譚高山

(安徽工業(yè)大學 數(shù)理科學與工程學院，安徽 馬鞍山 243002)

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工科研究生數(shù)值分析課程教學的認識與改革

譚高山

(安徽工業(yè)大學 數(shù)理科學與工程學院，安徽 馬鞍山 243002)

在工科研究生數(shù)值分析課程教學中針對教學時數(shù)少、教學實驗缺乏等問題，整合教學內(nèi)容、采用啟發(fā)式教學、開展直觀教學、加強實踐教學、改革考核方式等對提高教學質(zhì)量、培養(yǎng)學生科研和創(chuàng)新能力具有重要作用。

數(shù)值分析；工科研究生；教學改革

當今科學活動有三大手段：理論研究、科學試驗和科學計算。面對比較復雜的具體問題時，理論分析往往無從下手，科學試驗又具有很大的局限性，因而科學計算被推到了人類科學研究的前沿，大大拓展了人類科學活動范圍，豐富了科學研究的內(nèi)涵,數(shù)值分析是科學計算的基礎和核心。[1]

數(shù)值分析在培養(yǎng)學生抽象思維能力和解決實際問題的能力等方面起著非常重要的作用。許多高校把數(shù)值分析作為工科研究生公共必修課和公共學位課，并且數(shù)值分析在自然科學、工程技術、經(jīng)濟管理，乃至人文社會科學中都有著重要的應用，因此數(shù)值分析課程的教學與改革[2,3]日益受到重視。

一、課程特點和教學現(xiàn)狀

一是，內(nèi)容多而雜，學生層次多，但教學時數(shù)少。從數(shù)學問題的來源和類型來看，數(shù)值分析包括：方程(組)求根、最優(yōu)化方法、數(shù)值逼近論、統(tǒng)計計算、數(shù)理方程數(shù)值解等。目前工科碩士研究生的數(shù)值分析主要包括數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)、方程求根。由于研究生招生規(guī)模大和招生類型多，學生知識層次差別大，而這門課的學時一般都比較少(目前我校只有36學時)。

二是，計算復雜，但復雜問題教學不夠。數(shù)值分析是解決復雜問題的科學方法，通常都需要大量的計算。如果學生只做一些簡單的數(shù)值模擬題，難以領會和理解計算要領和步驟，尤其不能體會問題的條件和限制范圍。因而也就失去了數(shù)值分析解決大規(guī)模復雜問題的意義。而現(xiàn)階段教學中，學生沒有機會面向計算機解決復雜問題。

三是，理論方法抽象，直觀性差，但教學實驗缺乏。數(shù)值分析必須包含兩個方面，連續(xù)系統(tǒng)的離散化和離散型方程的數(shù)值求解。經(jīng)歷了十多年的經(jīng)典數(shù)學的解析求解方法的訓練，學生對數(shù)值計算的解本身理解起來比較困難。譬如常微分方程數(shù)值解，實際教學中，學生很難理解為什么問題的解是一系列點，經(jīng)常會把迭代得到的函數(shù)值當成問題的解，這違背了求解微分方程的初衷。離散、近似思想貫穿整個數(shù)值分析教學過程，學生已有的知識既對數(shù)值分析教學必不可少，但也形成了問題連續(xù)性求解的思維定勢。另外，該課程一些基本的概念，如誤差、穩(wěn)定性、收斂性、計算復雜性的理解也很困難，只有通過不斷的算法設計和分析才能理解這些概念。但在教學中，只注重講授數(shù)值方法的原理，大量冗長而繁瑣公式推導和算法的分析占用了整個教學過程的幾乎所有時間，很少有學生實驗、實踐機會，因而也就不能充分調(diào)動學生的主動性。

