胡運紅，楊建雅，王鵬嶺

(運城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運城 044000)

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式下的大學(xué)數(shù)學(xué)微課探究
——以線性代數(shù)的某知識點為例

胡運紅，楊建雅，王鵬嶺

(運城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運城 044000)

隨著網(wǎng)絡(luò)化教學(xué)手段的應(yīng)用，高等數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)改革迫在眉睫。從線性代數(shù)課程的微課制作著手，分析和類比微課與翻轉(zhuǎn)課堂之間的關(guān)系，探索了大學(xué)數(shù)學(xué)類課程翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式，探討了微課對大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的促進(jìn)作用。

微課；MOOC；翻轉(zhuǎn)課堂；線性代數(shù)

2014年7月，中國互聯(lián)網(wǎng)信息中心公布了一個網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)：手機(jī)網(wǎng)民的規(guī)模達(dá)5.27億，網(wǎng)民中使用手機(jī)上網(wǎng)的人群比例一直持續(xù)增長[1]。互聯(lián)網(wǎng)和移動通訊等網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的快速發(fā)展，給以微課視頻為核心的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式提供了堅實的基礎(chǔ)。目前高等數(shù)學(xué)類微課大賽正是基于良好的網(wǎng)絡(luò)環(huán)境在全國廣泛開展。

1. 翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的國內(nèi)外應(yīng)用現(xiàn)狀

微課又名微課程(Micro class)是以微型教學(xué)視頻為載體，針對學(xué)科的一個知識點而設(shè)計的在線網(wǎng)絡(luò)視頻課程[2]。它最早可追溯到20世紀(jì)90年代出現(xiàn)的微講座(micro-lecture)，他們分別由美國的McGrew教授和英國的Kee教授提出。

翻轉(zhuǎn)課堂(Flipped classroom)起源于美國科羅拉多州森林公園高級中學(xué)，該學(xué)?；瘜W(xué)老師發(fā)現(xiàn)課后通過微視頻為課堂缺席學(xué)生補(bǔ)課的方式在提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果方面很顯著，進(jìn)而在全校進(jìn)行推廣。說起翻轉(zhuǎn)課堂，也不得不提美國人薩爾曼可汗(Salman Khan)，2007年成立了可汗學(xué)院網(wǎng)站，放置了2300多段微視頻課程，供學(xué)生在線學(xué)習(xí)。本質(zhì)上講，翻轉(zhuǎn)課堂就是將傳統(tǒng)課堂上的知識學(xué)習(xí)與課后的知識鞏固進(jìn)行顛倒，通過在線網(wǎng)絡(luò)提供視頻，使學(xué)生進(jìn)行在線學(xué)習(xí)，鞏固練習(xí)，課堂上進(jìn)行答疑輔導(dǎo)[3-6]。翻轉(zhuǎn)課堂體現(xiàn)了以學(xué)生為中心，以學(xué)生為主導(dǎo)的思想，注重學(xué)習(xí)過程，注重個性化學(xué)習(xí)，可以理解為顛倒傳統(tǒng)課堂，教師的角色與學(xué)生的角色都有所改變，課前看視頻，深入自學(xué)，課堂教師引導(dǎo)，與學(xué)生交流互動，答疑輔導(dǎo)。相比于傳統(tǒng)的教學(xué)模式，翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式對教師提出了新的挑戰(zhàn)。

