福建省壽寧縣犀溪中學(xué)分校 葉允銘

函數(shù)是用來描述現(xiàn)實(shí)生活中某種變化規(guī)律，是變化規(guī)律的一種定性或定量的描述。函數(shù)的知識(shí)在中學(xué)階段是一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，特別是二次函數(shù)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來比較吃力，是學(xué)習(xí)過程中的一個(gè)瓶頸。而探索圖形變化規(guī)律，要求學(xué)生具有一定的空間想象能力和歸納能力，是從復(fù)雜現(xiàn)象中揭示本質(zhì)的一個(gè)認(rèn)知過程，也是學(xué)習(xí)中的一個(gè)重難點(diǎn)。對(duì)于這些知識(shí)教師在教學(xué)過程中如何弱化難點(diǎn)，揭示規(guī)律，整合材料，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣呢，筆者結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)踐初探如下。

一、函數(shù)y=ax2+bx+c模型的討論

函數(shù)y=ax2+bx+c模型既可以表示二次函數(shù)，也可以表示一次函數(shù)，還可以表示常數(shù)函數(shù)。當(dāng)a不等0時(shí)，該函數(shù)模型表示二次函數(shù)，當(dāng)a=0，b不等于0時(shí)表示一次函數(shù)，當(dāng)a、b同時(shí)為0時(shí)表示常數(shù)函數(shù)。要求函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式，利用待定系數(shù)法，這里有3個(gè)字母a、b、c待定，需要過三個(gè)點(diǎn)，代入函數(shù)表達(dá)式，從而轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)于a、b、c的三元一次方程組即可求解。

二、探索圖形規(guī)律

探索圖形規(guī)律是一種要求尋找圖形變化與對(duì)應(yīng)序數(shù)（自然數(shù)）的一種規(guī)律關(guān)系，或者是說揭示圖形變化與自然數(shù)的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三、兩者間的內(nèi)在關(guān)系

不管是求函數(shù)的表達(dá)式還是尋找圖形的變化規(guī)律，都是揭示兩個(gè)變量之間的內(nèi)在關(guān)系，都是揭示現(xiàn)實(shí)生活中某種規(guī)律性的東西。所以，這兩者之間，表面看起來不一樣，本質(zhì)卻是一樣的，都是揭示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

那么如何將圖形變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的表達(dá)式呢？

例如，北師大九年級(jí)（下）第二章《二次函數(shù)》復(fù)習(xí)題P84-85

下圖中每一個(gè)圖形中各有多少個(gè)小圓圈？第6個(gè)圖形有多少個(gè)？第100個(gè)圖形有多少個(gè)？第n圖形又有多少個(gè)？

通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)圖形只有1個(gè)小圓圈，第二個(gè)圖形有3個(gè)小圓圈，第三個(gè)圖形有6個(gè)小圓圈。當(dāng)然我們不可能一直這樣數(shù)下去，那怎么辦呢？第一個(gè)圖形對(duì)應(yīng)1，第二個(gè)圖形對(duì)應(yīng)3，第三個(gè)圖形對(duì)應(yīng)6，要求第n個(gè)圖形對(duì)應(yīng)多少個(gè)小圓圈。而這種對(duì)應(yīng)關(guān)系跟我們的點(diǎn)坐標(biāo)具有共性，所以，我們不妨把這種對(duì)應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化坐標(biāo)，即（1，1）、（2，3）、（3、6），就是要求坐標(biāo)（n,m），從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)m=an2+bn+c的表達(dá)式，(注意，這里不能對(duì)a進(jìn)行限制)，把這三個(gè)點(diǎn)代入得：

解得

由②－①得3a＋b＝2 ④

由③－②得5a＋b＝3 ⑤

由⑤－④得2a＝1，a＝0.5

即

所以，m=0.5n2+0.5n，這時(shí)m、n關(guān)系是一個(gè)二次函數(shù)關(guān)系，只不過自變量的取值范圍是自然數(shù)而已。

1．函數(shù)關(guān)系式中m=an2+bn+c，a不等0

例1、將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請(qǐng)仔細(xì)觀察，第n個(gè)圖形，有___個(gè)小圓。（用含n的式子表示）

自然數(shù)與圖形的對(duì)應(yīng)數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化函數(shù)坐標(biāo)的關(guān)系即（1，6）、（2，10）、（3，16），代入函數(shù)表達(dá)式an2+bn+c，即可求出n2+n+4

例2、（2014?武漢，第9題）觀察下列一組圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中第1個(gè)圖中共有4個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)圖中共有10個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)圖中共有19個(gè)點(diǎn)，…按此規(guī)律第5個(gè)圖中共有點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）

分析：通過觀察，第一個(gè)圖形有4個(gè)點(diǎn)，即（1，4），第二個(gè)圖形有10個(gè)點(diǎn)，即（2，10），第三個(gè)圖形有1 9個(gè)點(diǎn)，即（3，19），代入函數(shù)關(guān)系m=an2+bn+c，容易求出a=1.5,b=1.5,c=1,即m=1.5n2+1.5n+1，當(dāng)n=5時(shí)，m=46。

2．函數(shù)關(guān)系式中m=an2+bn+c，a等于0

例3、如圖用圍棋子按下面的規(guī)律擺圖形，則擺第n個(gè)圖形需要圍棋子的枚數(shù)是（ ）

分析：第一個(gè)圖形有棋子數(shù)5枚，即（1，5），第二個(gè)圖形有棋子數(shù)11枚，即（2，11），第三個(gè)圖形有棋子數(shù)17枚，即（3，17），把這三個(gè)點(diǎn)代入m=an2+bn+c，即可求出：a=0,b=6,c=-1,即m=6n-1，因?yàn)橐?guī)律是未知，故不能對(duì)a的取值進(jìn)行限制。

當(dāng)然對(duì)一些比較簡(jiǎn)單、可直接看出的圖形規(guī)律，就沒必要利用該函數(shù)模型來探索。

例4、如圖，第n個(gè)圖形中有__個(gè)小正方形？

分析：第一個(gè)圖形有1個(gè)小正方形，即(1，1)，第二個(gè)圖形有4個(gè)小正方形，即(2，4)，第三個(gè)圖形有9個(gè)小正方形，即(3，9)。這個(gè)規(guī)律比較容易發(fā)現(xiàn)，即縱坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)的平方，所以第n個(gè)圖形有n2個(gè)圖形。

四、利用y=ax2+bx+c模型探索規(guī)律要注意哪些問題

1．自變量必須是序數(shù)，即自然數(shù)

2．三個(gè)點(diǎn)的確定必須是準(zhǔn)確的

3．結(jié)果必須是要檢驗(yàn)的

4．該模型不是萬能的,對(duì)于指數(shù)類型的函數(shù)就不能使用

五、結(jié)束語(yǔ)

利用函數(shù)y=an2+bn+c模型只是探索規(guī)律的一個(gè)工具（模型），不可能也不會(huì)解決所有的問題。例如細(xì)胞分裂、核彈爆炸等就不滿足這種規(guī)律。如細(xì)胞一分種分裂成兩個(gè),兩分鐘分裂成四個(gè)，3分鐘分裂成8個(gè)，那n分鐘分裂成2n個(gè)。