☉江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 唐勇

導(dǎo)函數(shù)視角下函數(shù)零點(diǎn)問題的判定*

☉江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 唐勇

高考試題中滲透零點(diǎn)知識(shí)的題型相當(dāng)廣泛，常見的有：方程的根、函數(shù)的極值和最值、求參數(shù)的取值范圍、函數(shù)零點(diǎn)存在的條件等問題.本文以導(dǎo)數(shù)背景下零點(diǎn)的存在問題為例，進(jìn)行分析研究.

一、零點(diǎn)的存在依賴于極值的正負(fù)

通常情況下：若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；若f（x）在其定義域上不單調(diào)：（1）當(dāng)方程f′（x）=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f（x）有極大值f極大值（x）或極小值f極小值（x）時(shí)，若f極大值（x）＜0或f極小值（x）＞0，則沒有零點(diǎn)，若f極大值（x）=0或f極小值（x）=0，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，若f極大值（x）＞0或f極小值（x）＜0，則有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)方程f′（x）=0有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且函數(shù)f（x）有極大值時(shí)：若f極大值（x）·f極小值（x）＞0，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，若f極大值（x）=0或f極小值（x）=0，則有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，若

例1已知函數(shù)f（x）=ea-x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R.

（1）求函數(shù)g（x）=xf（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）試確定函數(shù)h（x）=f（x）+x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

解析：（1）略.

（2）h（x）=ea-x+x，h′（x）=1-ea-x.令h′（x）=0，得x=a．h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，a）．

所以h（x）的最小值為h（a）=1+a.

①當(dāng)1+a＞0，即a＞-1時(shí)，函數(shù)h（x）不存在零點(diǎn).

②當(dāng)1+a=0，即a=-1時(shí)，函數(shù)h（x）有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)1+a＜0，即a＜-1時(shí)，h（0）=ea＞0，下證h（2a）＞0.

令m（x）=ex-2x，則m′（x）=ex-2.解m′（x）=ex-2=0，得x= ln2.當(dāng)x＞ln2時(shí)，m′（x）＞0，所以函數(shù)m（x）在［ln2，+∞）上是增函數(shù).取x=-a＞1＞ln2，得m（-a）=e-a+2a＞eln2-2ln2=2-2ln2＞0，所以h（2a）=e-a+2a=m（-a）＞0.結(jié)合函數(shù)h（x）的單調(diào)性，可知此時(shí)函數(shù)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)a＞-1時(shí)，函數(shù)h（x）不存在零點(diǎn)；當(dāng)a=-1時(shí)，函數(shù)h（x）有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a＜-1時(shí)，函數(shù)h（x）有兩個(gè)零點(diǎn).

評(píng)析：此法可視為判斷函數(shù)零點(diǎn)問題的“通法”，在分類思想的指導(dǎo)下，借助導(dǎo)數(shù)通過研究函數(shù)的單調(diào)性，通過最值（極值）的情況得到相應(yīng)含參不等式（等式），以限制根的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到參數(shù)范圍，使問題得到解決.

二、參變分離后轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)值域問題

對(duì)于含參數(shù)的零點(diǎn)問題，若能將參數(shù)分離出來，則將未知的函數(shù)轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的值域問題，使問題得以簡(jiǎn)潔解決.在參數(shù)分離的過程中若不能實(shí)現(xiàn)參數(shù)單獨(dú)分離，則可以考慮參數(shù)的整體分離.

例2已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數(shù)．討論函數(shù)y=f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

若a＞1，則f（x）無零點(diǎn)；若f（x）有零點(diǎn)，則a≤1．

若a=1，f（x）=lnx-ax+1=lnx-x+1，易知f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x=1.

若a≤0，f（x）=lnx-ax+1單調(diào)遞增，易知f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）無零點(diǎn)；當(dāng)a=1或a≤0時(shí)，f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn).所以f（x）在單調(diào)遞增區(qū)間

評(píng)析：參變量完全分離的優(yōu)點(diǎn)是圖像y=a更簡(jiǎn)潔些，換言之問題可以轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)值域問題，方程根的個(gè)數(shù)問題被直觀化為平行于x軸的直線與確定圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；困難則在于借助導(dǎo)數(shù)作稍復(fù)雜函數(shù)的圖像時(shí)，邊界（包括無窮遠(yuǎn)或開區(qū)間端點(diǎn)附近）的函數(shù)值的確定亦即區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)的圖像走勢(shì)，處理辦法往往要借助于極限思想，而參變量分離的程度往往決定著解題的難易.

