浙江省寧波市鄞州實驗中學(xué) 蔡衛(wèi)兵 (郵編：315100)

應(yīng)用極端原理解決與圓有關(guān)的中考最值問題

浙江省寧波市鄞州實驗中學(xué) 蔡衛(wèi)兵 (郵編：315100)

中考壓軸題中頻繁出現(xiàn)有關(guān)最值問題，常讓很多同學(xué)束手無策，望而生畏.其實與圓有關(guān)的中考最值問題大多由動點而產(chǎn)生，找出動點(相應(yīng)動線)的極端位置，常常能確定最值.因為許多事物的性質(zhì)和矛盾,最容易在其臨界情況和極端狀態(tài)下體現(xiàn)和暴露出來,所以在解決數(shù)學(xué)問題時,常常利用極端、臨界的元素為"突破口",進行探索、推理論證,使"變動"轉(zhuǎn)化為"確定",從而分散問題的難點使問題得到解決.2014年各地的中考試題有許多將圓的知識與最值問題綜合起來考查，我們可以采取“謀定而后動”的策略，把問題引向極端，考察“特殊位置”、“特殊圖形”，進而簡化解題，提高解題速度.本文試圖通過幾道中考壓軸題介紹極端性原理在解與圓有關(guān)的中考最值問題中的具體運用，供參考.

1 “連心線與圓的交點”為“到圓上動點距離之最值”的極端位置

例1 如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長度的最小值是______.

例2 在正方形ABCD中，動點E，F(xiàn)分別從D，C兩點同時出發(fā)，以相同的速度在邊DC，CB上移動．連接AE和DF交于點P，由于點E，F(xiàn)的移動，使得點P也隨之運動，若AD=2，試求出線段CP的最小值.

例3 如圖∠BAC=60°，半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE，則線段DE長度的最大值為______.

2 “弧的中點”為“圓上動點到定線距離之最值”的極端位置

例4 如圖，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點，M、N是⊙O上的兩個動點，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是______．

解析 過點O作OC⊥AB于C，交⊙O于D、E兩點，連結(jié)OA、OB、DA、DB、EA、EB，如上圖.

∵S四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，∴當(dāng)M點到AB的距離最大，△MAB的面積最大；當(dāng)N點到AB的距離最大時，△NAB的面積最大，即M點運動到D點，N點運動到E點，

例5 如圖，已知在邊長為8的正方形ABCD中，E是BC邊的中點，P在過A、E、D三點的圓上，則△APE面積的最大值是______.

解析 設(shè)圓心為O，由垂徑定理得，點P在AE的垂直平分線上時，點P到AE的距離最大，△APE面積的最大，過點E作EF⊥AD于F，連接AO.設(shè)圓的半徑為r，

∵點E是BC的中點，∴BE=4，

在Rt△AOF中，AO2=AF2+OF2， 即r2=42+(8-r)2， 解得r=5.

3 “切線切點”為“有關(guān)角度之最值”的極端位置

例7 我們規(guī)定：線段外一點和這條線段兩個端點連線所構(gòu)成的角叫做這個點對這條線段的視角.如圖 ，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點D(0，4)，E(0，1).點G為x軸正半軸上的一個動點，當(dāng)點G對線段DE的視角∠DGE最大時，求點G的坐標(biāo).

圖1

圖2 圖3

(1)當(dāng)⊙O的半徑為1時，①在點D，E，F(xiàn)中，⊙O的關(guān)聯(lián)點是______；

②過點F作直線交y軸正半軸于點G，使∠GFO=30°，若直線上的點P(m，n)是⊙O的關(guān)聯(lián)點，求m的取值范圍；

(2)若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑r的取值范圍.

解析 (1) ①D、E；

∴若P點為圓C的關(guān)聯(lián)點；則需點P到圓心的距離d滿足0≤d≤2r；

由上述證明可知，考慮臨界位置的P點，如圖2：點P到原點的距離OP=2×1=2；

易得點P1與點G重合，過P2作P2M⊥x軸于點M，易得∠P2OM=30°，

4 “直徑為圓中最長弦”為“有關(guān)線段之最值”的極端情形

例9 如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是⊙O上一動點，且∠ACB=30°，點E、F分別是AC、BC的中點，直線EF與⊙O交于G、H兩點．若⊙O的半徑為7，則GE+FH的最大值為______．

例10 如圖，C、D是以AB為直徑的⊙O上的兩個動點(點C、D與點A、B不重合)，在運動過程中弦CD長始終保持不變，M是弦CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P．若CD=3，AB=5，PM=l，則l的最大值是______．

綜上所述，解決圓有關(guān)的中考最值問題，若能靈活地利用常見的極端、臨界的元素為“突破口”，便有簡潔、明快的解題效果.

2015-03-25)