張 迪，王 麗，姜其暢，蘇艷麗

(運城學院 物理與電子工程系，山西 運城 044000)

量子力學中線性諧振子的可視化研究

張 迪，王 麗，姜其暢，蘇艷麗

(運城學院 物理與電子工程系，山西 運城 044000)

線性諧振子是量子力學中可以精確求解的一個典型問題。為了直觀地理解這一物理模型，借助MATLAB語言分別給出了一維和二維線性諧振子的波函數和概率密度分布圖。通過比對理論計算結果和可視化模擬圖形，既加深了對線性諧振子問題的理解，又激發(fā)了對量子力學的學習興趣。

線性諧振子；MATLAB語言；可視化

1. 引言

簡諧運動廣泛存在于自然界中。任何體系在平衡位置附近的小振動(例如，分子的振動、晶格的振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等)一般都可以看成是簡諧運動即諧振動。對眾多實際的諧振動的求解一般是從簡化的物理模型即線性諧振子出發(fā)，然后再考慮具體的物理情景[1,2]。目前，對一維、二維和三維線性諧振子的理論分析有很多詳細的報道[3-5]，但是借助計算機語言對相關理論進行可視化模擬的報道比較少[6]。本文主要借助MATLAB語言，給出了一維和二維線性諧振子的可視化圖形，從理論公式和可視化圖形兩個角度理解諧振子的波函數和概率密度分布的特性。

2. 一維線性諧振子的可視化研究

2.1 在H的本征態(tài)下的基本理論

對于一維諧振子，其勢能表示為

(1)

則體系的定態(tài)薛定諤方程為

(2)

為了便于后面的分析，選擇自然單位?=μ=ω=1，并令λ=2E則方程(2)簡化為

(3)

采用通用的求解方法，將方程(3)的解表示為

(4)

將(4)式代入方程(3)并整理，可得

(5)

方程(5)的解為Hermitian函數即

(6)

其中λ應滿足λ-1=2n，所以諧振子的能級為

(7)

將(6)帶入(4)式可以得到諧振子的波函數為

(8)

2.2 可視化模擬

在得到一維線性諧振子的波函數表達式(8)的基礎上，運用MATLAB語言編寫程序繪制不同能級下諧振子的波函數和概率密度分布圖像，如圖1所示。可以看到：波函數與ψ=0的直線的交點個數為n；概率密度分布滿足歸一化條件即所包含的面積之和為1。下面以n=2為例，從理論公式和圖形特點兩個角度來說明上述特點。

(9)

(10)

圖1 不同能級下一維諧振子的波函數和概率密度分布

3．二維線性諧振子的可視化研究

3.1 在(Hx，Hy)的共同本征態(tài)下的情況

關于二維線性諧振子的理論可以分別在直角坐標系和極坐標系中討論，下面，首先在直角坐標系的情況下，給出諧振子的波函數和能量表達式[2，3]。

體系的定態(tài)薛定諤方程為

(11)

同樣選擇自然單位?=μ=ω=1，并令ψ(x，y)=φ(x)φ(y)，借鑒一維諧振子的方法，并注意到二維諧振子在x和y方向上的獨立性，最終得到諧振子的波函數

(12)

從波函數和能級公式可以清楚的看出二維諧振子的簡并度為N+1。當N=0時，相應的基態(tài)波函數無簡并，其波函數和概率密度分布圖像為圖2所示。

圖2 N=0對應的波函數和概率密度圖像

同樣，當N=1和N=2時，波函數簡并度分別為2和3，其波函數和概率密度分布圖像分別如圖3、4所示。由圖2、圖3和圖4可以看到：波函數與ψ=0平面的交線個數為N；概率密度分布的極大值個數一般為N+1，但是當直角坐標的兩個維度的分量都不為零時如nx=ny=1的特殊情況，共有四個極大值。

圖3 時波函數和概率密度分布圖

圖4 時的波函數和概率密度分布圖

3.2 在(H，lz)的共同本征態(tài)下的情況

下面再從極坐標系的角度分析二維各向同性諧振子的情況。此時，體系的定態(tài)薛定諤方程為[5]

(13)

(14)

為了求解方程(14)，首先分析r→0和r→∞兩種特殊情況。根據分析結果給出

(15)

將(15)式代入(14)式，得

(16)

再令ξ=r2，由(16)式可得

(17)

通過觀察可以看出(17)式為合流超幾何方程，可以得到其解為

u(r)=F(-nr,|m|+1,r2)

(18)

結合方程(18)和(15)可以得到波函數的表達式

(19)

二維各向同性諧振子的能量本征值為

E=2nr+|m|+1=N+1

(20)

從波函數和能級公式同樣可以清楚的看出二維諧振子的簡并度為N+1。不同的本征態(tài)下的波函數即不同表象下的波函數，應該具有同樣的性質。為了說明這一點，我們給出(H,lz)共同本征態(tài)下當N=1時的波函數和概率密度分布圖。比較圖3和圖5，可以看到，與直角坐標的情況一樣，函數與ψ=0平面的交線個數為1；概率密度分布的極大值個數為2。

4. 總結

本文系統地分析了一維諧振子和不同本征態(tài)下二維諧振子的波函數和概率密度分布，并借助MATLAB語言畫出了每種情況下的一些能級的波函數和幾率密度圖像。從這些圖像中，我們可以更加形象地理解比較抽象的諧振子問題，而且這些圖像的繪制也鍛煉了學生的計算機應用能力，激發(fā)了學生的學習興趣。

[1] 邢淑芝，谷開慧，解玉鵬.在恒定弱電場中一維線性諧振子能級的計算[J].吉林化工學院學報，2010(3).

[2] 茍立丹，張志穎，朱瑞晗.二維耦合非線性諧振子的近似求解[J].大學物理，2012(8).

[3] 李嘉亮，張海英.一維及二維線性諧振子的算符解法[J].安慶師范學院學報，2002(4).

[4] 吳英，劉國躍.三維各向同性諧振子基態(tài)能量及波函數的兩種計算方法[J].綿陽師范學院學報，2007(8).

[5] 梁麥林，王軍.在極坐標中求解二維各向同性諧振子[J].大學物理，1999(12).

[6] 陳美華.一維線性諧振子的波函數和幾率密度作圖方法探討[J].懷化學院學報，2009(2).

【責任編輯 馬太來】

2015-03-11

張迪(1990-)，男，山西運城人，運城學院物理與電子工程系2011級本科生。

O413.1

A

1008-8008(2015)03-0034-03