安徽省樅陽縣宏實中學 江保兵 (郵編：246700)

一道向量試題的探究和思考

安徽省樅陽縣宏實中學 江保兵 (郵編：246700)

1 試題及解法

將AB=6,AC=10代入上面的兩個式子中，化簡得：

6x+10cos∠BAC·y=3，6cos∠BAC·x+10y=5 ，又2x+10y=5，三式聯(lián)立解得：

①

②

2 試題推廣

即 2c2x+2bccosA·y=c2

①

2bccosA·x+2b2y=b2

②

解這個二元一次方程組，并由正余弦定理得：

這是我們在各種考試中經常見到的一種形式，例如下面這道試題就是以⑶為背景來命制的.

3 類比推廣

(4)當H為△ABC的垂心時，

證明 (1)、(2)證明比較簡單，留給讀者.這里主要給出(3)和(4)的證明.

(3)當Ia為△ABC中∠A所對的旁心時，過Ia作BC的平行線交BC的延長線于B1、C1.設BB1=ct，則IaB1=ct,IaC1=CC1=bt，如圖所示.

①.

所以

c2x+bccosA·y=bccosA

①

bccosA·x+b2y=bccosA

②

解這個二元一次方程組，并由正余弦定理得：

當△ABC為非直角三角形時，

4 一個熟悉的結論

由上面的討論，我們自然而然地得到以下結論.

1 江保兵.平面向量的共線定理及其推論[J].中學數學研究(廣州)，2014，( 3)

2 李金聰.三角形“五心”優(yōu)美的向量形式[J].福建中學數學，2010 ，( 3)

3 賀功保，葉美健.三角形的五心[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2009

2014-12-21)