陳順芳，徐四六

(湖北科技學院 電子與信息工程學院，湖北 咸寧 437100)

準周期性光學晶格中BEC孤子動力學特征的研究

陳順芳，徐四六

(湖北科技學院 電子與信息工程學院，湖北 咸寧 437100)

本文研究了二維厄米特光晶格中BEC孤子的動力學特征，結(jié)合二維的G-P方程，采用分步傅里葉算法，模擬了光在二維厄米特光晶格中的BEC孤子的分布特性。結(jié)果表明周期性光學晶格可以控制BEC孤子分布，可作為有效的、可控的物質(zhì)波孤子控制器和分裂器。

玻色-愛因斯坦凝聚；G-P方程；光學晶格；BEC孤子；分步傅里葉算法

孤子是非線性科學中的一個非常重要的課題。自從孤子現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)后，孤子的研究得到了快速發(fā)展。在介質(zhì)中傳播的波，其波形通常會逐漸彌散直至消退。而孤子就是波在不變形的狀態(tài)下傳播一段距離的現(xiàn)象。產(chǎn)生孤子的必要條件是存在非線性。使孤子能夠產(chǎn)生并維持波形穩(wěn)定不變則要求系統(tǒng)的非線性和系統(tǒng)其他的物理效應(如光纖中的色散效應、光折變介質(zhì)中的衍射等)共同作用來維持。BEC孤子的主要特征是穩(wěn)定性、局域性和波粒二象性。由于孤子具有的這些特性，孤子系統(tǒng)在現(xiàn)實世界有著廣泛的應用潛力(如通過對光孤子的研究使長距離、大容量光纖通信成為可能)。因此，孤子的形成及其特性研究在目前是一個十分誘人的課題。

目前，在實驗中，光晶格(optical lattices)已成為研究BEC相性質(zhì)、宏觀量子性質(zhì)、物質(zhì)波干涉以及從Mott絕緣態(tài)到超流態(tài)相變等問題。BEC被視為單一的原子波，孤子現(xiàn)象已經(jīng)在光晶格中的BEC中被觀察到，其行為決定于原子之間的相互作用。理論上，人們采用不同的方法對光晶格中的BEC孤子的動力學行為進行了大量的研究。然而，關于準周期性光學晶格對BEC孤子的動力學行為的研究，確鮮有報道。

本文基于二維的G-P方程，在前期研究的基礎上，采用分步傅里葉算法模擬了在二維厄米特光晶格中BEC孤子動力學特征，研究表明二維厄米特光晶格可以調(diào)控BEC孤子，使之具有空間準周期性和對稱性。

一、理論模型

單個BEC在二維光學晶格中傳輸遵從下面歸一化方程：

(1)

R(r)=Hm(x)Hn(y)e-1(x2+y2)

(2)

其中Hm(ξ)=(-1)ne-ξ2(n=1,2,3…)為厄米多項式，m和n為厄米特函數(shù)的階數(shù)。

二、孤子的形成與分布

由于非線性偏微分方程(1)不易解析求解，故采用分步傅里葉變換方法進行數(shù)值求解。下面的圖1-2描繪的是在二維厄米特晶格中作用下，凝聚體的原子數(shù)密度(|u|2)隨時間的變化關系。在數(shù)值模擬中，設定初始凝聚體原子數(shù)密度的空間分布為高斯型u0=e-(x2+y2)，時間為t=120。

圖1描述的是階數(shù)對稱的光晶格和BEC孤子的空間分布特征。圖1中A,D,G分別為階數(shù)m=n=1,2,3的晶格在X-Y平面的強度空間分布圖。可以看到晶格分布具有空間對稱性，共有(m+1)(n+1)個極大值強度分布點。第二、三列分別為BEC孤子在 時的三維分布圖和在X-Y平面上的分布圖。可以看到BEC孤子的排列具有高度的空間周期性和對稱性，孤子個數(shù)為(m+n)個；有趣的是，當m和n的值較大時(m=n≥3)，孤子的振幅和強度不再相同。進一步研究發(fā)現(xiàn)，當厄米特晶格勢中的階數(shù)m=n，且取較大的值時(例如m=n=5,6)，形成的孤子的空間周期性與對稱性受到一定影響，孤子間發(fā)生了融合，孤子個數(shù)不等于(m+n)個。

圖1 光學晶格圖(A,D,G)與BEC孤子在 時的分布(三維B,E,H,二維,C,F,I)，此時相關的晶格階數(shù)( 分別對應于第一、二、三行)

圖2描述的是階數(shù)不對稱的光晶格和BEC孤子的空間分布特征。高斯光在厄米特晶格中能形成容易觀察和控制的孤子序列。由圖2中的A,B,C可以看到，當厄米特晶格晶格勢中的參數(shù)m和n不等，且取特殊的值時(例如本文中取的m=1，n=2),形成的孤子具有空間周期性與對稱性，且孤子個數(shù)為(m+n)；當厄米特晶格勢中的階數(shù)m和n不等(例如本文中取的m=2,n=3)，我們發(fā)現(xiàn)形成孤子的幅值不再相等，空間分布不具有對稱性。當晶格的階數(shù)進一步增加(見圖2中的G,H,I)，可以看到，BEC個數(shù)孤子排列仍不具有空間對稱性和周期性，孤子在形成過程中發(fā)生了融合，其個數(shù)不等于(m+n)。

圖2 光學晶格圖(A,D,G)與BEC孤子在 時的分布(三維B,E,H,二維,C,F,I)，此時相關的晶格階數(shù)(第一行m=1,n=2; 第二行m=2,n=3; 第三行m=3,n=4)

下面探討加入白噪聲對光晶格中BEC孤子穩(wěn)定性的影響。在數(shù)值模擬中，設定初始BEC分布為高斯型，所取的時間間隔分別為20,150和300，取厄米特晶格勢中的參數(shù)m=n=4(見圖3)。我們發(fā)現(xiàn)，孤子在形成過程中發(fā)生了融合。通過分析加入白噪聲Ω=0.6(D,E,F)和沒有加入白噪聲(A,B,C)的孤子分布，研究表明，即使加入白噪聲，BEC孤子傳輸是穩(wěn)定的。

圖3 BEC孤子在不同時間 時的空間，不加白噪聲(A,B,C)和加入白噪聲 (D,E,F)，此時相關的晶格階數(shù)m=n=4.

三、結(jié)論

本文研究了二維厄米特光晶格中BEC孤子的形成特征和穩(wěn)定性。結(jié)果表明，準周期性的二維厄米特光晶格可以操縱和調(diào)控BEC，使之具有空間周期性和對稱性，并能形成穩(wěn)定性的孤子。該研究為二維準周期性光學晶格作為有效的、可控的物質(zhì)波孤子控制器和分裂器的制作提供理論依據(jù)。

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2095-4654(2015)06-0034-02

2015-04-09

湖北科技學院教學項目(2012X021B)；全國大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)計劃項目(201210927052)

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