二、課程教學改革實踐

(一)精選教材，整合教學內(nèi)容

受教學條件限制或者教學功利性影響，工科研究生數(shù)值分析課程的內(nèi)容十分有限。應該將傳統(tǒng)的數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)、常微分方程數(shù)值解、偏微分方程數(shù)值解以及最優(yōu)化等內(nèi)容整合成一門課，這樣不僅節(jié)約教學時數(shù)，也能系統(tǒng)培養(yǎng)學生科學計算能力，真正發(fā)揮助力專業(yè)研究的作用。筆者曾同時講授過工科研究生的數(shù)值分析和最優(yōu)化課，嘗試將兩者結(jié)合，效果十分理想。

工科研究生數(shù)值分析課程要求學生理解計算原理，掌握計算方法，最終使用各種算法，所以教學中可以淡化理論證明，強化算法思想和計算機實現(xiàn)，因此需要選擇有側(cè)重的方法講解、算法設計和例題演算的教材。[4,5]對要求較高的專業(yè)，也可選用國外優(yōu)秀教材，[6]讓學生在學習專業(yè)知識的同時提高閱讀外文文獻的能力。

除了教材，合適的參考書也是必須的，因為學生知識層次復雜，可以按照難易程度分別指定參考書。在教學中還可以精編適合本校學生、本校專業(yè)的講義，以便能在有限的學時內(nèi)讓學生更好地掌握數(shù)值方法，這對于提高教學效果十分有意義。

(二)改進教學方式和方法

由于研究生數(shù)值分析課程重視理論教學，實驗教學幾乎為零，學生修完課程后，面對實際問題仍然無從下手。因此，教師需要廣泛吸取先進的教學經(jīng)驗，積極大膽進行教學改革。

一是從實際出發(fā)，注重問題引入，采用啟發(fā)式教學。數(shù)值分析中設計的問題是從實際中提煉出來的數(shù)學模型，因此應盡量從實例中提出問題，引導學生尋找解決問題的方法，然后再給出相應的數(shù)學思想提出具體數(shù)值解決辦法。當然也可以激發(fā)學生用已學過的方法來求解。如積分問題可以用學生熟悉的牛-萊公式不用去找原函數(shù)，甚至不需要知道被積函數(shù)，只需要函數(shù)上一些點，這是不是一件令人興奮的事呢？又如線性方程組，學生可能會用初等變換法求解，如果是幾十上百的線性方程組呢？如果方程解不唯一呢？如果是矛盾方程呢？這樣既引入了線性方程組迭代解法，也給出了最小二乘思想。學生也進一步理解了解析方法與實際問題之間的差距，學習能力強的學生可能就會聯(lián)想到一般線性方程組求解。

教學中還要注意“文化反哺”現(xiàn)象。學生是站在時代前沿的佼佼者，他們可能會有更多更新的問題和看法，教師要正確對待并加以引導。這也要求教師不斷更新教學內(nèi)容，及時將國內(nèi)外最新研究成果有選擇、有目的地結(jié)合課程內(nèi)容介紹給學生。

二是借助Matlab平臺，開展直觀教學。以科學計算軟件包Matlab為基礎開發(fā)的20多個工具箱可用于解決諸多專業(yè)中的數(shù)值計算問題。該軟件已經(jīng)成為發(fā)達國家高等院校理工科必須掌握的基本軟件，也是科學研究和工程設計部門解決具體問題的一種標準軟件。

與抽象的內(nèi)容相比，生動、直觀的知識更易接受。Matlab強大的圖像可視化功能可以實現(xiàn)教學中數(shù)形結(jié)合，將抽象的難于理解的內(nèi)容直觀的呈現(xiàn)給學生。一個典型的例子就是，多項式插值的Runge現(xiàn)象。初等數(shù)學對于低于三次的多項式有些直觀介紹，但學生對于高次多項式并沒有直觀的印象。利用Matlab畫出過函數(shù)f(x)=1/(x2+1),x∈[-5，5]上整點的10次多項式和原函數(shù)，震蕩現(xiàn)象一目了然，插值誤差也很清楚。

