恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具 有效組織物理教學(xué)*

張國坤

(曲靖市第一中學(xué)云南 曲靖655000)

*云南省十二五教育科學(xué)規(guī)劃課題“高中新課程數(shù)學(xué)與其他學(xué)科教學(xué)整合研究”研究成果之一,項(xiàng)目編號：BE14017

摘 要：在正確理解與把握數(shù)學(xué)與物理關(guān)系的基礎(chǔ)上，恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)學(xué)工具，可以達(dá)到有效組織物理教學(xué)的目標(biāo).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)物理使用有效組織

收稿日期：(2015-06-17)

作者簡介：張國坤(1967-),男，云南省特級教師，云南曲靖市學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭人，2012年云南省教育科研先進(jìn)個(gè)人，從事高中數(shù)學(xué)和物理教學(xué)與研究工作．

早晨在學(xué)校足球場上跑步，聽到有幾位學(xué)生在足球場邊上大聲背誦物理公式，“牛頓第二定律……，F(xiàn)=ma”，也有學(xué)生在背誦數(shù)學(xué)定理、公式.筆者覺得這么大好的時(shí)光用來背誦定律和公式，有點(diǎn)可惜，盡管不是我教的學(xué)生，作為“好事者”、“好心人”，筆者還是停下腳步去奉勸這幾位學(xué)生，“建議你們早晨大聲朗讀、背誦語文或者英語，物理、數(shù)學(xué)這種課程，要重視分析理解，把道理想通了，公式自然就容易記憶了，再做一些習(xí)題訓(xùn)練一下，也就更容易理解更記得住了！”筆者心中暗想，這些學(xué)生的數(shù)理化成績一定不是優(yōu)秀的，他們也夠認(rèn)真的，可惜方法不當(dāng)，效率就不高了.

數(shù)學(xué)是物理學(xué)科探尋和表征的工具.數(shù)學(xué)對物理學(xué)科的學(xué)習(xí)和教學(xué)非常重要.物理教師在教學(xué)中要善于將數(shù)學(xué)與物理作教學(xué)的整合，要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識分析、解決物理問題，將物理實(shí)際問題化歸為數(shù)學(xué)問題處理.但是，在學(xué)生對物理的學(xué)習(xí)中和教師對物理教學(xué)中存在著一些誤判誤用的情形.盡管數(shù)學(xué)對于物理的教與學(xué)非常重要，但不能過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的作用.物理教學(xué)必須教出物理味道來，物理教學(xué)一定要體現(xiàn)出物理的規(guī)律和方法，例如猜想假設(shè)、實(shí)驗(yàn)探究、觀察分析、數(shù)據(jù)采集分析、數(shù)學(xué)表征、物理解題等.如何恰當(dāng)用好數(shù)學(xué)工具來有效組織物理教學(xué)，提高物理教學(xué)效率，下面給出一些思考.

1把物理概念規(guī)律的感悟理解放在首位(物理第一數(shù)學(xué)第二)

1.1關(guān)于物理概念教學(xué)

物理概念就是客觀事物(包括物理現(xiàn)象)的物理屬性和本質(zhì)特征在人們頭腦中的反映，是對事物物理屬性的抽象，是觀察、實(shí)驗(yàn)、思維相結(jié)合的綜合產(chǎn)物.物理概念是物理學(xué)大廈的基石，闡述物理學(xué)，就要從剖析一個(gè)個(gè)物理概念開始.

每一個(gè)物理概念都有一個(gè)特有的“名字”，如壓強(qiáng)、速度、加速度、力、向心力、電場、電場強(qiáng)度等，往往用“……叫做……”的形式來取“名字”(下定義).

物理概念的學(xué)習(xí)需要恰當(dāng)?shù)那榫?、過程和思考，物理實(shí)驗(yàn)就可以提供(或再現(xiàn))這種情景和過程，這種過程包括物理現(xiàn)象的產(chǎn)生、發(fā)展過程，也包括人們動(dòng)腦思考和分析的過程.教師只有引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這種“情景、過程和思考”，并注意數(shù)學(xué)的恰當(dāng)使用，使學(xué)生真正感悟概念的物理屬性和本質(zhì)特征，然后引導(dǎo)學(xué)生對概念作出界定(定義).磨刀不誤砍柴工，這樣的教學(xué)才是富有實(shí)效的，富有后勁的.

