丁永前

【摘 要】在近幾年各地的高考或模擬考試中，含有絕對值的函數(shù)的求解層出不窮，我們不妨稱之為“絕對值型函數(shù)”，絕對值型函數(shù)是大部分考生的弱點，更是難點所在，因為這類題目主要考察學(xué)生對基本函數(shù)的掌握和去絕對值的思想靈活運用的能力，若是基本功不扎實不能轉(zhuǎn)化為已學(xué)的基本函數(shù)類問題求解，若是靈活運用的能力不強(qiáng)，則不能通過知識的遷移將轉(zhuǎn)換后的問題進(jìn)行求解。

【關(guān)鍵詞】絕對值的函數(shù);函數(shù)求解

本文筆者通過對這類問題的思考，談?wù)劷鉀Q絕對值型函數(shù)的常用解法。

1.形如“y=|f（x）|”型。這是單一絕對值型函數(shù)，不論f（x）是已知函數(shù)還是含參數(shù)的未知函數(shù)，都可對f（x）值的正負(fù)進(jìn)行分類討論。

例1.（2014年淮陰市模擬試題）已知函數(shù)f（x）=ex，⑴求證：f（x）≥x+1;⑵求證：對任意的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得 ?-1<a成立。

解析：第⑴小題利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)g（x）=ex-x-1在x=0處求得最小值為0，故f（x）≥x+1得證;第⑵小題的絕對值若利用第⑴小題的結(jié)果進(jìn)行分析，可變形為 ?= ?= ?即證明對任意的a∈（0，+∞），總存在x∈（0，+∞）使得不等式f（x）-1-x<ax成立。只要證對任意的a∈（0，+∞），關(guān)于x的不等式ex-（a+1）x-1<0在（0，+∞）上有解。設(shè)u（x）=ex-（a+1）x-1，則u′（x）=ex-a-1，由u′（x）=0有x0=ln（a+1）>0，當(dāng)x∈（0，x0）時u′（x）<0;當(dāng)x∈（x0，+∞）時u′（x）>0。所以函數(shù)u（x）在（0，x0）為單調(diào)遞減，在（x0，+∞）為單調(diào)遞增。而u（0）=0，所以u（x0）<0，故ex-（a+1）x-1<0在（0，+∞）上有解，原題得證。

2.可轉(zhuǎn)化為“f（x）=x|x-a|”型函數(shù)。該型函數(shù)的圖像為關(guān)于x軸對稱的兩個二次函數(shù)在區(qū)間（-∞，a]和[a，+∞）上的兩個不同部分，如圖：

例2.（2014年徐州模擬題改編）已知a≠0，若函數(shù)f（x）=x|x-a|在區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，分別求出m，n的取值范圍 （用a表示）。

解析：由函數(shù)在開區(qū)間（m，n）上既有最大值又有最小值，則最大值、 最小值只能在函數(shù)的極值點處取得，由f（x）x2-ax（x≥a）-x2+ax（x<a），當(dāng)a>0時，由右圖可知極小值為0，極大值為 ?所以函數(shù)在開區(qū)間（m，n）上的最小值為f（a）=0，最大值為f（ ?）= ?，可知0≤m≤ ?，n>a，且n2-an≤ ?，解得a<n≤ ?;當(dāng)a<0時，求得 ?≤m<a， ?<n≤0。

3.形如“f（x）=|x-a|+|x-b|”或“f（x）=|x-a|-|x-b|”（其中a，b為已知的常數(shù)）的函數(shù).這是雙絕對值型函數(shù)中的類型，可用正負(fù)性分類討論的方法或者用數(shù)軸的幾何意義將絕對值去掉， 由f（x）=|x-a|-|x-b|有圖形⑴則f（x）≥|a-b|;由f（x）=|x-a|-|x+b|有其圖形⑵則-|a-b|≤f（x）≤|a-b|。

例3.（2014年湖北卷高考題改編）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f（x）=|x-a2|+|x-3a2|-4a2，若對任意的x∈R，都有f（x）≤f（x+2）成立，則實數(shù)a的取值范圍為 ? 。

解析：本題即為f（x）=|x-a|+|x-b|型函數(shù)，又3a2≥a2≥0，所以|x-a2|+|x-3a2|≥2a2，則當(dāng)x>0時f（x）≥-2a2且與x軸的交點為（4a2，0），由奇函數(shù)可知：當(dāng)x<0時f（x）≤2a2，且與x軸的交點為-（4a2，0），如圖。因為f（x）≤f（x+2）對任意的x∈R成立，所以f（x+2）的圖像恒在f（x）的上方或有部分重合，當(dāng)f（x）向左平移8a2個單位時為臨界值，從而有f（x）向左平移大于或等于8a2個單位時能滿足題意，故由8a2≤2解得- ?≤a≤ ?。

例4.（2014年南通模擬試題）設(shè)實數(shù)a使得不等式|2x-a|+|3x-3a|≥a2對任意實數(shù)x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合為 ? ? ? 。

解析一：設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-a|+|3x-2a|。方法一、對a的正負(fù)性進(jìn)行討論，去掉絕對值，實質(zhì)為求a>0和a<0兩種情形之下分段函數(shù)的最小值問題。對a分類討論為：當(dāng)a≥0時，有x< ?，f（x）=3a-5x; ?≤x≤ ?時f（x）=a-x x> ?;f（x）=5x-3a。由圖像可得x= ?時函數(shù)取得最小值，此時a≥0且 ?≥a2;解得0<a≤ ?;同理：當(dāng)a<0時，有x< ?f（x）=3a-5x; ?≤x≤ ?f（x）=x-a;x> ?f（x）=5x-3a由圖像可得x= ?時函數(shù)取得最小值，此時a<0且- ?≥a2，解得- ?≤a<0;當(dāng)a=0，易知原不等式恒成立.綜上所述，a的取值范圍為[- ?， ?]。

解析二：轉(zhuǎn)化為f（x）=|x-a|+|x-b|型求解。f（x）=|2x-a|+|x-b|型求解。f（x）=|2x-a|+|3x-2a|=2x- ?+3x- ?=2（x- ?+x- ?）+x- ?，其中2（x- ?+x- ?）在[ ?， ?]（a>0時）或[ ?， ?]（a<0時）上任意一點取得最小值，而x- ?在x= ?時取得最小值，綜上所述：當(dāng)x= ?時原函數(shù)取得最小值，故f（ ?≥a2）即可，解得a的取值范圍為[- ?， ?]。

波利亞在《怎樣解題》一書中，闡述了解題者在面對問題時尋求突破的一般思路。因此，教師平時在講評問題的過程中，應(yīng)注重對通性通法的講解，培養(yǎng)出學(xué)生自身的解題能力，若從不同的角度思考、觀察常常會有“橫看成嶺側(cè)成峰”的感覺，在面對絕對值型函數(shù)的求解，只要認(rèn)真分析、仔細(xì)琢磨參考上述方法，即可找到簡潔明快的解題方法。

（作者單位：江蘇省如皋市第一中學(xué)）