三、復(fù)合函數(shù)換元轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

當(dāng)復(fù)合函數(shù)y=f（g（x））不易具體化或簡(jiǎn)化來分析它的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常常通過整體換元轉(zhuǎn)化為方程f（m）=0與m=g（x）的根的個(gè)數(shù)，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（m）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及直線y=m與y=g（x）的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例3若函數(shù)y=f（x）在x=x0處取得極大值或極小值，則稱x0為函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn).已知a、b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn).

（1）求a和b的值；

（2）設(shè)h（x）=f（f（x））-c，其中c∈［-2，2］，求函數(shù)y= h（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析：（1）a=0，b=-3.

（2）當(dāng)h（x）=f（f（x））-c=0時(shí)所得x的值為函數(shù)y=h（x）的零點(diǎn).

令m=f（x），將方程f（f（x））=c等價(jià)轉(zhuǎn)化為f（m）=c，m=f（x）.

由導(dǎo)數(shù)知識(shí)很容易畫出f（x）= x3-3x的圖像，且f（-2）=f（1）=-2，f（-1）=f（2）=2.

①當(dāng)c=-2時(shí)，由f（x）的圖像知f（m）=c有兩個(gè)解m1=1、m2=-2（即直線y=c與y=f（m）的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)）.再看m=f（x）.當(dāng)m1=1時(shí)，直線y=1與y=f（x）的圖像有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m2=-2時(shí)，直線y=-2與y=f（x）的圖像有2個(gè)交點(diǎn).

故此時(shí)方程f（f（x））=c共有5個(gè)不同的解.

②當(dāng)c=2時(shí)，由f（x）的圖像知f（m）=c有兩個(gè)解m3=2、m4=-1（即直線y=c與y=f（m）的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)）.再看m= f（x）.當(dāng)m3=2時(shí)，直線y=2與y=f（x）的圖像有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m4=-1時(shí)，直線y=-1與y=f（x）的圖像有3個(gè)交點(diǎn).故此時(shí)方程f（f（x））=c共有5個(gè)不同的解.

③當(dāng)-2＜c＜2時(shí)，由f（x）的圖像知f（m）=c有三個(gè)不同的解m5、m6、m7，滿足|mi|＜2，i=5、6、7.再看m=f（x）.y=m5、y= m6、y=m7這三條平行于x軸的直線與y=f（x）的圖像各有3個(gè)交點(diǎn).

故此時(shí)方程f（f（x））=c共有9個(gè)不同的解.

綜上所述，當(dāng)|c|=2時(shí)，函數(shù)y=h（x）有5個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)|c|＜2時(shí)，函數(shù)y=h（x）有9個(gè)零點(diǎn).

評(píng)析：本題的解法凸顯學(xué)生的基本功和較復(fù)雜問題的處理能力，更重要的是它可以為一類問題的解決提供值得借鑒的問題解決經(jīng)驗(yàn)和解決模式.

四、零點(diǎn)的存在受所給區(qū)間端點(diǎn)的限制

針對(duì)閉區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)問題，零點(diǎn)既可以在區(qū)間內(nèi)取得，也可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，解題中可結(jié)合零點(diǎn)的存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f（a）·f（b）＜0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，x=c也即為方程f（x）=0的根.

例4已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-mx.

（1）求函數(shù)f（x）的極值；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，e2-1］上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.

當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，無極值.

（2）由（1）可知：當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間［0，e2-1］上單調(diào)遞增，所以f（x）在區(qū)間［0，e2-1］上不可能恰有兩個(gè)零點(diǎn).

由f（0）=0，得0為f（x）的一個(gè)零點(diǎn).

若f（x）在［0，e2-1］上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，只需

評(píng)析：本題在定區(qū)間［0，e2-1］內(nèi)零點(diǎn)的判斷中，f（0）=0是問題化繁為簡(jiǎn)的關(guān)鍵，因此只要保證另外一個(gè)零點(diǎn)在所給區(qū)間內(nèi)即可.零點(diǎn)的存在定理使問題得以簡(jiǎn)潔解決.

綜上所述，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中應(yīng)對(duì)重點(diǎn)問題的常規(guī)考查題型進(jìn)行深入的探究，理順?biāo)悸?，形成解決問題的通法，以不變應(yīng)萬變.

*本文系江蘇省教育科學(xué)規(guī)劃“十二五”課題《高中數(shù)學(xué)微課題研學(xué)型課堂的構(gòu)建研究》（編號(hào)D/2013/02/683）階段性成果.