1.2關(guān)于物理規(guī)律的教學(xué)

物理規(guī)律就是物理現(xiàn)象和物理過程在一定條件下發(fā)生、發(fā)展和變化的必然趨勢及其本質(zhì)聯(lián)系的反映，它反映的是物理現(xiàn)象或過程中的各相關(guān)概念之間的相互聯(lián)系，通常用文字語言來描寫，用數(shù)學(xué)工具來表述(如物理公式)，在書籍文本中被歸納、抽象為物理定律、定理、原理或公式.譬如，萬有引力定律，揭示了自然界物體之間隱藏著的物理現(xiàn)象：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比，用數(shù)學(xué)工具(等式方程)表征為

其中的比例系數(shù)G叫做萬有引力常量.這個(gè)物理現(xiàn)象體現(xiàn)為兩個(gè)物體的引力、質(zhì)量、距離等物理概念之間的量的關(guān)系，引力常量G是這種關(guān)系的橋梁和紐帶.

許多物理規(guī)律的探索發(fā)現(xiàn)，道路是曲折的，過程是艱辛的，時(shí)間是漫長的！有的規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，需要經(jīng)過幾代人接力式的探索研究.學(xué)生學(xué)習(xí)物理規(guī)律，重復(fù)前人的探索歷程是不可能也不必要的，但需要學(xué)習(xí)、了解前人研究物理現(xiàn)象、探索物理規(guī)律的成功經(jīng)驗(yàn)和思想方法.物理教學(xué)需要體現(xiàn)過程，體現(xiàn)物理知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，體現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)識思維過程.從學(xué)生過程性地學(xué)習(xí)物理規(guī)律來講，不外乎兩類途徑：一類是歸納法，從特定的具體物理情景(包括實(shí)驗(yàn))歸納出一般性的結(jié)論；另一類就是通過演繹的途徑，通過若干項(xiàng)物理原理(以假設(shè)的方式提出)或已經(jīng)總結(jié)出來的物理定律，進(jìn)行邏輯推演，得出新結(jié)論.教師需要清楚地把握這兩種途徑，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，選用設(shè)計(jì)哪種途徑組織學(xué)生學(xué)習(xí)探究，思路必須清晰.不管選擇哪種途徑，都要“重結(jié)果，更要重過程”，讓學(xué)生體驗(yàn)“猜想、實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)分析、歸納、分析思考”的某些必要過程，讓學(xué)生自己得出結(jié)論.對于難以做到的“實(shí)驗(yàn)或過程”，也要組織學(xué)生認(rèn)真閱讀教材(甚至科普讀物)，必要時(shí)教師作一些故事性的介紹，了解前人的探索歷程，學(xué)習(xí)“規(guī)律”一步步被發(fā)現(xiàn)、被揭示的經(jīng)過.

案例：人教版普通高中物理教材必修2第六章“萬有引力定律”的發(fā)現(xiàn)，教材采用的是演繹模式的途徑(首先源于天文學(xué)中星體間關(guān)系的研究，但要具體通過實(shí)驗(yàn)測量星球質(zhì)量、距離、引力是辦不到的，即使在現(xiàn)代的高科技條件下也難辦到).

必修1已經(jīng)安排了位移、速度、加速度、相互作用(力)、牛頓第一、二、三定律的學(xué)習(xí)，必修2第五章安排了圓周運(yùn)動(dòng)、向心加速度、向心力的學(xué)習(xí).

第6.2小節(jié)編排“太陽與行星間的引力”， 在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，利用已經(jīng)學(xué)習(xí)過的物理規(guī)律進(jìn)行邏輯的、數(shù)學(xué)化的演繹推算(這是讓學(xué)生思考、聯(lián)系、推導(dǎo)的過程訓(xùn)練的最典型素材，建議教師不要把結(jié)論直接拋給學(xué)生，一定要組織引導(dǎo)學(xué)生親手慢速地推導(dǎo)演算).

推導(dǎo)：行星非常近似地做以太陽為中心的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，令行星質(zhì)量為m，運(yùn)行線速率為v，圓周軌道半徑為r，則行星運(yùn)行的向心加速度為

據(jù)牛頓第二定律知向心力

(1)

其中m，v，r，a都是理論值，天文觀測難以測量.