進(jìn)入21世紀(jì)以來，學(xué)者專家對翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式逐步取得了共識，借助微課的工具，將每門課程分為若干個知識點，每個知識點錄制成長達(dá)5-20分鐘的小視頻，也就是微課視頻片段，教師將結(jié)合實時講解和PPT演示的視頻上傳到網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生在家中或課外觀看視頻中教師的講解，把課堂的時間節(jié)省出來進(jìn)行面對面的討論和作業(yè)，強(qiáng)化學(xué)生對知識的消化吸收。這種教學(xué)模式起到了積極的成效，翻轉(zhuǎn)課堂的理念在美國乃至世界各地被越來越多的中小學(xué)、大學(xué)接受，并逐漸發(fā)展成為教育教學(xué)改革的新浪潮。加拿大的“環(huán)球郵報”將翻轉(zhuǎn)課堂模式評為2011年影響課堂教學(xué)點重大技術(shù)變革。目前國內(nèi)對于翻轉(zhuǎn)課堂的研究更多集中在理念性和探討性的階段，對于課堂前的知識傳遞研究較少，而翻轉(zhuǎn)課堂的實施更多地要強(qiáng)調(diào)課堂前、課堂上、課堂后的設(shè)計與銜接，筆者結(jié)合線性代數(shù)課程中的排列與逆序數(shù)的微課視頻，對該問題進(jìn)行了探究，并重點探討翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式下的微課建設(shè)。

2. 大學(xué)數(shù)學(xué)微課對課堂教學(xué)的作用

微課伴隨著信息技術(shù)的發(fā)展應(yīng)運而生，它與移動互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展相輔相成，是人們進(jìn)行移動學(xué)習(xí)的重要載體，也符合目前學(xué)生和社會學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)需求。它是一門課程中每個知識點和技能點的小片段，它具有以下幾方面的優(yōu)點：

1)時間短，內(nèi)容短小精悍準(zhǔn)確

微課程的視頻一般是5-20分鐘不等，能用少的時間講清楚，不會再多占用一分鐘的時間。它不是課堂的錄像，也不是一節(jié)課知識點的縮減，一個微課的視頻就要講清楚一個知識點，一個問題及解決方法。這個時間點也正符合學(xué)生學(xué)習(xí)的注意力集中點，一般能集中注意力5-20分鐘，也可借助目前移動互聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢，學(xué)生更喜歡網(wǎng)絡(luò)化，“指尖化”的學(xué)習(xí)方式。

2)視頻有吸引力

微課的視頻往往采用各種多媒體技術(shù)，有聲音、有動畫，教師的形體語言被淡化，主要以聲音突出講課效果，使學(xué)生或者學(xué)習(xí)者一步步跟上講授者的節(jié)奏，最后把這個知識點接受和消化。

3)學(xué)習(xí)群體多樣化

對于一個微課視頻的學(xué)習(xí)，不一定必須是大學(xué)生，也不一定必須得有相關(guān)的基礎(chǔ)知識，一個微課件本身就可以完成要達(dá)到的學(xué)習(xí)目標(biāo)，它可以面對任意的學(xué)習(xí)者，也可以面對大學(xué)生，面對非本專業(yè)的學(xué)習(xí)人士。所以一個微課視頻的講解應(yīng)該清晰、具體、準(zhǔn)確生動，更多地強(qiáng)調(diào)一種個性化的指導(dǎo)。

4)一門課程的微課自成體系

一門課程整體要用微課的形式放于網(wǎng)絡(luò)上，首先需要將該課程分解為若干個知識點，每個知識點錄制一個微課視頻，從而形成這門課程的整體微課視頻，而這整體的微課視頻，就成為大學(xué)數(shù)學(xué)課程MOOC建設(shè)的內(nèi)容。

微課視頻的錄制，對大學(xué)數(shù)學(xué)課程建設(shè)起著非常重要的推動作用。首先，通過視頻動畫的制作，使得知識點形象生動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。其次，對教師也提出更高的要求，制作的視頻可以放到網(wǎng)上，必須得對知識點傳授準(zhǔn)確，視野開闊，知識廣泛。并且，制作的技術(shù)也需要教師與時俱進(jìn)地學(xué)習(xí)和提高多媒體的制作技術(shù)。最后，微課視頻和翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的實施，加強(qiáng)了教師和學(xué)生之間的橋梁。學(xué)生在課前觀看視頻，對課程已經(jīng)有所了解和預(yù)習(xí)，在課堂上，教師可以更有針對性地答疑解惑，針對問題來講解。

