及其在物理學(xué)中的運(yùn)用.

2 簡諧振動的動力學(xué)特征

以彈簧振子為例，討論無阻尼簡諧振動的特征和運(yùn)動規(guī)律.設(shè)平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，按照胡克定律，物體所受的彈性力F與彈簧的伸長即物體相對于平衡位置的位移x成正比，即

式中κ是彈簧的勁度系數(shù)，負(fù)號表示力與位移的方向相反.根據(jù)牛頓第二定律，物體的加速度a為

彈簧振子的κ和m都是正值常量，取

代入上式得

式（1）稱為簡諧振動的動力學(xué)特征方程.而高中階段物理課程直接給出了簡諧運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程即位移表達(dá)式

如何從簡諧振動的動力學(xué)特征方程導(dǎo)出運(yùn)動學(xué)方程，即如何從式（1）推導(dǎo)出式（2），正是很多高中學(xué)生急欲求知的問題.式（1）為二階常系數(shù)線性齊次微分方程，此類微分方程的通常解法是列出特征方程，求出特征方程的兩個根，根據(jù)兩個根的不同情況寫出微分方程的通解.求解步驟雖簡單，但其背后的原理復(fù)雜，解題思想高中階段難以理解.

3 基于簡單微積分的運(yùn)動學(xué)方程推導(dǎo)方法

基本思想是避開高中階段還未涉及的微分方程及其特征方程、通解等理論，僅應(yīng)用導(dǎo)數(shù)、微分和積分等簡明易懂的理論推導(dǎo)和求解.

3.1 方法的思想和步驟

式（1）是二階導(dǎo)函數(shù)且右端只含有因變量x，不明顯的含有自變量t，無法直接通過導(dǎo)數(shù)微分轉(zhuǎn)換和分離變量求解積分.1728年，歐拉曾考慮了一類二階微分方程，通過引入新的變量和指數(shù)函數(shù)，利用變量替換將它轉(zhuǎn)換為一階微分方程，這是最早的二階微分方程系統(tǒng)研究［5］.這里需要避開微分方程理論及指數(shù)函數(shù)，但考慮無阻尼諧振動動力學(xué)特征方程的特殊形式，很容易通過變量替換對方程進(jìn)行微分降階，進(jìn)而通過簡單的分離變量和積分知識求解.

（1）根據(jù)運(yùn)動學(xué)物體的位移、速度、加速度和時間的關(guān)系式，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，把位移對時間的二階導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為速度及其對位移一階導(dǎo)數(shù)乘積的形式，實(shí)現(xiàn)二階微分降階為一階微分，x對t的導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為v對x的導(dǎo)函數(shù).

（2）通過分離變量x和v，形成位移微分和速度微分的等式，等式兩端再積分后，求得速度對位移的函數(shù)關(guān)系.此為第一次變量分離和積分.

（3）由位移對時間的導(dǎo)數(shù)替代（2）中的v，再通過分離變量x和t，形成位移微分和時間微分的等式，兩端積分后，求得位移對時間的函數(shù)關(guān)系，即簡諧振動的運(yùn)動學(xué)方程.此為第二次變量分離和積分.

3.2 方法應(yīng)用

根據(jù)導(dǎo)數(shù)和運(yùn)動學(xué)知識，物體運(yùn)動的位移x，速度v和加速度a有如下關(guān)系

利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則并結(jié)合上式，把位移對時間的二階導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為速度及其對位移一階導(dǎo)數(shù)乘積的形式，即

因此，式（1）可轉(zhuǎn)換為

從式（1）轉(zhuǎn)換為式（5）的意義在于，把二階導(dǎo)函數(shù)降階為一階導(dǎo)函數(shù)，同時把x對t的導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為v對x的導(dǎo)函數(shù)，為求解v和x的函數(shù)關(guān)系創(chuàng)造條件.

將式（5）分離變量，化為微分形式并兩端積分

求解積分，得

上式中E＝mC1為總的機(jī)械能分別為動能和彈性勢能.