設(shè)行星公轉(zhuǎn)周期為T(各行星的T不同，設(shè)而不求，用來代換和傳遞)，則

(2)

將式(2)代入式(1)得

(3)

(4)

將式(4)代入式(3)得

(5)

換位思考，設(shè)太陽質(zhì)量為M，太陽與行星之間力的作用是相互的，太陽吸引行星的力的反作用力F′就是行星吸引太陽的力，應(yīng)該有

(6)

由式(5)、(6)可知，行星與太陽之間存在著相互作用的力，其大小與太陽質(zhì)量、行星質(zhì)量都成正比，與兩者距離的平方成反比，即

引入比例系數(shù)G，將這個(gè)規(guī)律用數(shù)學(xué)公式(等式)表征出來就是

比例系數(shù)G叫做引力常量，適合于任何兩個(gè)物體.讓學(xué)生閱讀教材知道，100多年后，英國物理學(xué)家卡文迪什在實(shí)驗(yàn)室里通過實(shí)驗(yàn)較準(zhǔn)確地測量求出G的數(shù)值，目前普通計(jì)算中通常取G=6.67×10-11N·m2/kg2．

然后及時(shí)安排應(yīng)用性練習(xí)，加深理解.

“不經(jīng)歷風(fēng)雨，怎能見彩虹”，物理規(guī)律(定律、公式等)的教學(xué)，不能“重結(jié)果輕過程”，也不能走另一個(gè)極端“重過程輕結(jié)果”，而是要“既重結(jié)果也重過程”，要“先體驗(yàn)過程后導(dǎo)出結(jié)果”，要讓學(xué)生“曾經(jīng)經(jīng)歷過”“酸甜苦辣”，要讓學(xué)生看到物理規(guī)律的數(shù)學(xué)公式就會(huì)聯(lián)想到公式產(chǎn)生的過程和環(huán)節(jié)，聯(lián)想到物理學(xué)家的探索經(jīng)歷.要使物理教學(xué)的過程變成學(xué)生理性思維、科學(xué)精神、人文情懷的培養(yǎng)陶冶過程.

2把數(shù)學(xué)作用滲透在物理概念的認(rèn)識理解中

凡是具有大小高低屬性的物理概念，譬如質(zhì)量、重力、壓力、彈力、摩擦力、壓強(qiáng)、比熱、重力勢能、電勢能、電壓、電流、電容、電阻、電場強(qiáng)度、動(dòng)能、功、磁場強(qiáng)度等等都有大小強(qiáng)弱的屬性，都需要用數(shù)量來表征刻劃，顯然與數(shù)學(xué)相關(guān)，學(xué)生對這些概念的學(xué)習(xí)理解也就需要用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法來支撐.學(xué)生對某些數(shù)學(xué)化的物理概念較難理解(譬如圓周運(yùn)動(dòng)的加速度)，物理教師就要引導(dǎo)學(xué)生分析物理情景,定性分析與定量分析相結(jié)合，恰當(dāng)?shù)乩脭?shù)學(xué)知識和方法來剖析概念，對概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵和困難之處要“慢速度”處理，做好“慢鏡頭特寫”的解剖分析工作，必要時(shí)先弄清楚相關(guān)數(shù)學(xué)，再用之分析物理概念.這不僅是突破難點(diǎn)的需要，更是培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力的有效途徑.譬如，前述對壓強(qiáng)概念教學(xué)的微課設(shè)計(jì).

再如，關(guān)于圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度，學(xué)生理解是有較大困難的，要認(rèn)真對待教材開頭提供的問題情境：第20頁例2，光滑桌面上一個(gè)小球由于細(xì)線的牽引，繞桌面上的圖釘做勻速圓周運(yùn)動(dòng).小球受到幾個(gè)力的作用？這幾個(gè)力的合力沿什么方向？教師引導(dǎo)學(xué)生做“慢鏡頭”分析，光滑桌面對小球的摩擦力忽略不計(jì)，小球僅僅受到重力G、水平面支持力N、細(xì)繩拉力T共3個(gè)力的作用，重力G和支持力N大小相等方向相反,G+N=0，從而3個(gè)力的合力恰好等于細(xì)線對小球的拉力T,即小球受到的合力恰好等于T，T的方向始終指向圓心．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)盡管速度的大小(速率)保持不變，但方向隨時(shí)改變，速度矢量也必然隨時(shí)改變，小球的運(yùn)動(dòng)必然有加速度的作用，根據(jù)牛頓第二定律，這個(gè)加速度a必然是合力T所導(dǎo)致的，a與T的方向一致，都指向圓心，因此把小球此時(shí)所受的外力叫做小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，把加速度a叫做向心加速度.再讓學(xué)生舉一些類似的例子進(jìn)行分析.這樣，就可以使學(xué)生定性地認(rèn)識向心加速度這個(gè)概念了.