3. 線性代數(shù)微課的案例分析

結(jié)合運城學(xué)院教學(xué)型、地方性和應(yīng)用型的辦學(xué)定位，我們首先嘗試微課視頻的制作和翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式探索。對于大學(xué)數(shù)學(xué)類的課程，教師都可以先選擇某個或者某些知識點嘗試進(jìn)行微課視頻的制作，并在課堂上嘗試翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式改革。我們選擇了線性代數(shù)的一個知識點“排列與逆序數(shù)”制作微課視頻。該知識點的教學(xué)背景和目標(biāo)如下。

教學(xué)背景：為求解線性方程組，需要引入行列式工具，進(jìn)而需要排列理論。

教學(xué)目標(biāo)：通過分析3階行列式定義，借助排列的理論工具，使得階行列式的定義成為可能。

教學(xué)重點：通過案例說明排列的特點，從3階推廣得到階行列式定義。

教學(xué)難點：對換改變排列奇偶性的理解。

教學(xué)方法：案例式和類推法。

教學(xué)手段：多媒體。

該知識點的目標(biāo)非常明確，就是為了求解線性方程組，需要借助行列式這個工具，將大家熟知的三階行列式的定義推廣到階行列式，進(jìn)而要借助排列這個工具。

三階行列式定義如下：

(1)

從(1)中可以看出，它們都是一些乘積的代數(shù)和，而每一項乘積都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素構(gòu)成的，并且展開式恰恰就是由所有這種可能的乘積組成。另一方面，每一項乘積都帶有符號，這符號是按什么原則決定的呢？由此，想要推廣行列式定義，需要解決兩個問題：

1)展開式中有多少項？其中多少項正項？多少項負(fù)項？

2)每一項的符號如何確定？

由此，引出本節(jié)核心內(nèi)容，要通過排列來研究這兩個問題，使得行列式定義的推廣成為可能。

其次，講解大約5分鐘的核心定義，包括排列、逆序數(shù)、對換等定義。而在得到對換的性質(zhì)時，也就是要解決多少正項和負(fù)項的問題，這里，主要采用案例式的教學(xué)方法，說明對換改變排列的奇偶性。同時，也是采用循序漸進(jìn)的方法，從特殊到一般。首先下面一個案例說明排列可以改變相鄰對換的奇偶性。

471326 t=2+3+2+0+2+1=10

這個案例說明了，進(jìn)行一次相鄰對換，由奇排列變?yōu)榕寂帕?，奇偶性改變?/p>

其次，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)研究的一般方法是從特殊到一般，從已知到未知，從簡單到復(fù)雜。為了說明一般對換也能改變排列的奇偶性，我們繼續(xù)通過下面一個案例來說明。教學(xué)設(shè)計如下：

這個案例說明，對排列進(jìn)行一次對換，上面的排列由奇排列變?yōu)榕寂帕?，奇偶性改變。而且我們將結(jié)論也自然推廣到了對換的兩個數(shù)之間有m個數(shù)，需要對換2m+1次相鄰對換可以完成，也就是說奇偶性同樣發(fā)生改變。

在微課視頻的最后提出本節(jié)的思考問題：n級排列中有多少個奇排列？多少個偶排列？對行列式的影響是什么？

微課的最后給出小結(jié)，總結(jié)這講的所有知識點，共有3點：

1)在全部級排列中，奇、偶排列的個數(shù)相等，各有個n!/2．

2)三階行列式中共有6項，且正項有3項(固定行指標(biāo)，對應(yīng)的列指標(biāo)為偶排列)，負(fù)項有3項(固定行指標(biāo)，對應(yīng)的列指標(biāo)為奇排列)。即在三級行列式的展開式中，項的一般形式可以寫成

a1j1a2j2a3j3

其中j1j2j3是1，2，3的一個排列。可以看出，當(dāng)j1j2j3是偶排列時，對應(yīng)的項在行列式中帶有正號，當(dāng)j1j2j3是奇排列時帶負(fù)號。