引入常量A2替換常量，將式（6）變形為

根據(jù)初始條件位移為x0，速度為v0，可確定常量A

根據(jù)式（7）解得

將式（3）代入式（8）

將式（9）轉(zhuǎn)換成微分形式并兩端積分

因

所以

根據(jù)初始條件位移為x0，時間t＝0，可確定出常數(shù)C2的值

上式即為式（2）給出的簡諧振動運(yùn)動學(xué)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，式中A為振幅，ω為角頻率，φ0為初相位.通過上述推導(dǎo)，簡諧振動中各個特征量的物理、數(shù)學(xué)意義及相互關(guān)系也更加清晰.

3.3 方法的適用性

上述方法還適用于同為簡諧振動的LC震蕩電路中電流隨時間變化的規(guī)律推導(dǎo).一般情況下對于型的動力學(xué)特征方程求解問題仍然適用，亦即加速度函數(shù)僅明顯含有位移變量、不明顯的含有時間變量的情況，如萬有引力場、點(diǎn)電荷電場中物體或帶電粒子的速度、位移求解問題.

【例題】帶正電量Q的點(diǎn)電荷固定在長度為2l的絕緣平直光滑軌道左端，帶正電量q，質(zhì)量為m的粒子從軌道中點(diǎn)由靜止釋放.假設(shè)帶電粒子除電場力外不受其他外力作用，求帶電粒子位移隨時間變化的運(yùn)動學(xué)方程和從軌道右端滑出時的速度.

求解過程：取連結(jié)點(diǎn)電荷和帶電粒子的直線為x軸，其方向水平向右，取點(diǎn)電荷為坐標(biāo)原點(diǎn).

設(shè)t時刻帶電粒子的位置則速度和加速度分別為

根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律，得

根據(jù)式（4）進(jìn)行微分降階并分離變量、兩端積分

求解積分，得

所以

帶電粒子從軌道右端滑出時，x＝2l，代入上式，即可求得帶電粒子滑出軌道時的速度

將式（11）中的v用表示，并進(jìn)行分離變量和兩端積分

通過換元法令x＝lsec2α，對上式積分求解

4 結(jié)束語

簡諧振動極大地促進(jìn)了近代數(shù)學(xué)和物理學(xué)融合發(fā)展［5］，學(xué)習(xí)理解從諧振動動力學(xué)特征方程導(dǎo)出運(yùn)動學(xué)方程的數(shù)學(xué)原理和過程，對高中階段微積分、三角函數(shù)、運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)、電磁場的系統(tǒng)學(xué)習(xí)和融會貫通都很有幫助，本文給出的方法具有如下作用：

（1）避開了微分方程理論，通過簡明易懂的微分降階、變量替換、變量分離和積分求解，從動力學(xué)特征方程導(dǎo)出簡諧振動運(yùn)動學(xué)方程，能夠被高中生理解，可用于課上講解，激發(fā)學(xué)生向更高層次學(xué)習(xí)的求知欲.

（2）將微積分思想貫穿始末，能夠啟發(fā)高中生運(yùn)用近現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想建模和解決物理問題.推導(dǎo)過程串聯(lián)了運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)、能量守恒、微積分、三角函數(shù)等重要知識點(diǎn)，有助于數(shù)學(xué)、物理學(xué)科融會貫通.

1 程守珠，江之永.普通物理（下）.北京：高等教育出版社，2006.2～6

2 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上）.北京：高等教育出版社，2007.335～336

3 蔡群，劉燕.簡諧振動運(yùn)動方程的推導(dǎo).蒙自高等師范?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2001（2）：4～6

4 胡濟(jì)通.簡諧運(yùn)動的能量、圓頻率以及振動方程的確定.物理教師，2002（08）：12～15

5 （美）莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想（第二冊）.張理京，張錦炎，江澤涵，等譯.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2014.70～82