3把數(shù)學(xué)作用貫穿在物理規(guī)律的假設(shè)探尋中

物理規(guī)律反映的是物理中概念與概念、量與量之間的依賴關(guān)系.人們對這種關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，往往是根據(jù)物理現(xiàn)象和趨勢進(jìn)行推測、猜想、假設(shè)，然后再設(shè)法檢驗(yàn)、驗(yàn)證或推算而獲得結(jié)果的.學(xué)生的學(xué)習(xí)也需要這樣的某些必要的過程，教師最好的作用之一就是將學(xué)生引上這樣的過程.作為示例，下面分析對圓周運(yùn)動(dòng)的“向心加速度”與相關(guān)概念間的數(shù)量關(guān)系的探究學(xué)習(xí)(必修2第5.5節(jié))，這也是學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)的教學(xué)突破.

情境設(shè)置：用一根細(xì)繩一端系著一個(gè)有一定重量的物體，手執(zhí)細(xì)繩另一端，旋轉(zhuǎn)，讓小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(保證安全)，繩長不變時(shí)，讓運(yùn)動(dòng)加快，感覺到繩子拉力如何變化？(變大).向心力如何變化？(變大).如果保持一定的運(yùn)動(dòng)速度，讓繩子長度變大(手持繩子讓其逐漸梭動(dòng))，感覺到拉力如何變化？(變小).向心力如何變化？(變小). 教師先示范，然后安排兩三個(gè)學(xué)生體驗(yàn)，把感受說給大家聽.

猜想：質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，速率越大，則向心力越大，向心加速度也越大；運(yùn)動(dòng)速率不變時(shí)，半徑越大，則向心力越小，向心加速度也越小.推測，向心加速度的大小可以用速率v和半徑r表示？如果能表示，這個(gè)表達(dá)式是什么呢？

探尋：(回想)質(zhì)點(diǎn)在Δt時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長等于Δs，則質(zhì)點(diǎn)在Δt時(shí)間內(nèi)的平均線速度

勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度是矢量，其方向始終沿質(zhì)點(diǎn)所在位置處圓周的切線方向.

圖1 圖2

記∠AOB=Δθ，Δt較小時(shí)，∠AOB與∠A′O′B′都是銳角,由數(shù)學(xué)平面幾何知識知∠A′O′B′=∠AOB=Δθ，弦A′B′的長度即為Δv．

設(shè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為v.當(dāng)Δt充分小時(shí)，認(rèn)為

Δv=A′B′=vΔθ

則

物理規(guī)律反映的是物理概念之間的量與量間的等量關(guān)系或其他關(guān)系，需要并可以用等式、方程、函數(shù)、圖像或其他數(shù)學(xué)知識來刻畫和表征.但是，這種表征，數(shù)學(xué)知識體現(xiàn)了它對于物理的工具作用，這種表征需要以物理過程的體驗(yàn)感悟作為基礎(chǔ).物理教學(xué)的重心首先還是要幫助學(xué)生真正理解物理現(xiàn)象的實(shí)質(zhì)，理解物理規(guī)律中各概念間的本質(zhì)聯(lián)系，要感悟物理知識產(chǎn)生、發(fā)展、聯(lián)系的過程.死記硬背物理公式是低效的，要堅(jiān)持“物理第一數(shù)學(xué)第二”意識.只有這樣，對數(shù)學(xué)所表達(dá)的物理公式才想得透、玩得轉(zhuǎn)、用得活.

4把數(shù)學(xué)作用貫穿在物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)收集分析中

5把數(shù)學(xué)作用恰當(dāng)?shù)刎灤┯谖锢韱栴}的求解過程

物理問題的教學(xué)，是整個(gè)物理教學(xué)的重要組成部分.通過物理問題的求解訓(xùn)練，鞏固和深化對物理概念和規(guī)律的理解，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.幫助學(xué)生逐步提高分析、解決問題的能力，是最重要的教學(xué)目標(biāo)之一.許多物理概念(標(biāo)量、矢量)是用數(shù)學(xué)表征的，幾乎所有發(fā)現(xiàn)的定量性的物理規(guī)律都是用數(shù)學(xué)表征的，因此，數(shù)學(xué)的知識和思想方法對于物理解題就顯得十分重要.正因?yàn)槿绱?，有的學(xué)生就會(huì)本末倒置，以為記住物理公式后套用物理公式就可以求解物理題了，形成“上課聽得懂，書上的習(xí)題也會(huì)做，可就是拿到別的題就不會(huì)做”的無助的局面.

