新疆兵團第一師高級中學 李志剛

針對近年來的高考試題來看，教學中“圓錐曲線的最值問題”的命制借助《課程標準》與《考試大綱》的要求，圓錐曲線的最值問題是各種考試的常見題型，解析此類問題和解代數(shù)中的最值問題方法類似。但是圓錐曲線的最值問題與曲線有關，教學中可以根據(jù)學情不同，進行歸納和整理出：利用曲線的性質研究圓錐曲線的最值問題是它特有的方法。

一、化為二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最值

依據(jù)條件求出用一個參數(shù)表示的二次函數(shù)解析式而自變量都有一定的變化范圍，然后用配方法求出限制條件下函數(shù)的最值，就可得到問題的解。

例1曲邊梯形由曲線及直所圍成，試問通過曲線上的哪一點作切線，能使此切線從曲邊梯形上切出一個最大面積的普通梯形。

[分析] 先求出適合條件的一條切線方程，再求出這條切線與直線的交點坐標，根據(jù)梯形面積公式列出函數(shù)關系式，再求出最值。

[解] 設為曲線上一點，過這點的切線的斜率是，故切線方程是

切線①與x=1的交點的縱坐標是，與x=2的交點的縱坐標是，所以切線①在曲線梯形上切出梯形的中位線長，梯形的高為1.故普通梯形的面積為

當時, 最大，故過點作切線能切出最大面積的普通梯形。

二、利用圓錐曲線性質求最值

有些問題先利用圓錐曲線的定義或性質給出關系式，再利用幾何或代數(shù)方法求最值，可使題目中的數(shù)量關系更直觀，解題方法更簡捷。

例2 已 知 雙 曲 線的右焦點為F，點A(9,2)，試在雙曲線上求一點M，使M的值最小，并求這個最小值。

[解]如圖，作右準線l，作MN⊥l于N，作 AA′⊥A′于A′，由題意得。由雙曲線的第二定義有

所以當且僅當AA′與雙曲線右支的交點，即點M為時，取最小值。的最小值為。

三、化為一元二次方程，利用判別式求最值

把圓錐曲線的最值問題轉化為含有一個未知量的一元二次方程，利用△≧0解得要求未知量的范圍，然后確定其最值。

例3 直線l：y=x+9，橢圓C：，求以橢圓C的焦點F1,F2為焦點，且與直線有l(wèi)公共點M的橢圓長軸最短的橢圓方程。

[分析]由于直線l與所求橢圓有公共點，可以由方程組得到一個一元二次方程，再利用判別式確定所求橢圓長軸的最小值。

[解]橢圓C的焦點設所求橢圓C′的方程為

橢圓的長軸最短時，a2=45

此時 x=-5,y=4，點M的坐標為（-5，4）

四、利用不等式求最值

列出最值滿足的關系式，利用均值不等式中等號成立的條件求最值。

例4 定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=x上移動，是線段M的AB中點，求M到y(tǒng)軸的最短距離。

[分析]設

故所求橢圓方程為，則，即求x的最小值。

線段 AB的中點M(x,y)到y(tǒng)軸的距離為

當且僅當時，x取得最小值，此時，故M點到y(tǒng)軸的最短距離是

五、利用函數(shù)的性質求最值

有些圓錐曲線的最值問題可以先轉化成為函數(shù)問題，然后利用函數(shù)的單調性、有界性等性質求最值。

例5 已 知 橢 圓與x軸、y軸的正半軸分別相交于點AB，當點p在第一象限內并在橢圓上變動時，求四邊形OAPB的面積S的最大值。

六、利用平面幾何的有關知識求最值

對于有些圓錐曲線求最值問題，可以將其轉化為平面幾何問題，借助一些平面幾何知識求最值。

例6 已知橢圓，點A(4，0)是它的右焦點，B(2，2) 是橢圓內一點，M是橢圓上一動點，求|MA|+|MB|的最大值和最小值。

[分析]左焦點A′（-4，0），由橢圓定義知|MA|+|MA′|=10 ，而|MB|·|MA′|·|A′B′|在同一三角形中，利用三角形三邊之間的關系式求最值。

[解]橢圓左焦點A′（-4，0），由橢圓定義可得|MA|+|MA′|=10。

如圖：

當點M在BA′的延長線上時，|MA|+|MB|有最大值，即

如圖,

即當點M在A′B的延長線上時，|MA|+|MB|有最小值，即

通過試題的講解與分析，引導學生從不同的角度來加以認知和掌握圓錐曲線。針對圓錐曲線的最值問題從方程與曲線著手，也反映了數(shù)學問題中的數(shù)與形的密切關系，這類問題涉及的數(shù)學知識較多，解題方法靈活。

因此，求圓錐曲線最值問題能進一步的促進數(shù)學知識的有機聯(lián)系和融會貫通，也能不斷地使學生的數(shù)學階梯技能得到全面訓練與提升。