3)由此，可以定義階行列式。

這樣我們就錄制了一節(jié)15分鐘左右的微課視頻，在講授的過程中，可以結(jié)合翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)方法，讓學(xué)生課前預(yù)習(xí)學(xué)習(xí)，課堂上討論，答疑解惑。

4. 結(jié)語

大學(xué)數(shù)學(xué)微課建設(shè)是一項長期的教學(xué)改革任務(wù)。作為一名普通教師，可以嘗試所講授那門課程微課小視頻的制作和運用。筆者認(rèn)為，任何一門專業(yè)課都可以嘗試將經(jīng)典的知識點制作成微課小視頻，5-20分鐘，適合學(xué)生網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)。系統(tǒng)來講，可以將自己所授的課程中的知識點和技能點提煉出來。比如，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的高等代數(shù)課程，可以將重要的知識點錄制成微課視頻，可重點考慮行列式定義、行列式按行展開公式、矩陣定義、矩陣求逆方法、線性方程組求解方法、二次型定義、線性空間定義、線性變換概念、特征值與特征向量等都可以錄制成微課視頻。在講課過程中，原汁原味地錄制成小視頻。一方面，學(xué)生下課后復(fù)習(xí)鞏固；另一方面，在下一次授課時可以讓學(xué)生先看視頻，課堂上答疑解惑，完成翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)方式的實施。

微課與翻轉(zhuǎn)課堂“聯(lián)合一起”形成一個課程系統(tǒng)即為慕課(MOOC)。目前，慕課正以信息化和網(wǎng)絡(luò)化的全新教學(xué)形式和以“學(xué)”為本的教學(xué)價值取向沖擊著我國的大學(xué)教育。我們高校的教師也面臨著諸多的挑戰(zhàn)。比如，教學(xué)模式從以前的以“講授”為主變?yōu)榱艘浴皩W(xué)”為本，課程設(shè)計的巧妙使得教師和學(xué)生都有優(yōu)質(zhì)的學(xué)習(xí)平臺。加快教育改革，高校之間互認(rèn)學(xué)分，學(xué)生隨心所欲選擇教師上課，促進(jìn)教師必須提高教學(xué)質(zhì)量以求生存等等。面對如此多的挑戰(zhàn)，我們需要理清微課、翻轉(zhuǎn)課堂和MOOC建設(shè)之間的關(guān)系，需要實事求是地考慮自己所帶課程更適合做哪一種教學(xué)模式改革。但是，微課教學(xué)也有一定的局限性。比如知識點零散化，缺乏系統(tǒng)性，學(xué)生的管理和制約機(jī)制有待改善等等。只有不斷制作微課視頻，嘗試教學(xué)改革，才能完善和解決存在的問題。因此，作為一名高校教師，應(yīng)該適應(yīng)學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變的需要，嘗試制作微課視頻，打造課堂教學(xué)特色，促進(jìn)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式改進(jìn)與提高。

[1] 田小梅，胡燦.全國高職院校微課教學(xué)現(xiàn)狀與思考[J].衡陽師范學(xué)院學(xué)報，2014(6).

[2] 王玉華，張敏慧.淺談微課、慕課和精品課程以及對教學(xué)的作用[J].內(nèi)蒙古醫(yī)科大學(xué)學(xué)報，2014(3).

[3] 徐永貴，劉成新.翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)實踐探索研究[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報，2015(1).

[4] 張金磊，王穎，張寶輝.翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式研究[J].遠(yuǎn)程教育雜志，2012(4).

[5] 何朝陽，歐玉芳，曹祁.美國大學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的啟示[J].高等工程教育研究，2014(2).

[6] 朱宏杰，朱赟.翻轉(zhuǎn)課堂及其有效實施策略芻議[J].電化教育研究，2013(8).

【責(zé)任編輯 馬太來】

2015-03-15

山西省高等學(xué)校教學(xué)改革項目(J2011086)；運城學(xué)院院級科研項目(XK-2014040,XK-2014034,XK-2014027)

胡運紅(1974-)，女，山西臨猗人，運城學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系副教授，博士，研究方向為最優(yōu)化理論與算法。

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