求解物理問題，數(shù)學(xué)重要，但不要急于套用公式，該出手時(shí)再出手.題不在多，善于分析則靈.物理解題教學(xué)，建議訓(xùn)練學(xué)生遵循如下基本程序：

(1)(前提)真正理解課本中的相關(guān)物理概念和規(guī)律；

(2)認(rèn)真審題，必須清楚條件是什么(在哪里)，目標(biāo)是什么(哪里去);

(3)做好物理特性的實(shí)質(zhì)分析，譬如運(yùn)動(dòng)問題，首要的不是套用運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)公式，而是確定研究對象，分析運(yùn)動(dòng)過程，準(zhǔn)確做好受力分析，準(zhǔn)確聯(lián)系物理規(guī)律(如牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)量定理、動(dòng)能定理等)；

(4)把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，注意各種因素的協(xié)調(diào)整和，設(shè)計(jì)解題途徑，解決數(shù)學(xué)問題；

(5)回答物理問題．

解題訓(xùn)練還要堅(jiān)持解題后的總結(jié)反思，用到哪些物理概念、規(guī)律和思想方法？用到怎樣的數(shù)學(xué)手段？能優(yōu)化改進(jìn)嗎？有何得失？總結(jié)反思是提高解題能力的重要環(huán)節(jié).

【例題】質(zhì)量為m的木塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，某人用拉力F使木塊沿地面勻速直線運(yùn)動(dòng)，請你確定拉力F的最小值和它的方向．

解題程序：

(1)讀題審題：……

(2)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：勻速直線運(yùn)動(dòng).

(3)受力分析：研究對象是木塊，木塊受4個(gè)力的作用，即重力G，地面的支持力N，地面摩擦力f和拉力F，作出如圖3所示的受力分析．

圖3

(4)物理規(guī)律：問題涉及摩擦力與壓力的關(guān)系，牛頓第一、二、三定律.木塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所受合外力等于零.

Fcosθ=f

Fsinθ+N=G=mg

f=μN(yùn)

聯(lián)立解得

利用三角函數(shù)輔助角公式得

當(dāng)且僅當(dāng)sin(θ+φ)=1 時(shí)，F(xiàn)取得最小值

當(dāng)sin(θ+φ)=1時(shí)

則θ=arctanμ(反正切)．

6恰當(dāng)?shù)匕l(fā)揮數(shù)學(xué)圖形在物理學(xué)習(xí)探究中的作用

物理學(xué)科中許多作圖問題，都是以平面幾何知識或函數(shù)圖像知識作為基礎(chǔ)，教師要引導(dǎo)學(xué)生做有心人，把平面幾何知識和函數(shù)圖像知識應(yīng)用到物理學(xué)習(xí)探究中去.用好平面幾何知識可以使作圖規(guī)范準(zhǔn)確；函數(shù)圖像也是物理的有力工具，用好函數(shù)圖像知識，可以形象直觀地分析、研究某些物理規(guī)律.

物理教學(xué)中要用好教材中典型的圖像問題，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用圖像表達(dá)、解決某些物理問題.

圖4

7謹(jǐn)防數(shù)學(xué)對物理學(xué)習(xí)產(chǎn)生消極抑制作用

數(shù)學(xué)是物理學(xué)的重要工具，定量物理都離不開數(shù)學(xué)，但過分依賴數(shù)學(xué)就容易產(chǎn)生負(fù)遷移，產(chǎn)生消極抑制作用.物理是具體的，數(shù)學(xué)是抽象的，物理問題不是純數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)方法處理物理問題，必須注意物理概念的基本屬性和物理規(guī)律的本質(zhì)意義，要謹(jǐn)防數(shù)學(xué)的負(fù)遷移消極作用發(fā)生.列舉一些例子分析如下：

(1)小學(xué)、初中數(shù)學(xué)和物理都只有標(biāo)量計(jì)算，高一學(xué)習(xí)位移、力等矢量的加減法計(jì)算，學(xué)習(xí)困難學(xué)生受標(biāo)量計(jì)算的定勢影響太深，對矢量加減運(yùn)算感到“不可思議”，教師要做好富有針對性的引導(dǎo)、分析、示范工作，此處設(shè)計(jì)“示錯(cuò)糾錯(cuò)“的教學(xué)是有實(shí)效的.

圖5

(4)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的v-t圖像如圖5所示.圖像是一條射線，則質(zhì)點(diǎn)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由圖可知，加速度

這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，正確答案是

在物理的v-t圖像中，t軸表示時(shí)間，v軸表示速率，兩者的物理意義不同，兩軸所取的單位長度不同，初速度為零的勻速直線運(yùn)動(dòng)的加速度一般不等于v-t圖像(射線)傾角的正切值，除非橫軸、縱軸單位長度相等.