借助Matlab平臺，是數(shù)值積分方法的改進、誤差變小的過程，非線性方程求解的迭代過程，最小二乘擬合結(jié)果等等均能直觀的呈現(xiàn)出來。

三是加強實踐教學，培養(yǎng)應用能力。數(shù)值分析是一門應用性很強的計算課程，為了培養(yǎng)學生計算大規(guī)模問題的能力和對計算方法的實際應用能力，必須加強實踐，但要防止從只會用筆算走向只會用現(xiàn)成的程序?qū)崿F(xiàn)的另一個極端。通過簡單的筆算雖然不能完全掌握算法的實現(xiàn)，但是對于學生理解算法步驟很有幫助。加強實踐的一個重要方面就是典型算法要編程上機實現(xiàn)，寫出實驗分析報告。另一方面，課程結(jié)束后讓學生解決自己專業(yè)中的一個數(shù)值問題，通過查閱資料、建立模型、設計算法上機、得到問題求解結(jié)果，學生可以體會到科研的整個過程，從而達到培養(yǎng)學生運用所學知識解決實際問題的能力。教學實踐表明，實踐環(huán)節(jié)既能加深對知識的理解，幫助學生從會“算”到會“用”，又有助于培養(yǎng)學生解決實踐問題的科學計算能力，還有助于培養(yǎng)學生探索和創(chuàng)新的精神。

例如，學生利用插值法處理有殘缺的圖像得到左上圖后，覺得不是很理想，自己查閱資料找到雙線性插值的方法，順利完成了右上圖，效果得到一定改善，接著又完成了后面兩種插值方法的圖像處理。課程結(jié)束后又實現(xiàn)了PDE理論在圖像去噪中的應用，從而得到高質(zhì)量的圖像。如圖1所示。

四是改革考核方式。傳統(tǒng)的閉卷筆試難以全面衡量教學效果，數(shù)值分析課程本身特點決定了不可能在兩個小時內(nèi)完成大綱要求的基本的計算。筆者在教學中采用三種方式加權(quán)的考核方法：閉卷考試(規(guī)定時間獨立完成)、數(shù)值實驗報告提交(實驗課作業(yè))和算法在專業(yè)中的應用(課程結(jié)束后分組以小論文的形式提交)。不同專業(yè)權(quán)重不同。

[1]石鐘慈．第三種科學方法——計算機時代的科學計算[M]．北京：清華大學出版社，2000：7-14.

[2]殷明，朱曉臨，陳曉虹，陳國琪．計算方法課程改革的設想與實踐[J]．大學數(shù)學，2006(5):15-17.

[3]涂俐蘭．研究生“數(shù)值分析”課程教學初探[J]．高等理科教育，2009(5):70-73.

[4]施吉林，劉淑珍，陳桂芝．計算機數(shù)值方法[M]．北京：高等教育出版社，2009.

[5]任玉杰．數(shù)值分析及其Matlab實現(xiàn)[M]．北京：高等教育出版社，2007.

[6]Richard L.Burden，J.Douglas Faires．NumericalAnalysis(SeventhEdition)[M]．Thomson Brooks/Cole，2001.

(責任編輯 雷金火)

Understanding and Reform of Numerical Analysis for Graduates in Engineering Majors

TAN Gao-shan

(School of Mathematics and Physics, Anhui University of Technology, Ma'anshan 243002, Anhui, China)

Regarding problems in numerical analysis course teaching for engineering graduate students, such as lacking of teaching hours and teaching experiment, the practice of teaching content integration, the use of heuristic teaching method, the application of direct teaching, the enhancement of practice teaching, and the reform of assessment is vital to the improvement of teaching quality and the cultivation of students’ ability of scientific research and innovation.

numerical analysis; graduate students of engineering majors; teaching reform

2014-06-21

譚高山(1979-)，女，山東臨沂人，安徽工業(yè)大學數(shù)理科學與工程學院講師，博士研究生。

O241; G420

A

1671-9247(2015)04-0115-02